Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung 3

1 Automorphismen und Vektorfelder 11 1.1 Algebraische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Algebraische Gruppen und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Nullstellen von Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Morphismen und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Vektorfelder in ℙ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Vektorfelder auf projektiven Bündeln über ℙ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Ein Theorem von Wahl 35 2.1 Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Linearisierung von invertierbaren Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Ein Theorem von Wahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Eine Charakterisierung der Q_{3} 47 3.1 D_{1} ist ein Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Der Lefschetz-Hyperebenen-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Abschätzung des Hyperebenenschnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Spezielle Fano-Dreifaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1 V_{1}, V_{2}, V′_{2} und V′′_{4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.2 Kubiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.3 Quadriken, Kubiken und Quartiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.4 Der ℙ^{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Eine Vermutung von Carrell 61 4.1 Reduktion auf ℂ^{+}− Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 ℂ^{+}− und ℂ^{∗}− Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Deformation von ℂ^{+}− Operationen in ℂ^{∗}− Operationen . . . . . . . . . . . 66 4.4 Eine Beweisstrategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.5 Ein Kriterium für X_{0} = X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5.1 Der Fall C_{0} = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.5.2 deg C_{0} > deg C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Carrells Vermutung: Beispiele und Ausblick 83 5.1 ℂ^{+}−Operationen auf Kurven und ihre Deformation . . . . . . . . . . . . . 83 5.2 ℂ^{+}−Operationen auf ℙ^{1} × ℙ^{1} und ihre Deformation . . . . . . . . . . . . . 84 5.3 ℂ^{+}−Operationen auf Flächen im ℙ^{3} und ihre Deformation . . . . . . . . . 86

5.3.1 Ein Parameterraum für Schnitte von ℙ(E) → ℙ^{1} . . . . . . . . . . . 87 5.3.2 Hyperflächen in ℙ(E)/ℙ^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2 INHALTSVERZEICHNIS

5.3.3 Konstruktion des Beispiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Kapitel 0

Einleitung

Am Nullstellenort Z(v) eines Vektorfeldes v auf einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit lassen sich viele geometrische Informationen über X ablesen. Allein aus der Existenz eines Vektorfeldes mit Nullstellenort Z(v) ≠ ∅ folgt schon das Verschwinden der Plurigenera [Kob72] und H^{q}(X, Ω^{p}) = 0 für |p − q| > dim Z(v) [CL73]. Und wenn Z(v) (projektiv-)algebraisch ist, ist auch X (projektiv-)algebraisch [Hwa96a]. Viele dieser Resultate lassen sich in eine der beiden folgenden Kategorien einordnen:

• Eigenschaften von Z(v) führen zu einer Klassifikation von X bis auf Isomorphie (bireguläre Aussagen),

• Eigenschaften von Z(v) führen zu einer Klassifikation von X bis auf birationale (bzw. bimeromorphe) Abbildungen.

In die erste Kategorie fällt z.B. ein Resultat von Wahl:

Theorem 0.1 ([Wah83]). Sei X eine komplexe projektive normale Varietät, L ein amples Geradenbündel, dim X > 1. Wenn H^{0}(T_{X} ⊗ L^{−1}) ≠ 0, dann gilt:

(i) L ≅ O(E), wobei der effektive Divisor E eine normale Varietät ist.

(ii) X ≅ Proj A[t], wobei A = ⨁_{n=0}^{∞} H^{0}(E, O_{E}(nE)). X ist der Kegel über E, t hat Gewicht 1 und E ist der Divisor bei ∞ (t = 0).

Insbesondere ist jede komplexe projektive glatte Varietät, auf der ein Vektorfeld auf einem amplen Divisor verschwindet, der ℙ^{N}.

Die letzte Aussage über den ℙ^{N} wurde schon in [MS78] bewiesen. In dieser Arbeit wird (in Kapitel 2 und 3) versucht, diese Aussage in höhere Kodimensionen zu verallgemeinern. Folgendes Theorem wird (mit einem induktiven Argument aus einer Variante von Wahls Theorem) bewiesen:

Theorem 0.2. Sei X eine glatte dreidimensionale Varietät über ℂ. Seien D_{1}, D_{2} ⊂ X zwei ample effektive Divisoren auf X, die sich (schematheoretisch) in einer irreduziblen reduzierten Kurve C = D_{1} ∩D_{2} schneiden. Sei v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld mit v_{|C} = 0. Dann ist X entweder ℙ_{3} oder Q_{3}.

An den Verschwindungsort Z(v) von v wird also (unter anderem) vorausgesetzt, daß Z(v) eine Kurve mit amplem Normalenbündel enthält. Wenn man den Beweis näher betrachtet, bemerkt man, daß die Beschränkung auf dim X = 3 hauptsächlich deswegen gebraucht wird, um ρ(X) = 1 zu zeigen. Es ist nun interessant, daß Hwang in [Hwa96b] ein Analogon zu Wahls Theorem für Moishezon-Mannigfaltigkei-ten mit ρ(X) = 1 beweist:

Theorem 0.3. Sei X eine n− dimensionale Moishezon-Mannigfaltigkeit mit Pic(X) = ℤ und c_{1}(X) ≤ n + 1. Sei v ein holomorphes Vektorfeld, das auf einer irreduziblen Hyperfläche D verschwindet. Dann ist X biholomorph zu ℙ_{ℂ}^{n}, und D ist eine Hyperebene.

Als einfaches Korollar aus diesem Satz erhält Hwang die (Degenerations-) Starrheit des ℙ^{N}, die schon von Siu (s. [Siu89],[Siu92]) gezeigt wurde.

Theorem 0.4. Sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit, Δ = {z ∈ ℂ : |z| < 1} und π : M → Δ eine surjektive, reguläre holomorphe Abbildung mit kompakten Fasern. Sei weiter M_{t} := π^{−1}(t) biholomorph zu ℙ_{ℂ}^{n}. Dann ist auch M_{0} ≅ ℙ_{ℂ}^{n}.

Mit einer ähnlichen Technik beweist Hwang die Starrheit der Hyperquadrik Q_{n} [Hwa95]: Er benutzt, daß auf Q_{n} ein Vektorfeld auf dem Schnitt zweier Hyperebenen verschwindet, und zieht umgekehrt Folgerungen aus der Existenz eines derartigen Vektorfeldes auf einer Moishezon-Mannigfaltigkeit. In bezug auf das in dieser Arbeit bewiesene Theorem könnte man dann fragen, ob sich mit den dort verwendeten (von Wahl und Mori/Sumihiro stammenden) Methoden nicht ebenfalls genügend Informationen aus der Existenz eines derartigen Vektorfeldes auf einer Moishezon-Mannigfaltigkeit ableiten lassen. Noch weiter gehend könnte man dasselbe für weitere rational-homogene Mannigfaltigkeiten (mit Picard-Zahl 1!) versuchen. Über beide Fragen scheint bisher nichts bekannt zu sein; sie sollen an anderer Stelle weiter untersucht werden. In die zweite Kategorie fällt eine Vermutung und die mit ihr zusammenhängenden Resultate:

Vermutung 0.5 (Carrell). Sei v ein Vektorfeld auf einer projektiven Varietät X über ℂ, das nur isolierten Nullstellen hat. Dann ist X rational.

Evidenz für diese Vermutung kommt aus der folgenden allgemeinen Strukturaussage von Bialynicki-Birula über (algebraische) ℂ^{∗}− Operationen σ : ℂ^{∗} × X → X auf glatten projektiven Varietäten X: Seien F_{1}, …, F_{r} die Zusammenhangskomponenten des Fixpunktschemas Fix^{ℂ^{∗}}X. Für alle x ∈ X definiert nun Φ_{x}(t) := t · x einen Morphismus Φ_{x} : ℂ^{∗} → X. Da X projektiv ist, gibt es genau eine Fortsetzung von Φ_{x} zu einem Morphismus \overline{Φ}_{x} : ℙ^{1} → X. Man kann also definieren:

lim_{t→0} tx := \overline{Φ}_{x}(0), lim_{t→∞} tx := \overline{Φ}_{x}(∞).

Diese beiden Punkte sind Fixpunkte der ℂ^{∗}− Operation Φ, liegen also auf einem der F_{i}. Man definiere deshalb

X_{i}^{+} := {x ∈ X : lim_{t→0} tx ∈ F_{i}}, X_{i}^{−} := {x ∈ X : lim_{t→∞} tx ∈ F_{i}}.

Es gilt dann

Theorem 0.6. Seien die Bezeichnungen wie oben.

(1) Die X_{i}^{±} sind ℂ^{∗}− invariant, X_{i}^{±} ⊃ F_{i} und die X_{i}^{±} sind lokal abgeschlossen.

(2) X = X_{1}^{±} ∪ … X_{r}^{±} und für alle i ≠ j ist X_{i}^{±} ∩ X_{j}^{±} = ∅.

(3) Alle F_{i} sind glatt.

(4) Die Projektionen π_{i} : X_{i}^{±} → F_{i}, x ↦ lim_{t→0} tx bzw. lim_{t→∞} tx sind Morphismen, die die X_{i} zu lokal trivialen Faserungen von Vektorräumen über F_{i} machen, d.h.: Zu jedem x ∈ F_{i} gibt es eine Zariski-offene Umgebung W_{x} ⊂ F_{i}, so daß π^{−1}(W_{x}) ≅ W_{x} × 𝔸^{n}.

Mit Hilfe dieses Theorems läßt sich leicht zeigen, daß die Vermutung richtig ist für multiplikative, also von einer ℂ^{∗}−Operation induzierte Vektorfelder (s. [Lie77]). Ein induktives Argument reduziert die Vermutung weiter auf folgenden Fall (vgl. 4.1):

Vermutung 0.7. Sei v ein additives, also ein von einer ℂ^{+}− Operation induziertes Vektorfeld auf einer projektiven Varietät X über ℂ, das nur isolierten Nullstellen hat. Dann ist X rational.

Mit Hilfe der Flächenklassifikation und Castelnuovos kohomologischen Rationalitskriterium wird in [CHK74] diese reduzierte Vermutung für Flächen bewiesen, und Hwang nutzt in [Hwa96a] dasselbe Rationalitätskriterium zusammen mit einem Aufblasungsprozess, um die Vermutung für dim X ≤ 5 zu zeigen. Hwang beweist für dim X = 3 sogar folgende allgemeinere Vermutung

Vermutung 0.8 ([Hwa96a]). Sei v ein additives Vektorfeld auf einer projektiven Varietät X über ℂ, so daß der Nullstellenort Z(v), aufgefaßt als Schema, nur rationale Komponenten und eingebettete Komponenten hat. Dann ist X rational.

In einer weiteren Arbeit [Hwa97] zeigt Hwang Vermutung 0.7 unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß die induzierte ℂ^{+}− Operation auf dem Tangentialraum im einzigen (vgl. [CS82] oder 4.2) Fixpunkt von X trivial ist. Für diese Arbeit entscheidend ist der Ansatz in [Kon96a]. Auch Konarski zeigt Vermutung 0.7 unter einer zusätzlichen Annahme an die induzierte ℂ^{+}− Operation auf dem Tangentialraum im einzigen Fixpunkt von X: Dieses Mal soll die Operation nur einen einzigen Jordanblock haben. Aus dieser Annahme folgt, daß sich X äquivariant in einen ℙ^{N} einbetten läßt, wobei das Vektorfeld der äquivarianten ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} bzgl. homogener Koordinaten x_{0}, …, x_{N} durch die Derivation

D_{0} = x_{1} \frac{∂}{∂x_{0}} + … + x_{N} \frac{∂}{∂x_{N−1}}

beschrieben wird. Konarski betrachtet nun die ℂ^{∗}− Operation mit dem induzierten Vektorfeld

D_{∞} = x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + … + Nx_{N} \frac{∂}{∂x_{N}}

und die zu X isomorphen ℂ^{+}− stabilen Varietäten

X_{t} = t · X ⊂ ℙ^{N}, t ∈ ℂ^{∗}.

Aus der genauen Kenntnis des homogenen Koordinatenrings von X kann er dann folgern, daß die ℂ^{∗}− stabile Grenzvarietät X_{0} = lim_{t→0} X_{t} glatt ist mit isolierten Fixpunkten, außerdem birational zu X, und wegen Bialynicki-Birula ist X_{0} rational. Die genaue Kenntnis des homogenen Koordinatenrings von X beruht aber essentiell auf der 1-Jordanblock-Voraussetzung und kann deswegen nicht verallgemeinert werden.

Diese Arbeit schlägt nun vor, die Vermutung 0.7 in gewissem Sinne genau umgekehrt wie Konarski anzugehen: Faßt man ℂ^{∗} und ℂ^{+} als Untergruppen der Automorphismengruppe P GL(N +1) des ℙ^{N} auf und konjugiert in P GL(N +1) die ℂ^{∗}−Operation mit Elementen aus ℂ^{+}, erhält man weitere ℂ_{λ}^{∗}− Operationen auf ℙ^{N} (mit λ ∈ ℂ^{+} ≅ 𝔸^{1}). Wenn v_{λ} das induzierte Vektorfeld der ℂ_{λ}^{∗}− Operation und v_{0} das der ℂ^{+}− Operation ist, dann gilt:

lim_{λ→∞} \frac{1}{λ}v_{λ} = v_{0}.

Man kann also von der Deformation der ℂ^{+}−Operation in die ℂ_{λ}^{∗}−Operationen sprechen (s. Definition 4.11). Sei X ⊂ ℙ^{N} wieder eine glatte ℂ^{+}− stabile Varietät, deren Fixpunkte alle isoliert sind. Eine flache Familie 𝔛 → ℙ^{1} in ℙ^{N} ×ℙ^{1}, deren Faser X_{λ} von der ℂ_{λ}^{∗}−Operation stabilisiert wird und deren Faser X_{∞} = X ist, hat folgende Eigenschaften:

• Die Fixpunkte der ℂ_{λ}^{∗}− Operation sind für allgemeines λ isoliert.

• X_{λ} ist für allgemeines λ wegen der Flachheit wie X glatt.

Beides zusammen heißt mit der Strukturaussage von Bialynicki-Birula (Theorem 0.6): X_{λ} ist rational. Wenn die Fasern der Familie 𝔛 noch zusätzlich zueinander birational sind, ist auch X rational. Diese Strategie kann man auf beliebige äquivariante Einbettungen X → ℙ^{N} anwenden, nicht nur auf den 1-Jordanblock-Fall. Ganz allgemein würde eine derartige flache Familie 𝔛 eine Möglichkeit liefern, Eigenschaften von (glatten) Varietäten mit ℂ^{∗}− Operationen auf solche mit einer ℂ^{+}− Operation zu übertragen. Da über letztere sehr wenig, über erstere aber sehr viel bekannt ist (schließlich ist ℂ^{∗} eine reduktive Gruppe), könnte der Ansatz auch bei anderen Problemen als der Vermutung von Carrell erfolgsversprechend sein. Wie konstruiert man nun eine derartige Familie 𝔛 mit birationalen Fasern ? Man bemerkt dazu, daß der Hyperebenenschnitt {x_{N−1} = 0} ∩ X eine Varietät Y ⊂ X enthält, die die generischen ℂ^{+}− Orbiten von X parametrisiert (s. Lemma 4.23). Y kann übrigens als Basis der Fujiki-Familie von X genommen werden, vgl. [CS82]: Es gibt also eine Familie π : F → Y über Y mit einer ℂ^{+}− Operation, die trivial auf die Basis Y wirkt, und eine ℂ^{+}− äquivariante birationale Abbildung ϕ : F → X. Ebenso parametrisiert Y die ℂ_{λ}^{∗}− Orbiten von ℂ_{λ}^{∗}Y, und es gilt (s. Proposition 4.25):

Theorem 0.9. Die Familie 𝔛 := \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y × \{λ\}} ⊂ ℙ^{N} ×ℙ^{1} ist flach mit birationalen Fasern, falls für die Faser X_{∞} von 𝔛 über ∞ ∈ ℙ^{1} gilt:

X_{∞} = \overline{ℂ^{+}Y} = X.

Ein weiteres Resultat der Arbeit ist ein Kriterium für die Gleichheit X_{∞} = X: Sei π : ℙ̃^{N} → ℙ^{N} die Aufblasung von ℙ^{N} im linearen Unterraum {x_{N−1} = x_{N} = 0}. Es ist ℙ̃^{N} ≅ ℙ_{ℙ^{1}}(E) mit

E = (N − 1)O_{ℙ^{1}} ⊕ O_{ℙ^{1}}(1).

Sei weiter Hilb_{P_{Y}} (ℙ(E)/ℙ^{1}) das Hilbertschema der Unterschemata in Fasern von ℙ(E) mit Hilbertpolynom P_{Y}, wobei Y als Untervarietät von {x_{N−1} = 0} ≅ ℙ^{N−1} aufgefaßt werde. Die ℂ^{+}− und die ℂ_{λ}^{∗}− Operationen übertragen sich äquivariant auf Hilb_{P_{Y}} (ℙ(E)/ℙ^{1}) (vgl. 1.6), und man kann die Orbitalkurven

C = \overline{ℂ^{+}[Y]} und C_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}[Y]}

des Punktes [Y] ∈ Hilb_{P_{Y}} (ℙ(E)/ℙ^{1}) betrachten, der Y ⊂ ℙ(E) parametrisiert. C und C_{λ} sind Schnitte von Hilb_{P_{Y}} (ℙ(E)/ℙ^{1}) → ℙ^{1} mit einem bestimmten Grad (s. 4.5), und es gilt

Theorem 0.10. X_{∞} = X ⇔ deg C_{λ} = deg C.

Dieses Resultat führt also die Frage, ob zwei Fasern (als Schemata, also auch unter Berücksichtung von eingebetteten Komponenten !) gleich sind, auf die Gleichheit einer (einfachen) Invariante zurück. Dieses Kriterium kann so auch verwendet werden, um explizite Beispiele durchzurechnen (s. 5.3). Wie kann man nun die Strategie zum Beweis von Carrells Vermutung weiter verfolgen ? Die Beispiele aus Kapitel 5 zeigen zweierlei: Einerseits führt bei beliebigen ℂ^{+}− Operationen auf ℙ^{N} nicht jede ℂ_{λ}^{∗}− Operation zum Ziel, bei manchen sogar keine (s. 5.2). Man muß also äquivariante Einbettungen von (glatten) ℂ^{+}− stabilen Varietäten in einen ℙ^{N} genauer charakterisieren. Zum zweiten genügt es selbst im 1-Jordanblock-Fall nicht, nur die von Y erzeugten Varietäten X_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y} zu betrachten. Eventuell muß man auch zu Y isomorphe Varietäten Y_{λ} ⊂ \{x_{N−1} = 0\} und die von ihnen erzeugten ℂ_{λ}^{∗}− stabilen Varietäten \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}} berücksichtigen. Die Methoden, die in 5.3 zur Konstruktion eines Beispiels im 1-Jordan-block-Fall auf ℙ^{3} für dieses Phänomen entwickelt werden, können nun auch dazu dienen, in weiteren Situationen die Existenz der Familie 𝔛 zu beweisen. Es bietet sich folgendes Programm an (vgl. 5.4): Beweise die Existenz einer geeigneten flachen Familie 𝔛 für

• Hyperflächen im ℙ^{3} im 1-Jordanblock-Fall,

• Hyperflächen im ℙ^{3} im Mehr-Jordanblock-Fall,

• Hyperflächen im ℙ^{N} im 1-Jordanblock-Fall,

• Varietäten höherer Kodimension im ℙ^{N} im 1-Jordanblock-Fall.

Ich hoffe, dieses Programm an anderer Stelle weiter verfolgen zu können.

Im folgenden soll noch eine kurze Zusammenfassung des Inhalts der einzelnen Abschnitte gegeben werden. Kapitel 1 enthält im wesentlichen bekannte Eigenschaften von Vektorfeldern, algebraischen Gruppen und Gruppenoperationen auf algebraischen Varietäten, die aber nirgends an einer Stelle zusammengefaßt wurden. Im Abschnitt 1.1 werden algebraische Gruppen definiert und das Theorem von Cartier zitiert. Im Abschnitt 1.2 wird die Automorphismengruppe Aut(X) einer projektiven algebraischen Varietät X aus dem Hilbertschema konstruiert und Vektorfelder von X als Tangentialvektoren an das Einselement von Aut(X) beschrieben. Abschnitt 1.3 befaßt sich mit dem Nullstellenort von Vektorfeldern und davon abgeleiteten Untergruppen von Aut(X). In Abschnitt 1.4 werden verschiedene Kriterien hergeleitet, wann es äquivariante Vektorfelder oder Gruppenoperationen bezüglich eines Morphismus f : X → Y gibt. Insbesondere wird eine Variante des Theorems von Blanchard formuliert. In den Abschnitten 1.5 und 1.6 werden schließlich Vektorfelder und die von ihnen induzierten Gruppenoperationen auf ℙ^{N} und auf projektivierten Bündeln ℙ(E) über ℙ^{N} genauer untersucht. Die Darstellung in 1.6, die auch in 5.3 eine große Rolle spielt, wurde inspiriert von den Bemerkungen in [HO89, p. 100f.] über die Automorphismengruppen von Hirzebruchflächen.

In Kapitel 2 wird das Theorem von Wahl analysiert. Dazu werden in 2.1 bekannte Aussagen über Kegel und ihrer Konstruktion aus projektivierten Bündeln ℙ(O ⊕L) zusammengestellt. In Abschnitt 2.2 werden Aussagen über die Linearisierung von invertierbaren Garben (hauptsächlich aus [MF82]) an die vorliegende Situation angepaßt. Alle diese Resultate werden dann in 2.3 verarbeitet: Eine genaue Analyse des Beweises von Wahls Theorem führt zu einer (schwächeren) Variante, die ohne die Normalität auskommt. In Kapitel 3 wird nun die Charakterisierung der dreidimensionalen Quadrik bewiesen, und zwar in 4 Schritten: Aus der Variante von Wahls Theorem in 2.3 wird in 3.1 gefolgert, daß X einen (zweidimensionalen) Kegel enthalten muß . In 3.2 ergibt eine Anwendung des Lefschetz-Hyperebenensatzes ρ(X) = 1. Die Varietät X ist also eine dreidimensionale Fano-Varietät mit Picard-Zahl 1, man kann also Iskovskihs Klassifikation anwenden. Eine weitere Abschätzung der Invarianten in 3.3 zeigt dann, daß nur noch spezielle Fano-Dreifaltigkeiten in Frage kommen. Diese werden dann in 3.4 untersucht. Kapitel 4 stellt die Strategie für Carrells Vermutung vor: Die Vermutung wird in 4.1 mit Bialynicki-Birulas Strukturaussage für ℂ^{∗}− Operationen auf den Fall additiver Vektorfelder zurückgezogen. In 4.2 werden einige bekannte Eigenschaften von ℂ^{+}− und ℂ^{∗}− Operationen und ihrer Vektorfelder zusammengestellt. Abschnitt 4.3 enthält die Definition einer ℂ_{λ}^{∗}− Deformation einer ℂ^{+}− Operation und den Spezialfall einer von einer P B(2)− Operation induzierten Deformation. In 4.4 findet sich die oben schon erläuterte Beweisstrategie, und 4.5 enthält den Beweis des Kriteriums 0.10. Kapitel 5 ist Beispielen gewidmet. Zuerst wird in 5.1 gezeigt, daß die Strategie bei Kurven zum Ziel führt. In 5.2 zeigt die ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{1} × ℙ^{1} mit einem isolierten Fixpunkt, daß nicht jede Deformation, ja sogar nicht jede äquivariante Einbettung zum Ziel führen muß . In 5.3 werden Methoden dafür erarbeitet, wie man mit Hilfe des Kriteriums 0.10 entscheiden kann, ob die Deformationsfamilie 𝔛 in einem beliebig vorgegeben Beispiel existiert oder nicht. Unter anderem wird dabei ein Parameterraum für Schnitte in projektivierten Bündeln ℙ(E) über ℙ^{1} eingeführt und erläutert, wie man auf diesem Parameterraum äquivariante Vektorfelder konstruiert. Im Ausblick 5.4 schließlich wird ein Programm für das weitere Vorgehen skizziert.

Die Erstellung einer Doktorarbeit ist nur möglich, wenn einem von vielen Seiten geholfen wird. Zuallererst will ich mich natürlich bei meinem Betreuer, Prof. Peternell, bedanken, der mich auf das Thema “Nullstellen von Vektorfeldern” ansetzte, mich oft vor Irrwegen bewahrte und in die richtige Richtung schickte, mir aber andererseits genügend Freiraum gab, mich an der alles andere als trivialen Vermutung von Carrell zu versuchen. Danken möchte ich aber auch dem gesamten Graduiertenkolleg “Komplexe Mannigfaltigkeiten” für die anregende mathematische Athmosphäre, insbesondere bei den Postdocs Stefan Kebekus und Marian Aprodu und bei Prof. Schreyer, die immer ein offenes Ohr für meine Probleme hatten. H.-C. von Bothmer stand mir hilfreich bei vielen Rechnungen und dem Einsatz des Computeralgebra-Systems “Macaulay” zur Seite. Stefan Kebekus schaffte es immer wieder, mich mit wenigen, aber variantenreichen Beispielen von ungerechtfertigten Hoffnungen zu befreien. Ivo Radloff gab mir erste Anregungen zum Abschnitt über Vektorfelder auf projektivierten Bündeln. Miles Reid klärte mich über die Wichtigkeit von gewichteten Aufblasungen auf. Achim Radtke aus Berlin wies mich auf die Zusammenhänge von Wahls Theorem mit den Arbeiten von Hwang hin. Stefan Schröer aus Bochum machte mich darauf aufmerksam, daß der Kodairasche Verschwindungssatz schon für Cohen-Macaulay-Varietäten nicht immer gilt.

Zum Schluß möchte ich mich jedoch bei meiner Frau Christiane, die mich wochenlang höchst selten sah und trotzdem immer unterstützte, und bei meinem Sohn David bedanken. Meine besten Ideen hatte ich immer, nachdem ich nach einem Tag harten Kampfes mit meinen Problemen ein Müllauto oder einen Kran bauen oder mich in die Schönheiten eines Bilderbuchs vertiefen durfte.

Thomas Eckl 10 KAPITEL 0. EINLEITUNG

Automorphismen und Vektorfelder

Im folgenden sind alle Schemata zumindest separiert und lokal von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k der Charakteristik 0. Varietäten sind ganze separierte Varietäten vom endlichen Typ über k. Zusätzliche Annahmen werden gemacht, wo sie erforderlich sind. Ein Vektorfeld ist ein globaler Schnitt in der Tangentialgarbe des Schemas.

1.1 Algebraische Gruppen

Zur Konstruktion der algebraischen Automorphismengruppe eines beliebigen projektiven Schemas über k muß man von folgender Definition ausgehen (vgl. [MF82, 0.1]):

Definition 1.1. Ein algebraisches Gruppenschema über k ist ein Schema G/k zusammen mit Morphismen μ : G × G → G, β : G → G und e : Spec k → G, die folgenden kommutativen Diagrammen genügen:

(1) Assoziativität:

\xymatrix{G × G × G \ar[d]_{μ×1_{G}} \ar[r]^{1_{G}×μ} & G × G \ar[d]^{μ} \\ G × G \ar[r]^{μ} & G}

(2) Inverse:

\xymatrix{ & G × G \ar[dr]^{μ} \\ G \ar[ur]^{1_{G}×β} \ar[ur]_{β×1_{G}} \ar[r] & Spec k \ar[r]_{e} & G}

(3) Einselement:

\xymatrix{ & G × G \ar[dr]^{μ} \\ G ≅ G × Spec k \ar[ur]^{1_{G}×e} \ar[rr]_{1_{G}} &  & G}

Theorem 1.2 (Cartier). Ein algebraisches Gruppenschema von lokal endlichem Typ über einem Körper der Charakteristik 0 ist glatt.

Beweis: s. [DG80, p.305]

Insbesondere sind irreduzible algebraische Gruppenschemata von endlichem Typ über k (nichtsinguläre) Varietäten. Man nennt sie algebraische Gruppen; projektive algebraische Gruppen heißen abelsche Varietäten, affine algebraische Gruppen auch lineare algebraische Gruppen.

1.2 Algebraische Gruppen und Vektorfelder

Um die Automorphismengruppe eines projektiven Schemas X zu konstruieren, muß man zuerst den Begriff der Operation eines Gruppenschemas auf X definieren (vgl. [MF82, 0.1]):

Definition 1.3. Ein Gruppenschema G operiert auf einem Schema X durch einen Morphismus σ : G × X → X, für den folgende Diagramme kommutieren:

(1)

\xymatrix{G × G × X \ar[r]^{1_{G}×σ} \ar[d]^{μ×1_{X}} & G × X \ar[d]_{σ} \\ G × X \ar[r]^{σ} & X}

(2)

\xymatrix{X \ar[rrr]_{1_{X}} \ar[r]^{≅} & X ×_{Spec k} Spec k \ar[r]^{1_{X}×e} & G × X \ar[r]^{σ} & X}

Proposition 1.4. Sei X/k ein projektives Schema über dem Körper k, char k = 0. Dann wird der (kontravariante) Funktor

(Gruppenschemata über k)^{∘} → (Mengen)
G ↦ {σ : G × X → X|σ Operation von G auf X}

durch ein Gruppenschema Aut X repräsentiert. Aut^{∘}X, die Zusammenhangskomponente der Identität e des Gruppenschemas Aut X, ist quasi-projektiv und glatt.

Beweis: Zur Sprache der repräsentierbaren Funktoren s. allgemein [GD71, Ch. 0] und [EH92, Ch.4]. Der wesentliche Schritt des Beweises findet sich in [Kol96, pp. 16]: Der Funktor Hom_{k}(X, X), der gegeben ist durch

Hom_{k}(X, X)(T) = {T − Morphismen X ×_{k} T → X ×_{k} T },

wird durch ein offenes Unterschema des Hilbertschemas von X ×_{k} X repräsentiert. Dabei werden die obigen Morphismen mit ihren Graphen in X ×_{k} X ×_{k} T identifiziert, die flach über T sind.

Auf Hom_{k}(X, X) definiert nun die Verknüpfung von Morphismen auf natürliche Weise zwei assoziative Verknüpfungen

μ, ν : Hom_{k}(X, X) × Hom_{k}(X, X) → Hom_{k}(X, X),

wobei ν nur die Reihenfolge der Verknüpfung vertauscht. Die Identität X → X induziert einen k− wertigen Punkt e ∈ Hom_{k}(X, X). Seien

A_{1} = μ^{−1}(e), A_{2} = ν^{−1}(e)

die entsprechenden Fasern. A_{1} und A_{2}, also auch A_{1} ∩ A_{2}, sind abgeschlossene Unterschemata in Hom_{k}(X, X) × Hom_{k}(X, X), da abgeschlossene Immersionen unter Basiserweiterungen stabil sind ([Har77, II.Ex.3.11(a)]). Auf Funktor-Ebene gilt:

(A_{1} ∩ A_{2})(T) = {(f, g)|T − Morphismen X ×_{k} T → X ×_{k} T mit f ∘ g = g ∘ f = id_{X×_{k}T} }.

Für einen T − Automorphismus f : T × X → T × X kann es aber nur einen inversen T − Automorphismus g = f^{−1} geben. Also ist der Morphismus

A_{1} ∩ A_{2} ↪ Hom_{k}(X, X) × Hom_{k}(X, X) →^{pr_{1}} Hom_{k}(X, X)

auf Funktor-Ebene und damit auch auf Schema-Ebene injektiv. Man definiert

Aut X := pr_{1}(A_{1} ∩ A_{2}) ⊂ Hom_{k}(X, X).

Weil Hom_{k}(X, X) ⊂ Hilb(X × X) offen ist in Hilb(X × X), ist Aut X = pr_{1}(A_{1} ∩ A_{2}) offen in einem abgeschlossenen Unterschema von Hilb(X × X). Da das Hilbertschema außerdem eine disjunkte Vereinigung von projektiven Schemata ist, folgt: Aut^{∘} X ist quasi-projektiv. Aut X ist ein Gruppenschema:

(a) Die Multiplikation auf Aut X wird von μ induziert: Die Verknüpfung zweier T − Automorphismen ist wieder ein T − Automorphismus.

(b) Die Inversenabbildung ist auf natürliche Weise pr_{2} ∘ pr_{1}^{−1} (der Morphismus pr_{1} ist injektiv auf Aut X), Einselement ist der Morphismus Spec k → Aut X, der zur Identität X → X gehört.

Die Assoziativität der Multiplikation ist auf Funktor-Ebene klar, ebenso die Gesetze für Inverses und Einselement. Aut X repräsentiert den im Theorem beschriebenen Funktor:

(a) Sei

σ : G × X → X

eine Operation des Gruppenschemas G auf X und f : T → G ein Morphismus. Aus dem Morphismus T × X →^{f×1_{X}} G × X →^{σ} X kann man dann einen T − Morphismus T × X → T × X konstruieren, der wegen der inversen Abbildung von G ein T −Automorphismus ist. Also gibt es wegen der universellen Eigenschaft von Hom_{k}(X, X) einen Morphismus

ϕ_{σ} : G → Aut X.

(b) ϕ_{σ} ist ein Gruppenhomomorphismus: Das Einselement von G wird auf das Einselement von Aut X abgebildet. Die Kommutativität des Diagramms

\xymatrix{G × G \ar[r]^{ϕ_{σ}×ϕ_{σ}} \ar[d]^{μ} & Aut X × Aut X \ar[d]_{μ} \\ G \ar[r]^{ϕ_{σ}} & Aut X}

weist man wieder auf Funktor-Ebene nach: Gegeben ein Morphismus f : T → G×G. Daraus konstruiert man zwei T − Automorphismen

f_{i} : T × X ⟶^{(pr_{i}∘f)×id_{X}} G × X →^{σ} X, i = 1, 2.

Multiplikation in Aut X, d.h. Verknüpfung ergibt einen weiteren T − Automorphismus f_{1} ∘ f_{2}. Andererseits ergibt der Morphismus T → G × G →^{μ_{G}} G zusammen mit σ morphismus ebenfalls einen T − Automorphismus f_{3}. Aus der Verträglichkeit der Operation σ mit der Multiplikation μ_{G} folgt f_{1} ∘ f_{2} = f_{3}.

(c) Umgekehrt induziert jeder Gruppenhomomorphismus G → Aut X eine Gruppenoperation G × X → X, und die beiden Konstruktionen sind invers zueinander.

Cartier’s Theorem schließlich besagt, daß Aut X als Gruppenschema über einem Körper der Charakteristik 0 glatt ist. □

Proposition 1.5. Sei X ein projektives Schema. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus vom Vektorraum der Vektorfelder von X in den Tangentialraum an das Einselement e von AutX:

H^{0}(X, T_{X}) ⟶^{≅} T_{AutX,e}

Beweis: Auf einer affinen Teilmenge U = Spec A ⊂ X entspricht ein Vektorfeld einer Derivation d : A → A [Har77, II.8]. Wie man leicht nachrechnet, entsprechen diese Derivationen bijektiv Algebra - Homomorphismen

\begin{aligned}f : & A & → & A × k[ϵ] \\ & p & ↦ & p + ϵd(p) \end{aligned}

also Morphismen

Spec k[ϵ] × U → U.

Zusammenkleben zeigt: Vektorfelder entsprechen bijektiv Morphismen

Spec k[ϵ] × X → X.

Diese Morphismen sind nun Spec k[ϵ]− Automorphismen: Der inverse Morphismus wird auf einer affinen Teilmenge U = Spec A durch

A → A × k[ϵ], p ↦ p − ϵd(p)

gegeben. Also ergibt sich aus der Konstruktion von Aut X eine bijektive Zuordnung dieser Morphismen zu Morphismen

Spec k[ϵ] → Aut X

wobei der einzige Punkt von Spec k[ϵ] auf die Identität e von Aut X abgebildet wird. Die Menge dieser Morphismen ist aber genau der Tangentialraum von Aut^{0}X in e [EH92, IV.A(iv)]. □

Bemerkung: Die Lie-Algebra-Struktur auf T_{AutX,e} induziert eine Lie-Algebra-Struktur auf H^{0}(X, T_{X}), die eingeschränkt auf eine affine Teilmenge U = Spec A ⊂ X zur Lie-Algebra-Struktur der Derivationen Der(A, A) wird (vgl. [Spr81, Ch. 3]).

1.3 Nullstellen von Vektorfelder

Proposition 1.6. Sei Y ⊂ X ein abgeschlossenes Unterschema des projektiven Schemas X. Der kontravariante Funktor

(Schemata über k)^{∘} → (Mengen)
T ↦ {T − Automorphismen X × T → X × T | Der induzierte

Morphismus Y × T → X × T ist die Inklusion}

wird durch eine Untergruppe Aut(X/Y) ⊂ Aut X parametrisiert.

Beweis: Sei i : Spec k → Hom(Y, X) der k− wertige Punkt, der der Inklusion Y ⊂ X entspricht. Sei weiter φ : T × X → T × X ein T − Automorphismus. Dann gibt es nach Konstruktion von Aut X einen eindeutig bestimmten Morphismus f_{φ} : T → Aut X. Wenn φ_{|T ×Y} = id_{T ×Y}, dann kommutiert folgendes Diagramm:

\xymatrix{T \ar[ddr]_{f_{φ}} \ar@{-->}[dr]^{∃} \ar[drrr] \\  & Aut X ×_{Hom(Y,X)} Spec k \ar[d] \ar[rr] &  & Spec k \ar[d]^{i} \\  & Aut X \ar@{^{(}->}[r] & Hom(X, X) \ar[r] & Hom(Y, X)}

f_{φ} faktorisiert also durch die Faser Aut(X/Y) := Aut X ×_{Hom(Y,X)} Spec k über dem oben definierten k− wertigen Punkt. Das heißt aber: Das abgeschlossene Unterschema Aut(X/Y) ⊂ Aut X repräsentiert den Funktor. Auf Funktor-Ebene sieht man leicht, daß Aut(X/Y) eine Untergruppe von Aut X ist:

(a) Seien φ, ψ : T ×X → T ×X zwei T −Automorphismen mit φ_{|T ×Y} = ψ_{|T ×Y} = id_{T ×Y}. Dann ist auch (ψ ∘ φ)_{|T ×Y} = id_{T ×Y}.

(b) Es ist (φ^{−1})_{|T ×Y} = id_{T ×Y}.

(c) Natürlich gilt dasselbe für id_{T ×X}.

□

Proposition 1.7. Es gibt einen kanonischen Vektorraum-Isomorphismus

T_{Aut(X/Y),e} →^{≅} Hom(Ω_{X/k}, I_{Y}).

Wenn X glatt oder Y ein Cartier-Divisor ist, dann gilt Hom(Ω_{X/k}, I_{Y}) ≅ H^{0}(X, T_{X}⊗I_{Y}).

Beweis: Die Operation von Aut(X/Y) auf X erfüllt das Diagramm

Aut(X/Y) × X → X
↑  ↑
Aut(X/Y) × Y →^{pr_{2}} Y

Für jeden Tangentialvektor Spec k[ϵ] → Aut(X/Y) gibt es also ein Diagramm

Spec k[ϵ] × X → X
↑  ↑
Spec k[ϵ] × Y →^{pr_{2}} Y

Auf einer offenen affinen Teilmenge U = Spec A ⊂ X, wobei Y ∩U = Spec A/I sei, ergibt sich daraus das Diagramm

A → k[ϵ] ⊗ A
↓  ↓
A/I → k[ϵ] ⊗ A/I
f̄ ↦  f̄,  f ∈ A.

Der ϵ− Anteil des Bildes von f verschwindet also auf k[ϵ] ⊗ A/I und liegt deshalb in I. Das heißt aber, daß dem Tangentialvektor auf Spec A eine Derivation A → I entspricht, nach Zusammenkleben also ein Element aus Hom(Ω_{X/k}, I_{Y}). Wenn X glatt, also Ω_{X/k} lokal frei ist, folgt nach [Har77, II.Ex.5.1(b)]

Hom(Ω_{X/k}, I_{Y}) ≅ H^{0}(X, T_{X} ⊗ I_{Y}).

Wenn Y ein Cartier-Divisor ist, dann wird I lokal von einem einzigen Nichtnullteiler g erzeugt. Eine Derivation D, die auf Y verschwindet, bildet also ein f ∈ A auf Df = g·D′f ab. Auch D′ ist eine Derivation von A. Da g ein Nichtnullteiler ist, annihiliert die Multiplikation mit g keine Derivation D′ ≠ 0. Nach Zusammenkleben erhält man so ein Element aus H^{0}(X, T_{X} ⊗ I_{Y}). Damit sind alle Behauptungen der Proposition gezeigt. □

Die Proposition rechtfertigt folgende

Definition 1.8. Ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, T_{X}) auf einer Varietät X verschwindet auf einem abgeschlossenem Unterschema Y, wenn v ∈ Hom_{X}(Ω_{X}, I_{Y}) ⊂ H^{0}(X, T_{X}) ist.

Man kann sogar den Verschwindungsort eines Vektorfeldes definieren:

Proposition 1.9. Ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, T_{X}) = Hom_{O_{X}}(Ω_{X}^{1}, O_{X}) verschwindet genau auf allen abgeschlossenen Unterschemata des Unterschemas Y ⊂ X mit der Idealgarbe I_{Y} = v(Ω_{X}^{1}) ⊂ O_{X}.

Beweis: Das folgt direkt aus der universellen Eigenschaft von Ω_{X}^{1}. □

Zur besseren geometrischen Veranschaulichung mache man sich klar, was alle diese Begriffe für einen abgeschlossenen Punkt x ∈ X bedeuten:

Korollar 1.10. Ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, T_{X}) verschwindet genau dann in einem abgeschlossenen Punkt x ∈ X, wenn das induzierte Element im Zariski-Tangentialraum T_{X,x} verschwindet.

Beweis: Vektorfelder v ∈ H^{0}(X, T_{X}) mit v(x) = 0 entsprechen Tangentialvektoren an das Einselement der Gruppe Aut(X/x). Daraus erhält man ein kommutatives Diagramm

Spec k[ϵ] × X → X
↑  ↑
Spec k[ϵ] × x →^{pr_{2}} x

Beschränkt man sich auf eine affine offene Umgebung U = Spec A ⊂ X von x, so ergibt sich das Diagramm

A → k[ϵ] ⊗ A
↓  ↓
A/𝔪 → k[ϵ] ⊗ A/𝔪
f̄ ↦ f̄+ ϵ · f̄′, f, f′ ∈ A,

wobei 𝔪 das maximale Ideal von x in A ist. Die durch f ↦ f̄′ gegebene k - Derivation A → A/𝔪 wird vollständig durch den induzierten k - Vektorraum-Homomorphismus 𝔪/𝔪^{2} → k bestimmt, ein Element aus dem Zariski-Tangentialraum T_{X,x}. Das Vektorfeld verschwindet also auf x genau dann, wenn f̄′ = 0 für alle f ∈ A. □

Das folgende Theorem gibt eine wichtige Schlußfolgerung, die man aus der Existenz von Vektorfeldern mit Nullstellen ziehen kann (vgl. [Lie77]):

Theorem 1.11. Sei X eine projektive Varietät und v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld mit Nullstelle im abgeschlossenen Punkt x ∈ X. Dann ist Aut(X/x) eine nichttriviale linearalgebraische Gruppe.

Beweis: Sei U = Spec A ⊂ X eine affine Umgebung von x und 𝔪_{x} ⊂ A das dem Punkt x entsprechende maximale Ideal in A. Durch die Restklassenabbildung

A → A/𝔪_{x}^{s} = (A/𝔪_{x}^{s})_{𝔪_{x}} ≅ O_{X,x}/𝔪_{x}^{s}

wird das abgeschlossene Unterschema Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} ↪ U ⊂ X definiert. Zu dem Vektorfeld mit x als Nullstelle gehört die algebraische Gruppe G = Aut(X/x) und eine treue Gruppenoperation σ : G × X → X mit x als Fixpunkt. Behauptung 1 : Der durch σ induzierten Morphismus

τ : G × Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} → G × X →^{σ} X

faktorisiert durch Spec T = Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} und ist eine Gruppenoperation auf Spec T. Beweis von Behauptung 1 : Da x ein Fixpunkt von σ ist, faktorisiert τ sicher durch die affine offene Umgebung U = Spec A ⊂ X von x. Weiter kann man sich darauf beschränken, die Behauptung für affine offene Teilmengen V = Spec B ⊂ G zu zeigen. Es ist

V × Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} = Spec (B ⊗_{k} T).

Man muß beweisen, daß der Algebra-Homomorphismus τ^{#} : A → B⊗_{k}T durch T ≅ A/𝔪_{x}^{s} faktorisiert, daß also 𝔪_{x}^{s} ⊂ ker τ^{#}. Man betrachte dazu die abgeschlossenen Punkte g ∈ V, die bijektiv den maximalen Idealen 𝔟_{g} ⊂ B entsprechen. Jedes g ∈ G induziert einen Isomorphismus Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} →^{g·} Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} (der inverse Isomorphismus wird durch g^{−1} induziert), und es gibt folgendes kommutatives Diagramm :

\xymatrix{A \ar[r]^{τ^{#}} \ar[d] & B ⊗_{k} T \ar[r]^{r} & B/𝔟_{g} ⊗_{k} T \\ A/𝔪_{x}^{s} \ar@{-->}[ur]^{∃!} \ar[urr]|{≅}_{∀g∈V}} .

Weil Tensorprodukte über k betrachtet werden, gilt (B/𝔟_{g}) ⊗_{k} T ≅ (B ⊗_{k} T)/(𝔟_{g} ⊗_{k} T) und ⋂_{g∈V} (𝔟_{g} ⊗_{k} T) = (⋂_{g∈V} 𝔟_{g}) ⊗_{k} T. Schließlich ist ⋂_{g∈V} 𝔟_{g} = (0), da G reduziert ist. Aus τ^{#}(𝔪_{x}^{s}) ⊂ 𝔟_{g} ⊗_{k} T für alle g ∈ V folgt also τ^{#}(𝔪_{x}^{s}) ⊂ (⋂_{g∈V} 𝔟_{g}) ⊗_{k} T = (0) und damit 𝔪_{x}^{s} ⊂ ker τ^{#}. Der Morphismus τ : G × Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} → Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} erfüllt die Axiome einer Gruppenoperation, da er von der Gruppenoperation σ induziert wird. □

T = Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} ist ein endlich-dimensionaler k− Vektorraum. Sei N = dim_{k} T und e_{1}, …, e_{N} eine Basis von T. Dann operiert GL(N) = Spec k[(a_{ij})_{i,j=1,...N}]_{det(a_{ij})} auf Spec T vermöge der Abbildung, die durch

e_{i} ↦ ∑_{j=1}^{N} a_{ij} ⊗ e_{j}

gegeben ist. Behauptung 2 : Es gibt einen algebraischen Gruppenhomomorphismus G → GL(N), der zusammen mit der gerade definierten Gruppenoperation von GL(N) auf T die Operation von G auf T induziert. Beweis von Behauptung 2 : Für globale Schnitte S = H^{0}(G, O_{G}) von G erhält man zusammen mit dem folgenden Lemma die Aussagen:

(i) Das Diagramm

\xymatrix{S ⊗_{k} S ⊗_{k} T & S ⊗_{k} T \ar[l]_{1_{S}⊗τ̂} \\ S ⊗_{k} T \ar[u]^{μ̂⊗1_{T}} & T \ar[u]_{τ̂} \ar[l]_{τ̂}}

kommutiert.

(ii) Der Morphismus

T →^{τ̂} S ⊗ T ⟶^{ê⊗1_{T}} T

ist die Identität.

Dabei bezeichnen τ̂, μ̂, ê die zur Gruppenoperation σ, der Multiplikationsabbildung μ und dem Eins-Morphismus e auf G gehörigen Algebra-Homomorphismen der globalen Schnitte. τ̂ definiert also eine duale Operation von G auf dem k− Vektorraum T (vgl. [MF82, p.25]).

Lemma 1.12 (Künneth-Formel). Für zwei k− Schemata X und Y gilt:

H^{0}(X ×_{k} Y, O_{X×_{k}Y}) = H^{0}(X, O_{X}) ⊗_{k} H^{0}(Y, O_{Y}).

Beweis: Seien {U_{i}} und {V_{j}} Überdeckungen von X und Y, U_{i} = Spec A_{i}, V_{j} = Spec B_{j}. Nach Konstruktion des Faserprodukts (vgl. [Har77, II.3.3]) ist

H^{0}(U_{i} ×_{k} V_{j}, O_{X×_{k}Y}) = A_{i} ⊗_{k} B_{j}.

Sei e ∈ B_{j} für festes j. Da das Tensorprodukt über k gebildet wird, kleben Schnitte a_{i} ⊗e auf U_{i} × V_{j} nur zu einem Schnitt auf X × V_{j} zusammen, wenn die a_{i} zu einem globalen Schnitt von X zusammenkleben. Da B_{j} ein Vektorraum ist, kann man eine Basis wählen und aus dieser Aussage folgern:

H^{0}(X ×_{k} V_{j}, O_{X×_{k}Y}) = H^{0}(X, O_{X}) ⊗_{k} B_{j}.

Nochmalige Anwendung des Arguments auf Y liefert die Behauptung des Lemmas. □

Mit der oben gewählten Basis {e_{i}}_{1≤i≤N} des Vektorraums T kann man den Ringhomomorphismus τ̂ : T → S ⊗ T beschreiben durch die Bilder der Basisvektoren:

τ̂(e_{i}) = ∑_{j} a_{ij} ⊗ e_{j}.

Die a_{ij} ∈ S = H^{0}(G, O_{G}) definieren dann einen Morphismus φ : G → 𝔸^{N^{2}} [Har77, II.Ex.2.4]. Eigenschaft (i) der dualen Operation τ̂ besagt nun, daß φ mit Gruppenmultiplikation in G und Matrixmultikation in 𝔸^{N^{2}} verträglich ist, während aus Eigenschaft (ii) folgt, daß das Einselement von G auf die Einheitsmatrix in 𝔸^{N^{2}} abgebildet wird. φ ist also nichts anderes als ein Gruppenhomomorphismus von G nach GL(N), der mit den jeweiligen Operationen auf Spec T verträglich ist. □

Von jetzt an muß man verschiedene Exponenten s des maximalen Ideals 𝔪_{x} betrachten. Behauptung 3 : Der gerade definierte Gruppenhomomorphismus G → GL(N_{s}) ist für s ≫ 0 injektiv. Beweis für Behauptung 3 : Die Kerne der Gruppenhomomorphismen φ_{s} sind (abgeschlossene) algebraische Untergruppen, also reduzierte algebraische Unterschemata von G. Betrachtet man einen abgeschlossenen Punkt g ∈ G, so induziert der Isomorphismus

Spec T_{s} →^{g·} Spec T_{s}

für einen Exponenten s auch alle Isomorphismen für kleinere Exponenten s′ < s, da Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s′} ein abgeschlossenes Unterschema von Spec O_{X,x}/𝔪_{x}^{s} ist. Es folgt:

ker φ_{s} ⊂ ker φ_{s′}.

Da G Noethersch ist, wird diese absteigende Kette schließlich ab einem S ≫ 0 konstant:

G′ := ker φ_{t} = ker φ_{t′} ⊂ G, t, t′ ≥ S.

Angenommen, G′ ≠ {e}. Ein abgeschlossener Punkt g ∈ G′ induziert im Fixpunkt x ein kommutatives Diagramm von Ring-Homomorphismen

O_{X,x}  →^{τ̂_{g}} O_{X,x}
↓  ↓
O_{X,x}/𝔪_{x}^{t} →^{τ̂_{g,t}} O_{X,x}/𝔪_{x}^{t},

wobei die senkrechten Pfeile die Restklassenabbildung darstellen.

Nach Annahme sind die τ̂_{t,g} die Identität. Also ist auch τ̂_{g} die Identität: Denn für ein f ∈ O_{X,x} mit τ̂_{g}(f) ≠ f gäbe es wegen ⋂_{t∈ℕ} 𝔪_{x}^{t} = 0 [Eis95, Cor. 5.4] auch ein t mit τ̂_{g}(f) − f ∉ 𝔪_{x}^{t}. Widerspruch zu τ̂_{t,g}(f̄) = f̄! Man betrachte jetzt einen abgeschlossenen Punkt g ∈ G′ ⊂ G und den davon induzierten Automorphismus φ : X →^{g·} X. Wie gerade gezeigt ist der induzierte Ringautomorphismus φ_{x}^{#} auf dem lokalen Ring O_{X,x} die Identität. Sei Spec A = U ⊂ X eine affine offene Umgebung des Fixpunktes x und Spec B = V ⊂ X die affine Bildumgebung von x. Angenommen, für einen abgeschlossenen Punkt y ∈ U ∩V gilt

φ(y) = y′ ≠ y.

Es gibt dann einen Schnitt f ∈ H^{0}(V, O_{X}) = B mit f ∉ 𝔪_{y}, aber f ∈ 𝔪_{y′}. Da y′ = φ(y), gilt

φ_{V}^{#}(f) ∈ 𝔪_{y} ⊂ A.

φ_{x}^{#} ist die Identität, also gilt für eine offene Teilmenge W ⊂ U ∩ V:

φ_{V}^{#}(f)_{|W} = f_{|W} .

Da X eine Varietät ist, die Ringe der Strukturgarbe also Integritätsringe sind, folgt mit [Har77, II.5.3(a)]:

φ_{V}^{#}(f)_{|U∩V} = f_{|U∩V} .

Das ist aber wegen y ∈ U ∩V ein Widerspruch zu f ∉ 𝔪_{y} und φ_{V}^{#}(f) ∈ 𝔪_{y}. Also φ(y) = y für alle y ∈ U ∩ V. Es folgt U = V = Spec A. Der Ringautomorphismus φ^{#} : A → A muß die Identität sein, weil die induzierte Abbildung A_{𝔪_{y}} → A_{𝔪_{y}} für alle maximalen Ideale 𝔪_{y} die Identität und A ein Integritätsring ist. Ein Automorphismus einer Varietät, der auf einer offenen Teilmenge die Identität ist, ist es aber auch insgesamt: Der Graph der Identität ist Δ ⊂ X × X, und der Schnitt des Graphen eines beliebigen Automorphismus mit Δ ist abgeschlossen. φ kann aber nicht die Identität sein, weil die Operation σ : G × X → X treu ist. Also:

G′ = {e}.

□

G ist damit für s ≫ 0 eine algebraische Untergruppe von GL(N_{s}). Als konstruierbare Menge enthält G nach [Har77, II.Ex.3.19(b)] eine offene Teilmenge des Abschlußes Ḡ ⊂ GL(N_{s}) und deshalb gilt nach [Spr81, 2.2.4(ii)]: G = Ḡ ist eine (nichttriviale) abgeschlossene Untergruppe von GL(N_{s}), also linear-algebraisch. □

1.4 Morphismen und Vektorfelder

Sei f : X → Y ein Morphismus zwischen quasi-projektiven Schemata und G eine algebraische Gruppe. Weiter seien σ : G × X → X und τ : G × Y → Y zwei Gruppenoperationen auf X und Y.

Definition 1.13. f heißt G-äquivariant bzgl. σ und τ, wenn folgendes Diagramm kommutiert:

\xymatrix{G × X \ar[r]^{σ} \ar[d]_{id×f} & X \ar[d]^{f} \\ G × Y \ar[r]^{τ} & Y}

Interessant ist folgendes Beispiel:

Lemma 1.14. Sei X ein projektives Schema und G eine algebraische Gruppe, die auf X operiert. Dann operiert G so auf dem Hilbertschema Hilb(X) und der zugehörigen universellen Familie U ⊂ Hilb(X) × X, daß alle Morphismen im folgenden Diagramm G− äquivariant sind:

\xymatrix{U \ar[dr] \ar@{^{(}->}[r] & Hilb(X) × X \ar[r] \ar[d] & X \\  & Hilb(X)}

Beweis: Sei H = Hilb(X). Aus folgendem Diagramm geht hervor, wie man aus einer Gruppenoperation σ : G×X → X zwei Morphismen τ : G×H → H und τ_{U} : G×U → U konstruiert:

[figure: G × U; ≅; τ_{U}; U′; U; G × X × H; pr; pr_{G}×(σ∘pr_{G×X})×pr_{H}; G × X × H; pr; pr_{X}×(τ∘pr_{G×H}); X × H; pr; G × H; G × H; ∃τ; H]

Der Morphismus τ existiert, weil die Familie U′ → G × H zur Familie G × U → G × H isomorph und damit ebenfalls flach ist. τ_{U} wird vom Faserprodukt von τ mit der universellen Familie U induziert. τ und τ_{U} sind Gruppenoperationen: Es ist klar, daß das Einselement von G die Identität induziert. Zum Nachweis des ersten Axioms einer Gruppenoperation (s. Definition 1.3) reicht die Kommutativität des folgenden Diagramms, die aus den Eigenschaften der Operation von G auf X folgt:

\xymatrix{G × G × X × H \ar[r]^{pr_{G}×(σ∘pr_{G×X})×(τ∘pr_{G×H})} \ar[d]_{(μ∘pr_{G×G})×pr_{X×H}} & G × X × H \ar[d]^{(σ∘pr_{G×X})×(τ∘pr_{G×H})} \\ G × X × H \ar[r]^{(σ∘pr_{G×X})×(τ∘pr_{G×H})} & X × H}

□

Seien jetzt v und w zwei Vektorfelder auf X und Y.

Definition 1.15. v und w heißen äquivariant bzgl. f, wenn für alle affinen Teilmengen U = Spec B ⊂ X und V = Spec A ⊂ Y mit f_{|U} : U → V ⊂ Y folgendes Diagramm kommutiert:

\xymatrix{A \ar[r]^{f^{#}} \ar[d]^{D_{w}} & B \ar[d]^{D_{v}} \\ A \ar[r]^{f^{#}} & B}

Dabei seien f^{#} : A → B der von f induzierte Ringhomomorphismus und D_{v}, D_{w} die von v, w auf B, A induzierten Derivationen.

Lemma 1.16. Sei f : X → Y eine G-äquivariante Abbildung. Wenn v ∈ H^{0}(X, T_{X}) und w ∈ H^{0}(Y, T_{Y}) von demselben Tangentialvektor in T_{G,e} induziert werden, dann sind v und w äquivariant.

Beweis: Sei Spec k[ϵ] → G der vorgegebene Tangentialvektor. Wegen der G−Äquivarianz von f kommutiert das induzierte Diagramm

\xymatrix{Spec k × X \ar[r]^{σ_{v}} \ar[d]_{id×f} & X \ar[d]^{f} \\ Spec k × Y \ar[r]^{τ_{w}} & Y}

Eingeschränkt auf affine Teilmengen erhält man die Definition von äquivarianten Vektorfeldern (vgl. 1.2). □

Lemma 1.17. Sei i : Y ↪ X eine abgeschlossene Immersion und v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld auf X. Dann kann es höchstens ein äquivariantes Vektorfeld w ∈ H^{0}(Y, T_{Y}) geben.

Beweis: Es reicht, die Behauptung für affine Schemata X = Spec A und Y = Spec A/I zu zeigen, wobei I ⊂ A ein Ideal ist. Wenn v und w äquivariant sind, dann lassen die zugehörigen Derivationen nach Definition folgendes Diagramm kommutieren:

\xymatrix{A \ar[r]^{f^{#}} \ar[d]^{D_{v}} & A/I \ar[d]^{D_{w}} \\ A \ar[r]^{f^{#}} & A/I}

D_{w} ist dann aber durch D_{v} eindeutig bestimmt. □ Bemerkung: Das obige Diagramm zeigt auch: D_{w} existiert genau dann, wenn D_{v}I ⊂ I.

Definition 1.18. Sei i : Y ↪ X eine abgeschlossene Immersion und v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld. v stabilisiert das abgeschlossene Unterschema Y, falls ein (eindeutig bestimmtes) äquivariantes Vektorfeld w = v_{|Y} auf Y existiert.

Lemma 1.19. Sei X ein projektives Schema und Y ⊂ X ein abgeschlossenes Unterschema. Sei v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld ≠ 0, das Y stabilisiert. Dann gibt es eine algebraische Gruppe G ⊂ Aut X, die nichttrivial auf Y operiert.

Beweis: Man betrachte die projektive Zusammenhangskomponente H des Hilbertschemas von X, die den Punkt [Y] zu Y enthält. Dann operiert wegen Lemma 1.14 die Zusammenhangskomponente Aut^{0}(X) der Automorphismengruppe von X äquivariant auf H und der universellen Familie U_{H} über H. Sei K der Kern des Gruppenhomomorphismus

φ : Aut^{0}(X) → Aut(H).

Wenn v von einem Tangentialvektor an K induziert wird, dann hat K die gewünschte Eigenschaft. Sonst weiß man, daß das Vektorfeld v eine Nullstelle in [Y] hat, also ist

G = Aut(H/[Y]) ∩ φ(Aut^{0}(X))

nichttrivial. Wegen der Äquivarianz operiert dann G nichttrivial auf Y, und v wird von einem Tangentialvektor an G induziert. □

Lemma 1.20. Sei f : X → Y ein Morphismus zwischen quasi-projektiven Schemata und v ∈ H^{0}(X, T_{X}), w ∈ H^{0}(Y, T_{Y}) zwei äquivariante Vektorfelder. Seien X′ ⊂ X und Y′ ⊂ Y zwei abgeschlossene Unterschemata, die von v bzw. w stabilisiert werden. Dann stabilisiert w das abgeschlossene Unterschema f(X′) ⊂ Y, und v stabilisiert f^{−1}(Y′) ⊂ X. Bild und Urbild sind dabei schematheoretisch zu verstehen.

Beweis: Auf affinen Teilmengen U = Spec B ⊂ X und V = Spec A ⊂ Y entsprechen X′ und Y′ Idealen J ∈ B und I ∈ A. Wenn f_{|U} : U → V ⊂ Y, dann kommutiert nach Definition folgendes Diagramm:

\xymatrix{A \ar[r]^{f^{#}} \ar[d]^{D_{w}} & B \ar[d]^{D_{v}} \\ A \ar[r]^{f^{#}} & B}

Weil v und w die Unterschemata X′ und Y′ stabilisieren, bildet D_{w} das Ideal I bzw. D_{v} das Ideal J auf sich selbst ab. Im ersten Fall bildet wegen der Kommutativität des obigen Diagramms aber auch D_{v} das Ideal IB auf sich selbst ab, im zweiten Fall D_{w} das Ideal f^{−1}(J) auf sich selbst. IB und f^{−1}(J) sind aber die Ideale zu (schementheoretischem) Urbild bzw. Bild von Y′ bzw. X′. □ Besonders einfach verhalten sich Vektorfelder bei der Normalisierung:

Proposition 1.21. Sei X eine projektive Varietät. Zu jedem Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, T_{X}) gibt es ein eindeutig bestimmtes äquivariantes Vektorfeld ṽ auf der Normalisierung X̃.

Beweis: Die Aussage folgt aus der Tatsache, daß man die Gruppenoperation σ von Aut X auf X liften kann zu einer Gruppenoperation auf der Normalisierung X̃: Da Aut X nichtsingulär ist (Theorem 1.2), ist Aut X und damit auch Aut X ×X̃ normal [GD71, IV.6.14]. Wegen der universellen Eigenschaft der Normalisierung [Har77, II.Ex.3.7] existiert dann ein Morphismus σ̃ : Aut X × X̃ → X̃, der folgendes Diagramm kommutativ macht:

\xymatrix{Aut X × X̃ \ar[r]^{σ̃} \ar[d]_{id_{Aut X}×f} & X̃ \ar[d]^{f} \\ Aut X × X \ar[r]^{σ} & X}

Daß σ̃ eine Gruppenoperation von Aut X auf X̃ ist, folgt direkt aus der Eindeutigkeitsaussage in der universellen Eigenschaft der Normalisierung. Die Normalisierung f ist also Aut X− invariant. Mit Lemma 1.16 folgt die Existenzaussage. Zur Eindeutigkeit: Auf dem normalen Ort Nor(X) der Varietät ist f ein Isomorphismus. Da ein Automorphismus einen normalen Punkt auf einen normalen Punkt abbilden muß , stimmen das Vektorfeld v und seine äquivariante Liftung ṽ auf Nor(X) überein. Dadurch ist ṽ auf X̃ aber eindeutig bestimmt. □

Auch bei Aufblasungen verhalten sich Vektorfelder gut:

Proposition 1.22. Sei X eine projektive Varietät, Y ⊂ X ein abgeschlossenes Unterschema und σ : G × X → X die Operation einer algebraischen Gruppe G auf X. Wenn G das Unterschema Y stabilisiert, also

σ(G × Y) ⊂ Y,

dann gibt es auf der Aufblasung π : X̃ → X von Y eine äquivariante Gruppenoperation

σ̃ : G × X̃ → X̃.

Beweis: Dies folgt analog zur Normalisierung aus der universellen Eigenschaft der Aufblasung [Har77, II.7.14]. □

Um eine ähnliche Aussage für Morphismen X → ℙ^{N} formulieren zu können, die von einem vollständigen Linearsystem induziert werden, zeigt man zuerst folgende

Proposition 1.23. Jede algebraische Gruppenoperation G × X → X einer zusammenhängenden algebraischen Gruppe G auf einem projektiven Schema X induziert einen algebraischen Gruppenhomomorphismus G → Pic X.

Beweis: Der Rückzug von invertierbaren Garben definiert eine natürliche (algebraische) Operation G × Pic X → Pic X der Gruppe G auf Pic X. Das heißt aber: Es gibt einen Gruppenhomomorphismus

G → Aut(Pic X).

Da der Vektorraum der Vektorfelder einer n-dimensionalen Abelschen Varietät wieder ndimensional ist (beachte die Darstellung der abelschen Varietät als ℂ^{n}/Λ, wobei Λ ⊂ ℂ^{n} ein Gitter ist), muß ihre Automorphismengruppe n-dimensional und damit die Zusammenhangskomponente der 0 wieder die Abelschen Varietät selbst sein. Es gibt also einen Gruppenhomomorphismus G → Pic X. □

Jetzt läßt sich folgendes Theorem aufstellen:

Theorem 1.24. Sei f : X →^{|H|} ℙ^{N} ein Morphismus des projektiven Schemas X in den ℙ^{N}, der von dem vollständigen Linearsystem |H| auf X induziert wird. Sei σ : G×X → X eine Operation der zusammenhängenden algebraischen Gruppe G auf X, die das Geradenbündel O(H) ∈ Pic X fixiert. Dann operiert G äquivariant auf ℙ^{N}.

Beweis: Das Theorem von Blanchard [Bla55] ist ein Spezialfall dieses Theorems: Aus

H^{1}(X, O_{X}) = 0

folgt die Injektivität der Abbildung Pic X ≅ H^{1}(X, O^{∗}) → H^{2}(X, ℤ) aus der langen exakten Exponentialsequenz, und das impliziert, daß Pic X diskret ist. Also ist die Voraussetzung des Theorems erfüllt. Der Beweis findet sich natürlich bei [Bla55] und ist sehr einfach: Da die induzierte Operation von G auf Pic X die invertierbare Garbe O_{X}(H) fixiert, operiert G auf

ℙ(H^{0}(X, O(H)) = ℙ^{N}.

Das folgt aus den universellen Eigenschaften des Picardschemas und des die Elemente eines Linearsystems parametrisierenden Schemas, vgl. etwa [Mum66, 12,13]. Daß diese Operation mit der auf X über den durch |H| gegebenen Morphismus f verträglich ist, ist auch klar. □

Die Voraussetzung des Theorems an H ist zum Beispiel für linear-algebraische Gruppen immer erfüllt:

Lemma 1.25. Sei σ : G × X → X eine algebraische Operation der zusammenhängenden linear-algebraischen Gruppe G auf der glatten projektiven Varietät X. Dann ist der induzierte algebraische Gruppenhomomorphismus G → Pic X trivial.

1.5. VEKTORFELDER IN ℙ^{N} 25

Beweis: Algebraische Gruppen-Homomorphismen f : G → X von linear-algebraischen Gruppen in Abelsche Varietäten sind immer trivial: Das Bild f(G) ist eine konstruierbare Menge, enthält also eine offene Teilmenge des Abschlusses \overline{f(G)}. Da f(G) außerdem eine Untergruppe von X ist, folgt nach [Spr81, 2.2.4(ii)]

f(G) = \overline{f(G)} ⊂ X;

also ist f(G) projektiv (und kompakt). Andererseits ist f(G) ≅ G/H, wobei H eine abgeschlossene normale Untergruppe von G ist. Nach [Spr81, 5.2.5(i)] ist G/H dann eine affine Varietät. Die einzige kompakte affine Varietät ist aber ein Punkt. □

1.5 Vektorfelder in ℙ^{n}

Man betrachte folgendes Diagramm mit den natürlichen Morphismen zwischen ℙ^{n}, dem affinen Kegel über ℙ^{n} ohne den Nullpunkt und dem affinen Kegel selbst:

\xymatrix{𝔸^{n+1} \ \{0\} \ar[d]_{π} \ar@{^{(}->}[r]^{i} & 𝔸^{n+1} \\ ℙ^{n}}

Die natürlichen Operationen von GL(n + 1) auf diesen drei quasi-projektiven Varietäten sind offensichtlich äquivariant. Der Kern der Operation auf ℙ^{n} besteht aus allen Vielfachen der Einheitsmatrix, und der Quotient von GL(n+1) mit dieser Untergruppe ergibt gerade die Automorphismengruppe PGL(n+1) von ℙ^{n}. Also werden alle Vektorfelder auf ℙ^{n} von dieser GL(n+1)−Operation induziert. Der Tangentialraum T_{GL(n+1),e} ist die Lie-Algebra 𝔤l(n + 1) der Gruppe GL(n + 1). Man kann sie auffassen als Vektorraum M(n + 1, n + 1) der quadratischen (n + 1) × (n + 1)− Matrizen (vgl. [Spr81, 3.3]). Es gilt also:

H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) ≅ 𝔤l(n + 1)/λ · E_{n+1}, λ ∈ k.

Auf 𝔸^{n+1} entsprechen Vektorfelder k− Derivationen des Polynomrings S = k[x_{0}, …, x_{n}] [Eis95, Ch.16]:

H^{0}(𝔸^{n+1}, T_{𝔸^{n+1}}) ≅ S · \frac{∂}{∂x_{0}} ⊕ ⋯ ⊕ S · \frac{∂}{∂x_{n}} .

Die Derivation \frac{∂}{∂x_{i}} bildet dabei x_{j} auf δ_{ij} ab. Ein Tangentialvektor aus T_{GL(n+1),e} entspricht einem Morphismus (vgl. Abschnitt 1.2)

Spec k[ϵ] → GL(n + 1) ≅ Spec k[X_{ij}, det(X_{ij})^{−1}],

also einem Algebra-Homomorphismus

\begin{matrix}k[X_{ij}, det(X_{ij})^{−1}] & → & k[ϵ] \\ X_{ij} & ↦ & δ_{ij} + a_{ij}ϵ . \end{matrix}

Die (n + 1) × (n + 1)−Matrix (a_{ij}) ergibt das entsprechende Element aus der Lie-Algebra.

Der Tangentialvektor induziert weiter den Spec k[ϵ]− Automorphismus

Spec k[ϵ] × 𝔸^{n+1} → 𝔸^{n+1},

also den Algebra-Homomorphismus

\begin{matrix}S & → & S ⊗ k[ϵ] = S[ϵ] \\ x_{i} & ↦ & x_{i} + (∑_{j=0}^{n} a_{ij}x_{j})ϵ . \end{matrix}

Der ϵ− Anteil ergibt die zugehörige Derivation auf S, also

∑_{i,j=0}^{n} a_{ij}x_{j} \frac{∂}{∂x_{i}} .

Die Vielfachen λ · E_{n+1} der Identität aus der Lie-Algebra ergeben so die Derivationen

λ ∑_{i=0}^{n} x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} .

Bemerkung: Das alles läßt sich natürlich auch aus der Euler-Sequenz

0 → O_{ℙ^{n}} → O_{ℙ^{n}}^{n+1} → T_{ℙ^{n}} → 0.

([Har77, II.8.17]) herleiten: Der Anfang der zugehörigen langen exakten Sequenz ist

0 → H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}) → H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}^{n+1}) → H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) → 0,

der erste k− Vektorraum H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}) wird von der Derivation ∑_{i=0}^{n} x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} erzeugt, und die ∑_{i,j=0,... ,n} a_{ij}x_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} erzeugen H^{0}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}^{n+1}).

Sei nun X ⊂ ℙ^{n} ein abgeschlossenes Unterschema. Zu ihm gehört ein (saturiertes) homogenes Ideal I_{X} ⊂ k[x_{0}, …, x_{n}], das wiederum das abgeschlossene Unterschema V (I) = i(π^{−1}(X)) ⊂ 𝔸^{n+1} definiert. Umgekehrt gilt auch:

π(i^{−1}(V (I))) = X.

Lemma 1.26. Ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) stabilisiert das Schema X genau dann, wenn für eine äquivariante Derivation D_{v} ∈ H^{0}(𝔸^{n+1}, T_{𝔸^{n+1}}) gilt:

D_{v}I ⊂ I.

Beweis: In Lemma 1.20 wurde gezeigt, daß (schementheoretische) Bilder und Urbilder von stabilisierten abgeschlossenen Unterschemata von äquivarianten Vektorfeldern wieder stabilisiert werden . Wegen der Bemerkung vor Definition 1.18 stabilisiert D_{v} das Unterschema V (I) genau dann, wenn D_{v}I ⊂ I. □ Bemerkung: Zwei äquivariante Derivationen D_{v} und D′_{v} unterscheiden sich durch eine Derivation der Form D_{λ} = λ(∑_{i=0}^{n} x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}}). Offensichtlich gilt D_{λ}I = I, also ist es egal, welche äquivariante Derivation man wählt.

Korollar 1.27. Sei v ∈ H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) ein Vektorfeld. Sei A_{v} ein als Endomorphismus von k^{n+1} aufgefaßtes Element der Lie-Algebra 𝔤l(n+1) ≅ M(n+1, n+1), das v repräsentiert. v hat genau dann eine Nullstelle im Punkt P = (p_{0} : …: p_{n}), wenn (p_{0}, …, p_{n}) Eigenvektor von A_{v} ist.

Beweis: v stabilisiert offenbar den Punkt P. Also muß A_{v}, aufgefaßt als Derivation, das (saturierte) homogene Ideal I_{P} von P auf sich selbst abbilden. Sei o.E. P = (1 : 0 : …: 0) (sonst führe man eine projektive Transformation durch). Dann ist I_{P} = (x_{1}, …, x_{n}) und

A_{v}I = (∑_{i=0}^{n} a_{i1}x_{i}, …, ∑_{i=0}^{n} a_{in}x_{i}).

Das Ideal A_{v}I ist genau dann in I enthalten, wenn keiner der linearen Erzeuger von A_{v}I ein x_{0} enthält, also a_{01} = … = a_{0n} = 0. Das bedeutet aber, daß (1, 0, …, 0) durch A_{v} auf (a_{00}, 0, …, 0) abgebildet wird, also ein Eigenvektor ist. □ Bemerkung: Wie in der vorherigen Bemerkung zeigt man, daß man einen beliebigen Repräsentanten von v wählen kann: Alle Vektoren sind Eigenvektoren des Endomorphismus λE_{n+1}. Ebenso ist klar, daß mit (p_{0}, …, p_{n}) auch (ap_{0}, …, ap_{n}) ein Eigenvektor ist.

Definition 1.28. Sei X ein projektives Schema. Ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, T_{X}) heißt additiv bzw. multiplikativ, falls v von einer Gruppenoperation von k^{+} bzw. k^{∗} induziert wird.

Proposition 1.29. Ein multiplikatives Vektorfeld auf ℙ^{n} kann repräsentiert werden durch ein Vielfaches einer diagonalisierbaren (n + 1) × (n + 1)− Matrix, deren Eigenwerte ganzzahlig sind, ein additives durch eine nilpotente Matrix.

Beweis: Die k^{∗}−bzw. k^{+}−Operation, die das Vektorfeld v induziert, operiert äquivariant auf 𝔸^{n+1}, und zwar als Darstellung, d.h. als Untergruppe von GL(n + 1). Für derartige (algebraische) Darstellungen gibt es Klassifikationssätze:

(i) Da k^{∗} diagonalisierbar ist, zerlegt sich jede k^{∗}− Darstellung auf k^{n+1} in eine direkte Summe von eindimensionalen Darstellungen [Spr81, 2.5.2(c)]. Eindimensionale Darstellungen von k^{∗} werden von Gruppenhomomorphismen k^{∗} → k^{∗} ≅ GL(1) induziert. Alle derartigen Gruppenhomomorphismen haben die Gestalt t ↦ t^{a} für ein a ∈ ℤ [Spr81, 2.5.5(1)]. Zur ursprünglichen (n+1)−dimensionalen Darstellung gibt es also eine Basis und ganze Zahlen a_{0}, …, a_{n}, so daß das Gruppenelement t ∈ k^{∗} auf k^{n+1} bezüglich der Basis mit der Matrix

( \begin{matrix}t^{a_{0}} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & t^{a_{n+1}} \end{matrix} )

operiert.

(ii) Sei 𝕌_{n+1} ⊂ GL(n + 1) die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen in der Hauptdiagonalen. Da k^{+} eine unipotente Gruppe ist, gibt es eine Basis von k^{n+1}, so daß die Darstellung von einem Gruppenhomomorphismus

k^{+} → 𝕌_{n+1} ⊂ GL(n + 1)

induziert wird [Spr81, 2.4.11]. Alle Elemente der Lie-Algebra von 𝕌_{n+1} sind aber nilpotent [Spr81, 3.3.10(2)].

Sei umgekehrt eine Diagonalmatrix mit ganzzahligen Einträgen a_{0}, …, a_{n} ∈ ℤ gegeben. Die oben beschriebene k^{∗}− Gruppenoperation induziert diese Diagonalmatrix in der Lie-Algebra 𝔤l(n + 1). Eine nilpotente Matrix A mit Nilpotenzindex l, also A^{l−1} ≠ A^{l} = 0, wird induziert von einer k^{+}− Operation auf k^{n+1}, bei der b ∈ k^{+} mit der Matrix

E_{n+1} + b · A + \frac{1}{2}b^{2} · A^{2} + … + \frac{1}{(l − 1)!}b^{l−1} · A^{l−1}

operiert. □ Bemerkung: Die k^{∗}− und k^{+}− Operationen entstehen durch Integration aus den jeweiligen Vektorfeldern.

Proposition 1.30. Sei w ein Vektorfeld auf ℙ^{n}. Dann operiert eine kommutative Gruppe G = (k^{∗})^{s}×k^{+} ⊂ GL(n+1) so auf ℙ^{n}, daß dem Vektorfeld w ein Tangentialvektor \overline{w} ∈ T_{G,e} entspricht, und (ℙ^{n})^{G} = Z(w).

Beweis: Man kann w als Endomorphismus des Vektorraums k^{n+1} auffassen. Sei k^{n+1} = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{s} die Zerlegung von V in die s Haupträume, die jeweils den Jordan-Blöcken von w mit demselben Eigenwert entsprechen. w läßt sich dann in Vektorfelder w = w_{0} ⊕ w_{1} ⊕ … ⊕ w_{s} zerlegen, wobei w_{0} eine nilpotente Matrix ist und

w_{i|V_{1}⊕...⊕V̂_{i}⊕...⊕V_{s}} = 0 , w_{i|V_{i}} = μ_{i} · id_{V_{s}}, μ_{i} ∈ k, i = 1, …, s.

O.E. kann man annehmen, daß die μ_{i} ≠ 0. Wegen Proposition 1.29 existiert zu w_{0} eine k^{+}− Operation und zu den restlichen w_{i} jeweils eine k_{i}^{∗}− Operationen, so daß ein Tangentialvektor an die Eins w_{i} entspricht. Über die Operation des Produkts G entspricht ein Tangentialvektor an G der Summe w = ⨁ w_{i}. Da G kommutativ ist, gilt:

(ℙ^{n})^{G} = (ℙ^{n})^{k^{+}} ∩ ⋂(ℙ^{n})^{k_{i}^{∗}}.

Nullstellen eines Vektorfeldes auf ℙ^{n} entsprechen Eigenvektoren eines repräsentierenden Endomorphismus auf k^{n+1}. Die Menge E_{w} aller Eigenvektoren ist die Vereinigung der Eigenvektorräume E_{i} in den Haupträumen V_{i}. Die E_{i} sind der Schnitt des Eigenvektorraums des nilpotenten Anteils E_{0} des Endomorphismus mit dem Hauptraum V_{i}. Weil die Eigenwerte μ_{i} ≠ 0, gilt E_{w_{i}} = V_{i} ∪ ⨁_{j≠i} V_{j}. Also:

E_{w} = ∪E_{i} = ∪(E_{0} ∩ V_{i}) = E_{0} ∩ (∪V_{i}) = E_{0} ∩ (∩(V_{i} ∪ ⨁_{j≠i} V_{j})) = E_{0} ∩ ⋂ E_{w_{i}}.

Übertragen auf die Nullstellenorte:

Z(w) = Z(w_{0}) ∩ ⋂ Z(w_{i}).

Da schließlich (ℙ^{n})^{k^{+}} = Z(w_{0}) und (ℙ^{n})^{k_{i}^{∗}} = Z(w_{i}), folgt der letzte Teil der Behauptung. □ Bemerkung: Falls der nilpotente Anteil w_{0} = 0 ist, operiert k^{+} trivial. Falls der diagonalisierbare Anteil s = 1 ist, kann man k^{∗} trivial operieren lassen.

Korollar 1.31. Sei w ein Vektorfeld auf einer projektiven Varietät X mit Nullstellen. Dann operiert auf X eine kommutative lineare algebraische Gruppe H = (ℂ^{∗})^{k} × (ℂ^{+})^{ϵ}, ϵ ∈ {0, 1}, auf der ein Tangentialvektor an das Einselement dem Vektorfeld w entspricht, und X^{H} = Z(w).

1.6. VEKTORFELDER AUF PROJEKTIVEN BÜNDELN ÜBER ℙ^{N} 29

Beweis: Da w Nullstellen hat, läßt sich X wegen Theorem 1.24 bezüglich des Vektorfeldes w äquivariant in einen ℙ^{N} einbetten; das äquivariante Vektorfeld auf ℙ^{N} sei \overline{w}. Nach Proposition 1.30 existiert eine kommutative lineare algebraische Gruppe

G = (ℂ^{∗})^{k} × ℂ^{+},

die auf ℙ^{N} so operiert, daß die Fixpunkte der Operation mit den Nullstellen von \overline{w} auf ℙ^{N} übereinstimmen. G muß nun nicht unbedingt die Untervarietät X stabilisieren. Da aber das von G induzierte Vektorfeld \overline{w} die Varietät X stabilisiert, gibt es nach Lemma 1.19 eine nichttriviale Untergruppe H ⊂ G, die X stabilisiert und w induziert. Da zusätzliche Fixpunkte von H auf X auch Nullstellen von w wären, gilt

X^{H} = Z(w) ⊂ X.

H läßt sich als kommutative linear-algebraische Gruppe als Produkt der halbeinfachen Gruppe H_{s} aller halbeinfachen Elemente von H und der unipotenten Gruppe H_{u} aller unipotenten Elemente von H darstellen [Spr81, 2.4.12]. Wegen H ⊂ G muß dann H_{s} ⊂ G_{s} = (ℂ^{∗})^{k} und H_{u} ⊂ G_{u} = ℂ^{+} gelten. Sei v = v_{s} ⊕ v_{u} die Zerlegung des Vektorfeldes v in die Vektorfelder, die von H_{s} und H_{u} induziert werden. Als auflösbare Gruppe enthält H_{s} einen Torus T ≅ 𝔻_{t} ≅ (ℂ^{∗})^{t}, der v_{s} induziert [Spr81, 6.11]. □

1.6 Vektorfelder auf projektiven Bündeln über ℙ^{n}

Sei E eine lokal freie Garbe auf ℙ^{n} vom Rang r + 1 und X = ℙ(E) das zugehörige projektive Bündel mit Projektion π : X → ℙ^{n} und relativ ampler Garbe O(1). Sei Aut^{0}(X) die Zusammenhangskomponente der Automorphismengruppe Aut(X), die die Identität enthält. Im folgenden soll eine Beschreibung für Automorphismen g ∈ Aut^{0}(X) und Vektorfelder v ∈ H^{0}(X, T_{X}) gefunden werden. Nach [Har77, II.Ex.7.9] gilt

Pic X = π^{∗}Pic ℙ^{n} ⊕ ℤ ≅ ℤ ⊕ ℤ,

wobei der erste Faktor von π^{∗}O_{ℙ^{n}}(1) und der zweite Faktor von O(1) erzeugt wird. Die zusammenhängende Gruppe Aut^{0}(X) operiert dann auch auf der Gruppe Pic X ≅ ℤ ⊕ ℤ; da ℤ ⊕ ℤ diskret ist, muß die Operation trivial sein. Da die Projektion π : X → ℙ^{n} durch das vollständige Linearsystem der invertierbaren Garbe π^{∗}O_{ℙ^{n}}(1) induziert wird, operiert Aut^{0}(X) nach Theorem 1.24 äquivariant auf ℙ^{n}. Es gibt also einen Gruppenhomomorphismus Γ : Aut^{0}(X) → PGL(n + 1). Man kann nun fragen, ob Γ surjektiv ist. Sei zuerst g ∈ Aut^{0}(X) und f = Γ(g) ∈ PGL(n + 1). Da g^{∗}O(1) faserweise isomorph zu O_{ℙ^{r}}(1) ist, folgt g^{∗}O(1) ≅ O(1) ⊗ π^{∗}L für eine geeignete invertierbare Garbe L auf ℙ^{n}. Da Pic ℙ^{n} = ℤ diskret ist, folgt L ≅ O. Dann ist aber

f^{∗}E = π_{∗}g^{∗}O(1) ≅ π_{∗}O(1) = E.

Lemma 1.32. Sei f : ℙ^{n} → ℙ^{n} ein Automorphismus mit f^{∗}E ≅ E. Dann gibt es eine bijektive Abbildung

α : {ϕ : f^{∗}E →^{≅} E}/ℂ^{∗} → {g : Aut^{0}ℙ(E) mit Γ(g) = f}.

Beweis: Sei zuerst g ein Automorphismus mit Γ(g) = f. Wie oben gezeigt, gibt es einen Garbenisomorphismus

g^{∗}O(1) ≅ O(1),

der festgelegt ist bis auf Multiplikation mit Konstanten c ≠ 0. Er induziert einen Morphismus

ψ : f^{∗}E = π_{∗}g^{∗}O(1) → π_{∗}O(1) = E,

und man kann

α^{−1}(g) = ψ

setzen. Umgekehrt sei ϕ : f^{∗}E →^{≅} E ein Garbenisomorphismus über ℙ^{n}. Man betrachte nun den surjektiven Garbenhomomorphismus

π^{∗}f^{∗}E →^{π^{∗}ϕ} π^{∗}E → O(1),

wobei die letzte Abbildung der natürliche surjektive Garbenisomorphismus π^{∗}E → O(1) sei [Har77, II.7.11]. Die universelle Eigenschaft von projektiven Bündeln [Har77, II.7.12] zeigt, daß dieser Morphismus einen Isomorphismus g : ℙ(E) → ℙ(E) bestimmt mit g^{∗}O(1) ≅ O(1). Verschiedene ϕ bestimmen auf diese Weise genau dann denselben Isomorphismus g, wenn sie sich durch Multiplikation mit einer Konstanten c ≠ 0 unterscheiden. Man kann also

α(ϕ) = g

setzen, und α und α^{−1} sind zueinander invers. □

Bemerkung: Lokal freie Garben E auf ℙ^{n}, für die f^{∗}E ≅ E bei allen Automorphismen f ∈ Aut(ℙ^{n}), entsprechen sogenannten homogenen Vektorbündeln (vgl. [Akh95, Ch. 4]). Es ist relativ einfach, nichthomogene Vektorbündel auf ℙ^{n} zu konstruieren, s. etwa [OSS80, 3.3].

Für homogene Vektorbündel ist also Γ : Aut^{0}ℙ(E) → PGL(n + 1) surjektiv. Dann ist aber auch der induzierte Homomorphismus von Lie-Algebren

γ : H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) → H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) = 𝔰𝔩_{n+1}

surjektiv. Man findet γ wieder in der relativen Tangentialbündelsequenz

0 → T_{ℙ(E)/ℙ^{n}} → T_{ℙ(E)} → π^{∗}T_{ℙ^{n}} → 0

der glatten Abbildung π : ℙ(E) → ℙ^{n} (vgl. [Har77, III.10]): Auf der Ebene der globalen Schnitte ergibt sich die kurze exakte Sequenz

0 → H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)/ℙ^{n}}) →^{i} H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) →^{γ} H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) → 0.

Falls E ≅ O^{r+1}, zeigen die Überlegungen aus Abschnitt 1.5, daß

H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)/ℙ^{n}}) ≅ Hom(E, E)/c · 1_{E}.

Durch Zusammenkleben erhält man diesselbe Aussage für beliebige lokal freie Garben E. Da H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) = 𝔰𝔩_{n+1} halbeinfach ist, folgt aus der Theorie der Lie-Algebren, daß die Sequenz

0 → Hom(E, E)/c · 1_{E} →^{i} H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) →^{γ} 𝔰𝔩_{n+1} → 0

als Lie-Algebren-Sequenz spaltet (vgl [HN91, II.4.9]. Die Theorie der Lie-Algebren sagt weiter: Wenn ψ : 𝔰𝔩_{n+1} → H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) die Spaltungsabbildung ist, dann gibt es den Lie-Algebra-Isomorphismus

H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) ≅ Hom(E, E)/c · 1_{E} ⋊_{α} 𝔰𝔩_{n+1},

wobei das semidirekte Produkt bezüglich der Darstellung

α : 𝔰𝔩_{n+1} → 𝔤𝔩(Hom(E, E)/c · 1_{E}), α(Y)(X) = i^{−1}([ψ(Y), i(X)])

zu nehmen ist. Sei nun n = 1. Die lokal freie Garbe E ist dann vollständig zerlegbar [Har77, V.Ex.2.6]:

E = ⨁_{i=0}^{r} O_{ℙ^{1}}(n_{i}).

Die Projektionen p_{i} : ⨁_{i=0}^{r} O(n_{i}) → O(n_{i}) definieren “ausgezeichnete” Schnitte σ_{i} : ℙ^{1} → ℙ(E).

Proposition 1.33. Es gibt in der obigen Lie-Algebra-Sequenz genau einen Spaltungshomomorphismus

ψ : 𝔰𝔩_{2} → H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}),

so daß alle Vektorfelder v ∈ ψ(𝔰𝔩_{2}) ⊂ H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) die Schnitte σ_{i} stabilisieren.

Beweis: Da nach [Har77, II.7.9] ℙ(E) ≅ ℙ(E ⊗ O(d)), kann man o.E. annehmen, daß 0 = n_{0} ≤ n_{1} ≤ … ≤ n_{r} ist. Die Garbensurjektion ⨁_{i=0}^{r} O^{n_{i}+1} → ⨁_{i=0}^{r} O(n_{i}) liefert dann (mit N = ∑_{i}(n_{i} + 1) − 1) eine äquivariante Einbettung

ℙ(E) ↪ ℙ^{1} × ℙ^{N},

Der Morphismus wird auch durch das vollständige Linearsystem |O(1)| des projektivierten Bündels ℙ(E) induziert, ist also nach Theorem 1.24 äquivariant. Wie am Anfang des Abschnitts zeigt man, daß Aut^{0}(ℙ^{1}×ℙ^{N}) äquivariant bzgl. der beiden Projektionen p_{1} : ℙ^{1} × ℙ^{N} → ℙ^{1} und p_{2} : ℙ^{1} × ℙ^{N} → ℙ^{N} ist, also

Aut^{0}(ℙ^{1} × ℙ^{N}) = PGL(1) × PGL(N).

Entsprechend sind Vektorfelder v ∈ H^{0}(ℙ^{1} × ℙ^{N}, T_{ℙ^{1}×ℙ^{N}}) auf ℙ^{1} × ℙ^{N} die Summe

v = p_{1}^{∗}v_{1} + p_{2}^{∗}v_{2}

von (zurückgezogenen) Vektorfeldern v_{1} ∈ H^{0}(ℙ^{1}, T_{ℙ^{1}}) und v_{2} ∈ H^{0}(ℙ^{N}, T_{ℙ^{N}}). Wenn (a : b) bzw. (x_{0,0} : x_{1,0} : …: x_{1,n_{1}} : …: x_{r,n_{r}}) homogene Koordinaten von ℙ^{1} bzw. ℙ^{N} sind, entsprechen diese Vektorfelder nach Abschnitt 1.5 graduierten Derivationen D_{v_{1}} und D_{v_{2}} vom Gewicht 0 auf ℂ[a, b] und ℂ[x_{0,0}, …, x_{r,n_{r}}]. Vektorfeldern v auf ℙ^{1} × ℙ^{N} kann man also graduierte Derivationen D_{v} vom Gewicht 0 auf dem kartesischen Produkt (vgl. [Har77, II.Ex.5.11]) R = ℂ[a, b] × ℂ[x_{0,0}, …, x_{r,n_{r}}] zuordnen. Die Liftung ψ : 𝔰𝔩_{2} → H^{0}(T_{ℙ(E)}) → 𝔰𝔩_{2} × 𝔰𝔩_{N+1} wird nun eindeutig bestimmt durch die Projektion ψ : 𝔰𝔩_{2} → 𝔰𝔩_{N+1} auf 𝔰𝔩_{N+1}, weil die Projektion auf 𝔰𝔩_{2} die Identität ist. Es genügt also, für alle v_{1} ∈ 𝔰𝔩_{2} Vektorfelder ψ(v_{1}) ∈ 𝔰𝔩_{N+1} anzugeben, so daß das Vektorfeld v_{1} + ψ(v_{1}) ∈ H^{0}(ℙ^{1} × ℙ^{N}, T_{ℙ^{1}×ℙ^{N}}) die Schnitte σ_{i} stabilisiert. Denn ein derartiges Vektorfeld stabilisiert auch ℙ(E), da die r + 1 Schnitte über jedem Punkt (a : b) ∈ ℙ^{1} die Faser von ℙ(E) aufspannen. Das Bild des ausgezeichneten Schnitts σ_{i} : ℙ^{1} → ℙ(E) ⊂ ℙ^{1} × ℙ^{N} ist gegeben durch das Ideal

I_{σ_{i}} = {bx_{i,j} − ax_{i,j+1}, ax_{i′,k}, bx_{i′,k}, i′ ≠ i} ⊂ R.

Die nach Theorem 1.24 äquivariante Segre-Einbettung ℙ^{1} × ℙ^{N} ↪ ℙ^{2(N+1)−1} kann man benutzen, um wie in Lemma 1.26 zu zeigen: Ein Vektorfeld v auf ℙ^{1} × ℙ^{N} stabilisiert das Unterschema σ_{i}(ℙ^{1}) genau dann, wenn

D_{v}I_{σ_{i}} = I_{σ_{i}}.

Insbesondere werden Elemente vom Grad 1 (im kartesischen Produkt R!) wieder auf Elemente vom Grad 1 abgebildet. Da D_{v}ax_{i′,k} = D_{v_{1}}a · x_{i′,k} + a · D_{v_{2}}x_{i′,k} (entsprechend für D_{v}bx_{i′,k}), folgt aus dieser zweiten Bedingung für alle i und i′ ≠ i:

D_{v_{2}}x_{i′,k} = ∑_{l≠i} c_{l,m}^{i′,k}x_{lm},

also

D_{v_{2}}x_{i,k} = ∑_{j} c_{i,j}^{k}x_{i,j}.

Die Darstellung ψ : 𝔰𝔩_{2} → 𝔰𝔩_{N+1} zerfällt also unter der Voraussetzung der Proposition in r Darstellungen ψ_{i} : 𝔰𝔩_{2} → 𝔰𝔩_{n_{i}+1}. Die zu einem Vektorfeld v ∈ ψ_{i}(𝔰𝔩_{2}) gehörige Derivation D_{v} muß also die Elemente vom Grad 1 im Ideal I = {bx_{i,j} − ax_{i,j+1}, 0 ≤ j ≤ n_{i} − 1} ⊂ R auf sich abbilden. Sei

H = ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , X = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

die Standardbasis von 𝔰𝔩_{2}. Für v = ψ_{i}(H) ergeben sich dann Gleichungen

D_{v}(bx_{i,j} − ax_{i,j+1}) = bx_{i,j} + b · D_{v_{2}}x_{i,j} + ax_{i,j+1} − a · D_{v_{2}}x_{i,j+1} =
= bx_{i,j}b · ∑_{k} c_{i,k}^{j}x_{i,k} + ax_{i,j+1} − a · ∑_{k} c_{i,k}^{j+1}x_{i,k} =
= ∑_{k} d_{k}(bx_{i,k} − ax_{i,k+1})

Sortiert man diese Gleichungen weiter nach den Monomen in a,b und den x_{i,j}, erhält man ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem von n_{i} · (2n_{i} + 2) Gleichungen für die (n_{i} + 1)(n_{i} + 1) + n_{i} · n_{i} Unbekannte c_{i,k}^{j} und d_{k}. Der affine Lösungsraum kann also höchstens eindimensional sein. Direktes Nachrechnen zeigt: Die Derivation D_{v_{2}}, die gegeben ist durch

D_{v_{2}}x_{i,j} = (−n_{i} + 2j)x_{i,j},

liefert eine Lösung, die anderen Lösungen erhält man, wenn man die trivialen Eulerderivationen D_{c}, gegeben durch

D_{c}x_{i,j} = c · x_{i,j},

addiert. Da diese Derivationen aber eine Spur ≠ 0 haben, ist gezeigt: Die Liftung von v ist eindeutig. Analog erhält man für v = ψ_{i}(X) die Gleichungen

D_{v}(bx_{i,j} − ax_{i,j+1}) = b · D_{v_{2}}x_{i,j} − bx_{i,j+1} − a · D_{v_{2}}x_{i,j+1} =
= b · ∑_{k} c_{i,k}^{j}x_{i,k} − bx_{i,j+1} − a · ∑_{k} c_{i,k}^{j+1}x_{i,k} =
= ∑_{k} d_{k}(bx_{i,k} − ax_{i,k+1})

und daraus die Lösungen

D_{v_{2}}x_{i,j} = (n_{i} − j)x_{i,j+1},

und für v = ψ_{i}(Y) ergeben sich aus den Gleichungen

D_{v}(bx_{i,j} − ax_{i,j+1}) = ax_{i,j} + b · D_{v_{2}}x_{i,j} − a · D_{v_{2}}x_{i,j+1} =
= ax_{i,j} + b · ∑_{k} c_{i,k}^{j}x_{i,k} − a · ∑_{k} c_{i,k}^{j+1}x_{i,k} =
= ∑_{k} d_{k}(bx_{i,k} − ax_{i,k+1})

die Lösungen

D_{v_{2}}x_{i,j} = jx_{i,j−1}.

Also ist ψ_{i} und damit ψ eindeutig bestimmt. □

Zum Schluß noch einige Worte über das relative Hilbertschema Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}), das den Funktor

Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}) : {Schemata über ℙ^{n}} → {Mengen}

Z ↦ \{ \begin{matrix}Unterschemata V ⊂ ℙ(E) ×_{ℙ^{n}} Z \\ die projektiv und flach über Z sind \\ und Hilbertpolynom P haben \end{matrix} \}

repräsentiert (vgl. [Kol96, I.1]). Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}) ist ein projektives Schema über ℙ^{n}, und jede Faser ist isomorph zu Hilb_{P} (ℙ^{r}), wenn r + 1 = rg(E). Weiter gibt es eine universelle Familie

Univ_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}) ⊂ ℙ(E) ×_{ℙ^{n}} Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}).

Analog zu Lemma 1.14 gilt

Proposition 1.34. Sei G eine (zusammenhängende) algebraische Gruppe, die auf ℙ(E) operiert. Dann gibt es Operationen von G auf Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}) und Univ_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}), die äquivariant bezüglich aller Morphismen in folgendem Diagramm sind:

\xymatrix{Univ_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}) \ar[dr] \ar@{^{(}->}[r] & ℙ(E) ×_{ℙ^{n}} Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}) \ar[r] \ar[d] & ℙ(E) \\  & Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n})}

Beweis: Auch der Beweis verläuft analog zu dem von Lemma 1.14. Sei X := ℙ(E), p_{X} : X → ℙ^{n} die Projektion und σ : G × X → X die Gruppenoperation von G. Wie oben gezeigt, gibt es eine äquivariante Operation σ′ : G × ℙ^{n} → ℙ^{n} zur Projektion p_{X}. Sei weiter H := Hilb_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}), p_{H} : H → ℙ^{n} die Projektion und U := Univ_{P} (ℙ(E)/ℙ^{n}). Wie im Beweis von Lemma 1.14 sieht man an folgendem kommutativen Diagramm, wie man die äquivarianten Gruppenoperationen τ : G × H → H bzw. τ_{U} : G × U → U konstruieren kann:

[figure: G × U; ≅; τ_{U}; U′; U; G × (X ×_{ℙ^{n}} H); pr; Φ; X ×_{ℙ^{n}} (G × H); pr; pr_{X}×_{ℙ^{n}}(τ∘pr_{G×H}); X ×_{ℙ^{n}} H; pr; G × H; 1_{G}×p_{H}; G × H; ∃τ; σ′∘(1_{G}×p_{H}); H; p_{H}; G × ℙ^{n}; σ′; ℙ^{n}; ℙ^{n}]

Φ = Φ_{1} ×_{ℙ^{n}} Φ_{2} ist dabei das Produkt der zwei Morphismen

Φ_{1} : G × (X ×_{ℙ^{n}} H) →^{pr_{G×X}} G × X →^{σ} X

und

Φ_{2} : G × (X ×_{ℙ^{n}} H) →^{pr_{G×H}} G × H

über ℙ^{n} bezüglich der Projektionen p_{X} : X → ℙ^{n} und σ′ ∘ (1_{G} × p_{H}) : G × H → ℙ^{n}. □

Ein Theorem von Wahl

2.1 Kegel

Sei E eine projektive Varietät und L eine ample invertierbare Garbe auf E. Sei weiter A = ⨁_{t≥0} H^{0}(E, tL).

Definition 2.1. Der Kegel über E bezüglich L ist definiert als

C(E, L) = Proj A[x].

Die Kegelspitze entspricht dem irrelevanten Primideal ⨁_{t>0} H^{0}(E, tL) von A.

Proposition 2.2. Wenn L sehr ample ist, dann erhält man aus C(E, L) durch Aufblasung der Kegelspitze das ℙ^{1}− Bündel

Z = ℙ(O_{E} ⊕ L).

Beweis: Man bette E mit dem vollständigen Linearsystem H^{0}(E, L) in den ℙ^{N} ein, und ℙ^{N} werde (durch Hinzunahme einer Variablen x_{N+1}) in den ℙ^{N+1} = C(ℙ^{N}, O_{ℙ^{N}}(1)) eingebettet. ℙ^{N+1} kann dann auch als Kegel über der Hyperebene H = ℙ^{N} mit Kegelspitze in P = (0 : …: 0 : 1) aufgefaßt werden. Ebenso ist C(E, L) der Kegel über E ⊂ H mit derselben Kegelspitze P. Wenn man P aufbläst, erhält man das ℙ^{1}− Bündel ℙ(O_{ℙ^{N}} ⊕ O_{ℙ^{N}}(1)) über ℙ^{N} [Har77, V.2.11.4]. Durch Aufblasen der Kegelspitze von C(E, L) erhält man das Urbild von E unter der Projektion π. Dieses Urbild ist aber die Projektivierung der Einschränkung von O_{ℙ^{N}} ⊕ O_{ℙ^{N}}(1) auf E, also ℙ(O_{E} ⊕ L):

\xymatrix{ & E \ar@{^{(}->}[dl] &  & ℙ(O_{E} ⊕ L) \ar[ll] \ar[dd] \ar@{^{(}->}[dl] \\ ℙ^{N} &  & ℙ(O_{ℙ^{N}} ⊕ O_{ℙ^{N}}(1)) \ar[ll]_{π} \ar[d] \\  &  & ℙ^{N+1} & C(E, L) \ar@{^{(}->}[l]}

□

Im obigen Beweis ist es unwichtig, daß E mit einem vollständigen Linearsystem eingebettet wird. Also folgt sofort:

Proposition 2.3. Sei E ⊂ ℙ^{N} eine projektive Varietät und A der zur Einbettung gehörige homogene Koordinatenring. Dann erhält man durch Aufblasung von Proj A[T] ⊂ ℙ^{N+1} in der Kegelspitze (0 : …: 0 : 1) das ℙ^{1}− Bündel

Z = ℙ(O_{E} ⊕ O_{E}(1)).
□

Sei E eine lokal freie Garbe auf E vom Rang ≥ 2. Nach [Har77, II.7.12] ist jeder Schnitt σ : E → Z = ℙ(E) eindeutig gegeben durch eine Surjektion E → L → 0, wobei L eine invertierbare Garbe auf E ist.

Proposition 2.4. Wenn E normal ist, erhält man C(E, L), indem man im ℙ^{1}− Bündel Z = ℙ(O_{E} ⊕ L) den zur Surjektion

O_{E} ⊕ L → O_{E}

gehörenden Schnitt D ⊂ Z kontrahiert. Für L sehr ample ist diese Kontraktion die Aufblasung von C(E, L) in der Kegelspitze.

Beweis: S. [BS95, 5.4]. Zuerst konstruiert man eine normale Varietät C und einen Morphismus r : Z → C, der außerhalb von D ein Isomorphismus ist und D auf einen Punkt kontrahiert: Die Projektion π : Z → A hat einen Schnitt σ, der der Surjektion O_{E} ⊕L → O_{E} entspricht, und einen Schnitt σ′, der der Surjektion O_{E} ⊕L → L entspricht. Die beiden Schnitte schneiden sich nicht. Da O(1) auf jeder Faser F ≅ ℙ^{1} von π isomorph ist zu O_{ℙ^{1}}(1), kann man also auf F homogene Koordinaten z_{0} und z_{1} wählen, so daß z_{0} = 0 auf F ∩ σ und z_{1} = 0 auf F ∩ σ′ liegt. Für jedes positive n ist nun H^{0}(Z, O(n)) isomorph zu

H^{0}(E, S^{n}(O_{E} ⊕ L)) ≅ ⨁_{t=0}^{n} H^{0}(E, tL),

wobei ein globaler Schnitt e von H^{0}(E, tL) ⊂ H^{0}(Z, O(n)) eingeschränkt auf eine beliebige Faser F dem Schnitt λz_{0}^{t}z_{1}^{n−t} entspricht. Die Konstante λ ist dabei die Auswertung von e in dem Punkt, über dem die Faser liegt, bezüglich der durch z_{0} gegebenen Trivialisierung von L. Es folgt, daß O(n) genau dann global erzeugt ist, wenn nL global erzeugt ist. Da L ample ist, wird nL für n ≫ 0 global erzeugt. Für derartige n existiert also ein Morphismus

φ_{n} : Z →^{|O(n)|} ℙ.

Da L ample ist, wird die k− Algebra ⨁_{n} H^{0}(E, nL) endlich erzeugt. Wegen der obigen Darstellung von H^{0}(Z, O(N)) wird dann für N ≫ 0 die k− Algebra ⨁_{d} H^{0}(Z, O(dN)) erzeugt von H^{0}(Z, O(N)). Also ist φ_{N}(Z) ≅ φ_{dN}(Z) und damit

φ_{N}(Z) ≅ φ_{M}(Z), N, M ≫ 0.

Die Stein-Faktorisierung des Morphismus φ_{N} = α_{N} ∘ r_{N} liefert einen Morphismus r_{N} : Z → C_{N} mit zusammenhängenden Fasern auf eine Varietät C_{N}. Folgendes (bekanntes) Lemma zeigt, daß C_{N} normal ist:

Lemma 2.5. Sei f : X → Y ein surjektiver projektiver Morphismus von Varietäten und X normal. Dann ist auch die Stein-Faktorisierung \overline{Y} normal.

Beweis: Man zeigt zuerst eine universelle Eigenschaft der Stein-Faktorisierung: Faktorisiere f : X → Y durch den endlichen Morphismus g : Y′ → Y, also f = g ∘ f′. Da g separabel und f projektiv ist, ist auch f′ : X → Y′ ein projektiver und surjektiver Morphismus [Har77, II.Ex.4.9]. Das heißt: f′ induziert eine Injektion O_{Y′} ↪ f′_{∗}O_{X} von kohärenten O_{Y′}− Algebren. Diese Injektion wird durch Anwendung von g_{∗} zu einer Injektion

g_{∗}O_{Y′} ↪ g_{∗}f′_{∗}O_{X} = f_{∗}O_{X},

der wiederum ein surjektiver endlicher Morphismus von der Stein-Faktorisierung \overline{Y} ≅ Spec_{Y} f_{∗}O_{X} nach Spec_{Y} g_{∗}O_{Y′} ≅ Y′ entspricht. Die letzte Isomorphie folgt aus der Endlichkeit von g [Har77, II.Ex.5.17]. Da X normal ist, faktorisiert die Stein-Faktorisierung X → \overline{Y} durch ihre Normalisierung ˆ\overline{Y}. Da die Normalisierung ˆ \overline{Y} → \overline{Y} ein endlicher Morphismus ist, kann man die gerade gezeigte universelle Eigenschaft anwenden und erhält so einen surjektiven endlichen Morphismus \overline{Y} → ˆ \overline{Y}. Da die Normalisierung außerdem birational ist, muß der Morphismus ebenfalls eine 1:1-Abbildung sein, kann also wegen Zariskis Hauptsatz nur ein Isomorphismus sein. □

Zurück zum Beweis der Proposition: Wenn NL sehr ample ist (also für N ≫ 0), ist r_{N} außerhalb von Z −σ eine 1:1-Abbildung, also nach Zariskis Hauptsatz ein Isomorphismus. σ selbst wird auf einen Punkt abgebildet, da nach Konstruktion O(1)_{|σ(E)} = O_{E}. Man setze C := r_{N}(Z) und r := r_{N}. Als nächstes muß man C ≅ C(E, L) zeigen: Zu jedem N ≫ 0 gehört eine invertierbare Garbe M_{N} = α_{N}^{∗}O_{ℙ}(1) auf C. Die Garbe M_{N} ist ample, da α_{n} ein endlicher Morphismus ist [Har77, III.Ex.5.7(d)], und es gilt r^{∗}M_{N} = O(N). Da r die Stein-Faktorisierung ist, gilt r_{∗}O_{Z} = O_{C}, und damit folgt aus der Projektionsformel [Har77, II.Ex.5.1(d)], daß zwei invertierbare Garben auf C genau dann isomorph sind, wenn ihre Pullbacks auf Z isomorph sind. Also ist für M := M_{N}^{−1} ⊗ M_{N+1}

M^{N} = (M_{N}^{−1} ⊗ M_{N+1})^{N} ≅ M_{N}

Wegen

r^{∗}M = r^{∗}(M_{N}^{−1} ⊗ M_{N+1}) ≅ O(1)

ist M eine ample invertierbare Garbe auf C, deren Pullback auf Z die tautologische Garbe O(1) ist. Jetzt nehme man den globalen Schnitt s ∈ H^{0}(E, O_{E} ⊕ L), der zur natürlichen Inklusion O_{E} ↪ O_{E} ⊕ L gehört. Wegen π_{∗}O(1) ≅ O_{E} ⊕ L entspricht s einem globalen Schnitt s̃ ∈ H^{0}(Z, O(1)), dessen Nullstellenort gleich dem Bild des zur Surjektion O_{E} ⊕ L → L gehörigen Schnittes, σ′(E), ist. Wegen r_{∗}O(n) = nM für alle n ∈ ℕ ist H^{0}(Z, O(n)) = H^{0}(C, nM), also gibt es einen globalen Schnitt c ∈ H^{0}(C, M) mit r^{∗}c = s̃. Schließlich ist, wie oben gezeigt, H^{0}(Z, O(n)) ≅ ⨁_{t=0}^{n} H^{0}(E, tL), wobei ein globaler Schnitt von tL auf einer Faser F der Projektion π : Z → E dem Schnitt λz_{0}^{t}s̃_{F}^{n−t} entspricht, und die Konstante λ ist abhängig vom gewählten Schnitt. Das heißt: Wenn 𝔸 den graduierten Ring ⨁_{t≥0} H^{0}(E, tL) bezeichnet, dann induziert x ↦ c einen graduierten Ringisomorphismus

𝔸[x] ≅ ⨁_{n≥0} H^{0}(C, nM).

Die Projektivierung beider Ringe ist also gleich, die des ersten Rings ist nach Definition isomorph zu C(E, L), die des zweiten zu C, da M ample. Daß r für L sehr ample die Aufblasung der Kegelspitze ist, folgt aus dem Beweis von Proposition 2.2. □

Bemerkung: Es ist nicht immer richtig, daß die Kontraktion die Aufblasung der Kegelspitze ist. Sei etwa C eine glatte elliptische Kurve, P ∈ C ein Punkt auf der Kurve und L = O(P) eine ample invertierbare Garbe. Der graduierte Ring ⨁_{n≥0} H^{0}(C, O(nP)) wird durch geeignete Wahl von Koordinaten isomorph zu

𝔸 := k[w, x, y]/(y^{2} − x(x − w^{2})(x − λw^{2}))

[Har77, IV.4.6]. Dieser Ring ist nur graduiert, wenn w den Grad 1, x den Grad 2 und y den Grad 3 hat. Der exzeptionelle Divisor E der Aufblasung der Kegelspitze von Proj 𝔸[z] ist isomorph zum exzeptionellen Divisor der Aufblasung von Spec 𝔸 im maximalen Ideal I = (w, x, y). Der Divisor E ist also

Proj k ⊕ I/I^{2} ⊕ … ⊕ I^{n}/I^{n+1} ⊕ ….

Aus y^{2} − x(x − w^{2})(x − λw^{2}) = y^{2} − x^{3} + (1 + λ)x^{2}w^{2} − λxw^{4} sieht man, daß

E ≅ Proj k[w, x, y]/(y^{2}),

also isomorph zu einer (nichtreduzierten) Doppelgeraden ist. Dann kann die Aufblasung aber nicht die Kontraktion sein, denn der exzeptionelle Schnitt der Kontraktion ist ein Schnitt im ℙ^{1}− Bündel ℙ(O_{C} ⊕ L) über C und deswegen isomorph zu C. Der Grund für diese Verschiedenheit ist natürlich, daß L nur ample und nicht sehr ample ist. In diesem Fall wird der graduierte Ring ⨁_{n≥0} H^{0}(E, nL) nicht im Grad 1 erzeugt. Bei der Aufblasung der Kegelspitze muß man die höheren Grade der Erzeuger berücksichtigen und eine gewichtete Aufblasung durchführen. Um zu zeigen, daß man so zum ℙ^{1}− Bündel ℙ(O_{E} ⊕ L) kommt, kann man im wesentlichen wie im Fall L very ample vorgehen: Man bettet E in einen gewichteten projektiven Raum ein, erweitert diesen Raum durch Hinzufügen einer Variablen vom Gewicht 1, beweist die Behauptung dort und zieht sie mit der universellen Eigenschaft der Aufblasung (die auch im gewichteten Fall gilt) auf E zurück (s. auch [Gro61, II.8]). Eine andere Möglichkeit besteht darin, erst nach einer d−uplen Einbettung von genügend großem Grad aufzublasen, da L^{d} für d ≫ 0 sehr ample wird. Allgemeiner gilt:

Proposition 2.6. Sei A = ⨁_{n≥0} A_{n} eine endlich erzeugte graduierte k− Algebra mit A_{0} = k und T eine homogene Variable vom Grad 1. Dann gibt es eine sehr ample invertierbare Garbe auf E ≅ Proj A, so daß

Proj A[T] ≅ C(E, L).

wobei E ≅ Proj A und L eine sehr ample invertierbare Garbe auf E ist.

Beweis: Nach [Gro61, 2.1.6(v)] gibt es ein d > 0, so daß A^{(d)} = ⨁_{n≥0} A_{nd} als k− Algebra im Grad 1 erzeugt wird. Sei E = Proj A^{(d)} ≅ Proj A und O(1) = (A^{(d)}(1))^{∼} die zugehörige sehr ample invertierbare Garbe. Nach [Har77, II.Ex.5.9] gilt dann für genügend großes e:

(A^{(d)})^{(e)} = A^{(de)} = ⨁_{n≥0} A_{nde} ≅ ⨁_{n} H^{0}(E, O(e)).

Also ist L := O(e) die gesuchte sehr ample invertierbare Garbe. □

2.2 Linearisierung von invertierbaren Garben

Für den folgenden Abschnitt wird der Begriff der Linearisierung einer invertierbaren Garbe und einige seiner Eigenschaften benötigt. Die Darstellung folgt der in [MF82, 1.3].

Definition 2.7. Sei G eine algebraische Gruppe und μ : G × G → G die Gruppenmultiplikation. Sei X ein (projektives) Schema, σ : G × X → X eine Gruppenoperation, p_{2} : G × X → X die Projektion und L eine invertierbare Garbe auf X. Eine G-Linearisierung ist ein Isomorphismus

ϕ : σ^{∗}L → p_{2}^{∗}L,

so daß folgendes Diagramm kommutiert:

[figure: [σ ∘ (1_{G} × σ)]^{∗}L; (1_{G}×σ)^{∗}ϕ; [p_{2} ∘ (1_{G} × σ)]^{∗}L; [σ ∘ p_{23}]^{∗}L; p_{23}^{∗}ϕ; [σ ∘ (μ × 1_{X})]^{∗}L; (μ×1_{X})^{∗}ϕ; [p_{2} ∘ (μ × 1_{X})]^{∗}L; (p_{2} ∘ p_{23})^{∗}L.]

Dabei sind p_{23}, μ × 1_{X} und 1_{G} × σ Morphismen von G × G × X nach G × X.

Um dieses Konzept zu verstehen, betrachte man die Gruppe G_{k} der abgeschlossenen Punkte von G. Man kann für alle g ∈ G_{k} den Isomorphismus ϕ einschränken auf {g}×X ⊂ G × X. Sei also T_{g} : X → X der durch

x ↦ σ(g, x)

gegebene Automorphismus von X. Dann schränkt sich ϕ ein auf den Isomorphismus ϕ_{g} : T_{g}^{∗}L →^{∼} L, und aus der Kommutativität des obigen Diagramms folgt:

\xymatrix{T_{gh}^{∗}L \ar[dr]_{T_{h}^{∗}ϕ_{g}} \ar[rr]^{ϕ_{gh}} &  & L \\  & T_{h}^{∗}L \ar[ur]_{ϕ_{h}}}

kommutiert für alle g, h ∈ G_{k}, d.h. ϕ_{gh} = ϕ_{h} ∘ T_{h}^{∗}ϕ_{g}. Man kann die Definition auch mit Hilfe des zu L gehörigen Geradenbündels L formulieren: Sei π : L → X die Projektion. Dann entsprechen Isomorphismen wie ϕ kanonisch Bündelisomorphismen der entsprechenden Geradenbündel über G × X:

\xymatrix{(G × X) ×_{X} L \ar[r]^{Φ}_{∼} & (G × X) ×_{X} L = G × L,}

wobei das erste Produkt bezüglich σ : G×X → X und das zweite bezüglich p_{2} : G×X → X genommen ist. (Zum Übergang von Vektorbündeln zu lokal freien Garben allgemein vgl. [Har77, II.Ex.5.18]: Zum Vektorbündel E gehört die lokal freie Garbe seiner Schnitte. ) Diese Bündelisomorphismen entsprechen kanonisch Morphismen Σ = p_{2} ∘ Φ^{−1}, die Bündelmorphismen vom Geradenbündel G × L über G × X nach L über X sind und für die das Diagramm

\xymatrix{G × L \ar[r]^{Σ} \ar[d]_{1_{G}×π} & L \ar[d]^{π} \\ G × X \ar[r]^{σ} & X}

kommutiert. Die Kommutativität des Diagramms aus der Definition übersetzt sich in die Kommutativität des folgenden Würfels:

[figure: G × G × L; μ×1_{L}; 1_{g}×Σ; G × L; Σ; G × L; Σ; L; G × G × X; μ×1_{X}; 1_{g}×σ; G × X; σ; G × X; σ; X]

Das heißt: Der Morphismus Σ entspricht einer G− Linearisierung ϕ genau dann, wenn Σ eine Operation von G auf L ist. Deshalb ist eine G− Linearisierung von L die Liftung einer Operation von G auf X zu einer “Bündel-Operation” von G auf L. Eine G− Linearisierung von L induziert schließlich eine duale Operation von G auf H^{0}(X, L):

H^{0}(X, L) →^{σ^{∗}} H^{0}(G × X, σ^{∗}L) →^{ϕ} H^{0}(G × X, p_{2}^{∗}L) ≅ H^{0}(G, O_{G}) × H^{0}(X, L).

(Zum letzten Isomorphismus vgl. Lemma 1.12.) Die Axiome einer dualen Operation (vgl. [MF82, p.25]) folgen aus den Eigenschaften von ϕ. Wenn G linear-algebraisch, also affin ist, erhält man so eine Darstellung von G auf dem Vektorraum H^{0}(X, L). Folgende Proposition garantiert unter bestimmten Voraussetzungen die Existenz einer G− Linearisierung:

Proposition 2.8. Sei X eine projektive Varietät, L ein Geradenbündel auf X, G eine zusammenhängende linear-algebraische Gruppe und σ : G × X → X eine Gruppenoperation von G auf X. Sei s ∈ H^{0}(X, L) ein globaler Schnitt von L und D = (s)_{0} der zugehörige effektive Nullstellendivisor. Wenn σ eine Gruppenoperation auf D induziert, also G den Divisor D stabilisiert, dann gibt es eine G− Linearisierung von L.

Beweis: (Vgl. [MF82, Prop. 1.5].) Seien σ^{∗}s und p_{2}^{∗}s der Rückzug von s ∈ H^{0}(X, L) bezüglich σ und p_{2}. Da σ den Divisor D = (s)_{0} stabilsiert, ist der Nullstellenort dieser Schnitte in H^{0}(G × X, σ^{∗}L) und H^{0}(G × X, p_{2}^{∗}L) beide Male p_{2}^{−1}(D). Also gibt es einen Isomorphismus

ϕ : σ^{∗}L →^{∼} p_{2}^{∗}L.

Damit ϕ eine G− Linearisierung ist, muß man zeigen, daß die beiden Isomorphien von invertierbaren Garben

p_{23}^{∗} ∘ (1_{G} × σ)^{∗}ϕ, (μ × 1_{X})^{∗}ϕ : [σ ∘ (1_{G} × σ)]^{∗}L → [p_{2} ∘ (μ × 1_{X})]^{∗}L

über dem Schema G × G × X gleich sind. Dazu benutzt man zwei Lemmata:

Lemma 2.9. Zwei Isomorphismen von invertierbaren Garben über einem Schema X gehen durch Multiplikation mit einem Schnitt aus H^{0}(X, O_{X}^{∗}) ineinander über. □

Lemma 2.10 (Rosenlicht). Sei G eine zusammenhängende linear-algebraische Gruppe und X ein zusammenhängendes projektives Schema. Dann ist

H^{0}(G × X, O_{G×X}^{∗}) = k^{∗} × X^{∗}(G),

wobei X^{∗}(G) die abelsche Gruppe der Charaktere χ : G → G_{m} = k^{∗} ist.

Beweis: Vgl. [Ros61]. Ein Schnitt aus H^{0}(G×X, O_{G×X}^{∗}) ist ein Morphismus ϕ : G×X → k^{∗}. Dieser Morphismus entspricht einem Morphismus

ψ : G → Hom(X, k^{∗}) = H^{0}(X, O_{X}^{∗}) = k^{∗},

da X zusammenhängend ist (s. Proposition 1.4). G ist linear-algebraisch, also affin. Sei \overline{G} ⊂ ℙ ein projektiver Abschluß und D = \overline{G}−G der Schnitt mit der unendlich fernen Hyperebene, also ein (sehr ampler) Divisor. D zerfalle in die irreduziblen Komponenten

D = D_{1} + D_{2} + … + D_{l}.

(Algebraische) Funktionen f ∈ H^{0}(G, O_{G}) lassen sich als meromorphe Funktionen auf \overline{G} auffassen, haben also eine bestimmte Pol- und Nullstellenordnung n_{i} auf den D_{i}. Der Quotient f_{1}/f_{2} zweier nichtverschwindender Funktionen f_{1}, f_{2} ∈ H^{0}(G, O_{G}^{∗}) mit denselben Null- und Polstellenordnungen auf D_{i} ist holomorph, also ein Element ≠ 0 von H^{0}(\overline{G}, O\overline{G}) ≅ k. Die Menge

F = {ϕ : G → k^{∗} Morphismus | ϕ(e) = 1}

ist dann eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so daß

H^{0}(G, O_{G}^{∗}) ≅ F × k^{∗} ⊂ ℤ^{s} × k^{∗}.

Man betrachte zu einem ϕ ∈ F den Morphismus

Φ : G × G → k^{∗}, (g, h) ↦ ϕ(gh).

Es ist Φ(g, e) = Φ(e, g) = ϕ(g). Der Morphismus Φ induziert nun einen Morphismus ψ : G → Hom(G, k^{∗}). Da G zusammenhängend ist, faktorisiert der Morphismus durch eine Zusammenhangskomponente von Hom(G, k^{∗}) ≅ F × k^{∗}. Da F eine endlich erzeugte, also diskrete abelsche Gruppe ist, wird diese Zusammenhangskomponente von einem Morphismus ψ_{1} : G → k^{∗} erzeugt, und ψ induziert einen zweiten Morphismus ψ_{2} : G → k^{∗}, so daß

Ψ(g, h) = ψ_{1}(g) · ψ_{2}(h).

Wegen den Normierungsbedingungen folgt schließlich ψ_{1} = ψ_{2} = ϕ; der Morphismus ϕ ist also ein Gruppenhomomorphismus. □

Zurück zum Beweis der Proposition: Die Lemmata zeigen, daß sich die beiden Isomorphismen p_{23}^{∗} ∘ (1_{G} × σ)^{∗}ϕ und (μ × 1_{X})^{∗}ϕ durch einen Schnitt von

H^{0}(G × G × X) = X^{∗}(G) × X^{∗}(G) × k^{∗}

unterscheiden, also durch einen Faktor a · p_{1}^{∗}(χ_{1})p_{2}^{∗}(χ_{2}) mit a ∈ k^{∗} und χ_{1}, χ_{2} ∈ X^{∗}(G). Die Einschränkung von ϕ auf {e} × X ist ein Isomorphismus, nach Lemma 2.9 also ein konstantes Vielfaches der Identität. Man kann deshalb ϕ so wählen, daß ϕ auf {e}×X die Identität ist. Einschränken auf {e} × G × X zeigt dann a = 1 und χ_{1} ≡ 1; Einschränken auf G × {e} × X zeigt χ_{2} ≡ 1. □

2.3 Ein Theorem von Wahl

J. Wahl [Wah83] bewies 1983 folgendes

Theorem 2.11 (Wahl). Sei X eine komplexe projektive normale Varietät, L ein amples Geradenbündel, dim X > 1. Wenn H^{0}(T_{X} ⊗ L^{−1}) ≠ 0, dann gilt:

(i) L ≅ O(E), wobei der effektive Divisor E eine normale Varietät ist.

(ii) X ≅ Proj A[t], wobei A = ⨁_{n=0}^{∞} H^{0}(E, O_{E}(nE)). X ist der Kegel über E, t hat Gewicht 1 und E ist der Divisor bei ∞ (t = 0).

Beweis: s. [Wah83]. □ Aus diesem Theorem folgt das schon 1978 von Mori und Sumihiro gezeigte

Theorem 2.12 (Mori-Sumihiro). Sei X eine komplexe projektive nicht-singuläre Varietät, L ein amples Geradenbündel mit H^{0}(X, L) ≠ 0 und Θ_{X} das Tangentialbündel. Wenn es ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, Θ_{X}) gibt, das auf einem amplen effektiven Divisor E ∈ H^{0}(X, L) verschwindet, dann ist (X, L) = (ℙ^{n}, O(1)) oder (ℙ^{1}, O(2)).

Beweis: s. [MS78] bzw. [Wah83]. □

Im Beweis des Theorems von Wahl wird an verschiedenen Stellen die Normalität von X benutzt, z.B. im Kodairaschen Verschwindungssatz für normale Varietäten [Mum67]: Für projektive normale Varietäten X und ample Geradenbündel L gilt

H^{1}(X, L^{−1}) = 0.

Eine genaue Analyse des Beweises und der Ideen von [MS78] zeigt: Wenn man zusätzlich die Existenz eines effektiven Divisors zum amplen Geradenbündel annimmt, kann man die Normalität weglassen, um folgendes etwas schwächeres Resultat zu erhalten:

Theorem 2.13. Sei X eine komplexe projektive Varietät, dim X > 1, und L ein amples Geradenbündel mit H^{0}(X, L) ≠ 0. Wenn H^{0}(T_{X} ⊗ L^{−1}) ≠ 0, dann gibt es eine endlich erzeugte graduierte k− Algebra A ⊂ ⨁_{n=0}^{∞} H^{0}(X, nL) und ein homogenes Element T ∈ H^{0}(X, L), so daß

A[T] = ⨁_{n=0}^{∞} H^{0}(X, nL).

X ist dann isomorph zu einem Kegel über einem sehr amplen Divisor E.

Beweis: Der letzte Teil des Theorems folgt mit Proposition 2.6 direkt aus dem ersten. Den Beweis der ersten Aussage kann man in mehrere Schritte zerlegen, und schon im ersten Schritt verwendet man die Existenz eines globalen Schnitts.

1. Behauptung: Auf dem graduierten Ring

R = ⨁_{n=1}^{∞} H^{0}(X, nL)

gibt es eine Derivation D vom Gewicht −1.

Beweis: An dieser Stelle benutzt Wahl den Kodairaschen Verschwindungssatz. In der vorliegenden Situation sei D ∈ H^{0}(X, L) ein effektiver Divisor. Nach Proposition 1.7 gibt es wegen H^{0}(T_{X} ⊗ L^{−1}) ≠ 0 ein Vektorfeld v mit v_{|D} = 0. Also gibt es nach Korollar 1.31 eine G− Operation

σ : G × X → X

auf X, G = ℂ^{+} oder ℂ^{∗}, die den Divisor D fixiert. Wegen Proposition 2.8 gibt es dann eine G−Linearisierung ϕ : σ^{∗}L → p_{2}^{∗}L von L und damit eine duale Darstellung

τ : G → GL(H^{0}(X, L))

von G auf H^{0}(X, L). Der Isomorphismus ϕ induziert G− Linearisierungen

ϕ_{m} : σ^{∗}(mL) = σ^{∗}L ⊗ … ⊗ σ^{∗}L ⟶^{ϕ⊗...⊗ϕ} p_{2}^{∗}L ⊗ … ⊗ p_{2}^{∗}L = p_{2}^{∗}(mL)

von mL, m > 0, und damit duale Darstellungen

τ_{m} : G → GL(H^{0}(X, mL))

auf H^{0}(X, mL), die verträglich sind mit der Multiplikation von Schnitten. Die Gruppe G operiert also homogen vom Gewicht 0 und verträglich mit der Multiplikation auf dem graduierten Ring R = ⨁_{n=1}^{∞} H^{0}(X, mL); die Operation heiße wieder τ.

Fall 1 : G = ℂ^{∗}. Jede Darstellung von ℂ^{∗} auf ℂ− Vektorräumen zerfällt in eindimensionale Darstellungen ([Spr81, 2.5.2]). Also gibt es semi-invariante Elemente F_{0}, F_{1}, …, F_{m} der Operation τ, d.h.

τ(t) · F_{i} = t^{χ(F_{i})}F_{i},

die den Ring R als ℂ−Algebra erzeugen (χ(F) ist das Gewicht des semi-invarianten Elements F). Das Element F_{0} ∈ H^{0}(X, L) vom Grad 1 entspreche dabei dem Divisor D.

Lemma 2.14. s := χ(F_{1})/ deg(F_{1}) = … = χ(F_{m})/ deg(F_{m}) ≠ χ(F_{0})/ deg(F_{0})

Beweis: S. [MS78, Lemma 9]. \{\overline{F_{1}}, …, \overline{F_{m}}\} ist eine (minimale) Menge von semiinvarianten homogenen Erzeugern des graduierten Quotientenrings R/(F_{0}), wobei \overline{F_{i}} das Bild von F_{i} in R/(F_{0}) sei, 1 ≤ i ≤ m.

Für ein beliebiges polarisiertes projektives Schema (Y, L) über ℂ mit einer ℂ^{∗}− Operation τ, einer L− Linearisierung von τ und H^{0}(Y, O_{Y}) = ℂ gilt nun: τ wirkt trivial auf Y genau dann, wenn ℂ^{∗} trivial mit Gewicht χ_{m} auf jedem H^{0}(Y, mL) wirkt und die Quotienten χ_{m}/m für alle m ≥ 1 gleich sind.

Die Behauptung folgt nun, da ℂ^{∗} trivial auf D ≅ Proj(R/(F_{0})) wirkt und nicht trivial auf X. □

ℂ^{∗} operiert auf R vermöge

σ(t) · F = t^{−s deg F} · τ(t)F, F homogen,

ebenfalls homogen vom Gewicht 0, verträglich mit Multiplikation. Also ist für ein beliebiges Polynom P ∈ ℂ[X_{0}, …, X_{m}]

σ(t)P (F_{0}, F_{1}, …, F_{m}) = P (t^{χ(F_{0})−s}F_{0}, F_{1}, …, F_{m}),

und χ(F_{0}) − s ≠ 0. Die zu σ gehörige Derivation D_{σ} bildet dann F_{1}, …, F_{m} auf 0 ab und F_{0} auf (χ(F_{0}) − s)F_{0}. Man kann D_{σ} also durch F_{0} teilen und erhält so die gewünschte (−1)− Derivation.

Fall 2 : G = ℂ^{+}. Seien F_{0}, F_{1}, …, F_{m} homogene Erzeuger von R, und F_{0} entspreche dem Divisor D. ℂ^{+} fixiert D = Proj(R/F_{0}), operiert also trivial auf R/F_{0}. Für homogene F folgt

τ(t)F − F ∈ (F_{0}),

und damit gilt für die zu τ gehörige Derivation D_{τ}, daß D_{τ}F ∈ (F_{0}). Man kann also wieder durch F_{0} teilen und erhält so die gewünschte (−1)− Derivation. □

2. Behauptung: Zu einer solchen (−1)− Derivation gibt es ein Element t ∈ H^{0}(X, L) mit

Dt = 1.

Beweis: S. [Wah83, Lemma 2.7]. Sei t_{1} ∈ R_{1} ein nach Voraussetzung existierendes homogenes Element vom Grad 1, und sei {t_{1}, …, t_{s}} eine Menge von homogenen Erzeugern von R mit n_{i} = deg t_{i}. Die Funktionen t_{i} induzieren eine Einbettung in einen gewichteten projektiven Raum (vgl. [Dol82]), dessen abgeschlossenen Punkte durch (Äquivalenzklassen von) gewichteten homogenen s− Tupeln [a_{1}, …, a_{s}] beschrieben werden mit

[a_{1}, a_{2}, …, a_{s}] = [λ^{n_{1}}a_{1}, λ^{n_{2}}a_{2}, …, λ^{n_{s}}a_{s}], λ ∈ ℂ^{∗}.

Sei weiter r_{i} = max_{r}{D^{r}t_{i} ≠ 0}. Da D Gewicht −1 hat, folgt r_{i} ≤ n_{i}. Wenn es ein i gibt mit r_{i} = n_{i}, dann gilt für t′ = D^{n_{i}−1}x_{i} ∈ R_{1}:

Dt′ = a ∈ R_{0} = ℂ, a ≠ 0.

Also ist t = \frac{1}{a}t′ das gesuchte Element.

Angenommen, max(r_{i}/n_{i}) = b/a < 1, mit (a, b) = 1. Dann ist Dt_{1} = 0. Sei von jetzt an t := t_{1}. Für jedes F ∈ R_{n} gilt wegen der Leibnitz-Regel

(tD)^{i}F = t^{i}D^{i}F.

Die Derivation tD operiert also nilpotent auf dem Vektorraum R_{n}, und deswegen gibt es für alle s ∈ ℂ einen graduierten Automorphismus e^{stD} auf R, der auf R_{n} definiert ist durch

e^{stD}F = F + stDF + + … + \frac{s^{n}}{n!} t^{n}D^{n}F.

(Vgl. hierzu Abschnitt 4.2.) Dies definiert eine graduierte ℂ^{+}−Operation auf R und damit eine ℂ^{+}−Operation auf Proj R. Jedes s ∈ ℂ^{+} gibt also einen Isomorphismus σ(s), der den Punkt A = [a_{1}, a_{2}, …, a_{s}] abbildet auf

σ(s)[a_{1}, a_{2}, …, a_{s}] = [e^{stD}t_{1}(A), …, e^{stD}t_{s}(A)].

Für s ≠ 0 hat σ(s)(A) die i− te Koordinate

\frac{s^{r_{i}}}{r_{i}!} t^{r_{i}}D^{r_{i}}t_{i}(A) + Terme von niedrigerem s − Grad

Wegen der gewichteten Homogenität der Koordinaten kann man die i− te Koordinate jeweils noch mit (s^{− \frac{b}{a}})^{n_{i}} multiplizieren. Der führende Term hat dann den s− Exponenten −\frac{b}{a}n_{i} + r_{i} ≤ 0, und Gleichheit gilt genau dann, wenn \frac{r_{i}}{n_{i}} = \frac{b}{a}. Also hat der Punkt

P := lim_{s→∞} σ(s)(A) ∈ Proj R

die i− te Koordinate 0, falls \frac{r_{i}}{n_{i}} < \frac{b}{a}, also P ∈ V (x_{i}|\frac{r_{i}}{n_{i}} < \frac{b}{a}). Da (a, b) = 1, folgt aus \frac{r_{i}}{n_{i}} = \frac{b}{a}, daß n_{i} ein Vielfaches von a ist. Also gilt

R_{Na+1} ⊂ (x_{i}|\frac{r_{i}}{n_{i}} < \frac{b}{a}).

Nun ist R = ⨁_{n≥0} H^{0}(X, nL) mit L ample. Nach [Gro61, 4.5.10] gibt es ein N_{0} > 0, so daß für N > N_{0} die invertierbare Garbe L^{N} sehr ample ist. Also gilt für N, M > N_{0}:

(R_{N})^{M} = R_{NM} = (R_{M})^{N},

und das Radikalideal \sqrt{R_{Na+1}} ist für genügend großes N gleich dem irrelevanten maximalen Ideal m_{R}. Es folgt P ∈ V (m_{R}) = ∅, ein Widerspruch. □

3. Behauptung: Aus der Existenz einer (−1)− Derivation und eines derartigen Elements folgt R ≅ A[T], wobei

A = {r ∈ R|Dr = 0}.

Beweis: S. [Wah83, Prop. 2.4]. A ist eine graduierte ℂ− Unteralgebra, und der Ringhomomorphismus A[T] → R, der T auf t abbildet, ist ebenfalls graduiert. Sei ∑ a_{i}t^{i} ∈ R mit a_{i} ∈ A. Dann ist

D(∑ a_{i}t^{i}) = ∑ a_{i}ix^{i−1},

also ist A[T] → R äquivariant bezüglich der beiden Derivationen ∂/∂T und D.

Sei ∑ a_{i}T^{i} ein Element aus dem Kern des Ringhomomorphismus mit minimalem Grad n > 0. Wegen der Äquivarianz liegt das Element ∂/∂T (∑ a_{i}T^{i}) immer noch im Kern, hat aber kleineren Grad, also Grad 0. Da R ein Integritätsring ist, folgt ∑ a_{i}T^{i} = 0.

Die Surjektivität zeigt man mit Induktion über R_{n}, wobei der Anfang n = 0 klar ist. Für s ∈ R_{n} ist Ds ∈ R_{n−1}, also

Ds = ∑_{0}^{n−1} a_{i}t^{i}, a_{i} ∈ R_{n−i−1}.

Folglich ist s − ∑ a_{i}t^{i+1}/(i + 1) ∈ A, und die Surjektivität folgt. □

Damit ist der Beweis des Theorems abgeschlossen. □ Sei E = {t = 0} der zu t ∈ R_{1} gehörige effektiver Cartier-Divisor. Das Hindernis für die letzte Aussage in Wahls Theorem wird durch folgende Proposition beschrieben:

Proposition 2.15. Seien die Bezeichnungen und Voraussetzungen wie im Theorem. Dann gilt:

A = ⨁_{n≥0} H^{0}(E, nE) ⇔ ⨁_{n≥0} H^{1}(E, (n − 1)E) = 0.

Beweis: S. [Wah83, 3.1.1]. Man betrachte die natürliche exakte Sequenz

0 → O_{X}((n − 1)E) → O_{X}(nE) → O_{E}(nE) → 0.

Wenn man Kohomologie anwendet, bekommt man eine graduierte exakte Sequenz

0 → R →^{·t} R → ⨁_{0}^{∞} H^{0}(E, O_{E}(nE)) → ⨁_{0}^{∞} H^{1}(X, O_{X}((n − 1)E)) →^{μ} ⨁_{0}^{∞} H^{1}(X, O_{X}(nE).

Wegen A ≃ R/tR folgt dann

A ≃ ⨁_{0}^{∞} H^{0}(E, O_{E}(nE))

genau dann, wenn μ injektiv ist. Da E ample ist, gilt für N ≫ 0

H^{1}(X, O_{X}(NE)) = 0.

Falls es ein n ≥ −1 gibt, für das die Kohomologiegruppe nicht verschwindet, sei m = max(n : H^{1}(X, O_{X}(nE)) ≠ 0. Die Abbildung

μ : H^{1}(X, O_{X}(mE)) → H^{1}(X, O_{X}((m + 1)E))

ist dann sicher nicht injektiv. Damit ist die Behauptung bewiesen. □ Beispiele für (nichtnormale) Cohen-Macaulay-Varietäten X mit einem amplen Geradenbündel L, bei denen schon H^{1}(X, L^{−1}) ≠ 0 ist, sind natürlich bekannt, s. etwa [AJ89].

In Abschnitt 2.1 wurde erläutert, wie man X ≅ Proj A[t] geometrisch als Kegel

C(E, L′)

realisieren kann, wobei E ≅ Proj A und L′ ein sehr amples Geradenbündel auf E ist. Wenn L′ = L_{|E} ist, muß ein Vektorfeld

v ∈ H^{0}(X, T_{X} ⊗ L^{−1}) ↪ H^{0}(X, T_{X})

nicht auf dem Divisor im Unendlichen (t = 0) verschwinden. Als Gegenbeispiel betrachte man den singulären Kegel

C = V (xy − z^{2}) ⊂ ℙ^{3} = Proj ℂ[w, x, y, z]

und die durch

w ↦ x, x ↦ 0, y ↦ 0, z ↦ 0

gegebene Derivation D auf ℂ[w, x, y, z]. Das von D auf ℙ^{3} induzierte Vektorfeld verschwindet auf der Hyperebene V (x). Wegen D(xy − z^{2}) = 0 induziert D ein Vektorfeld auf C, daß auf der Doppelgeraden V (x)∩C = V (x, z^{2}) durch die Kegelspitze (1 : 0 : 0 : 0) verschwindet.

Eine Charakterisierung der Q_{3}

Im folgenden soll die dreidimensionale Quadrik Q_{3} so wie im Theorem von Wahl der ℙ^{n} durch die Existenz eines Vektorfeldes mit speziellem Verschwindungsort charakterisiert werden:

Theorem 3.1. Sei X eine glatte dreidimensionale Varietät über ℂ. Seien D_{1}, D_{2} ⊂ X zwei ample effektive Divisoren auf X, die sich (schematheoretisch) in einer irreduziblen reduzierten Kurve C = D_{1} ∩D_{2} schneiden. Sei v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld mit v_{|C} = 0. Dann ist X entweder ℙ_{3} oder Q_{3}.

Wenn man die Irreduzibilität des Schnitts wegläßt, gibt es ein Gegenbeispiel: Sei X = ℙ_{2} × ℙ_{1} und seien (w : x : y) und (s : t) homogene Koordinaten auf ℙ_{2} und ℙ_{1}. Der Divisor D_{1} sei definiert durch das bihomogene Polynom xs − yt, der Divisor D_{2} durch (x − y)(s − t). D_{1} ist offensichtlich zur Aufblasung von ℙ_{2} im Punkt (1 : 0 : 0) ∈ ℙ_{2} isomorph, und D_{2} = E_{1} ∪ E_{2}, die Vereinigung der beiden durch x − y und s − t definierten Ebenen. Der Schnitt

C = D_{1} ∩ D_{2}

besteht also aus der Geraden über (1 : 0 : 0) und aus der durch x − y und s − t definierten Geraden. C ist sogar schematheoretisch in E_{1} enthalten. Dazu genügt es zu zeigen, daß D_{1} ∩ E_{2} schematheoretisch in E_{1} enthalten ist: Mit s − t gehört auch xs − xt zum Ideal (von bihomogenen Polynomen) von D_{1} ∩ E_{2} und damit (x − y)t; ebenso kann man für ys−yt und (x−y)s argumentieren. Damit gehört aber auch x−y zum (saturierten) Ideal von C. Weiter sind D_{1} und D_{2} als Verschwindungsort von bihomogenen Polynomen vom Bigrad (1, 1) ample. Schließlich gibt es ein Vektorfeld v auf ℙ_{2}, das auf der durch x − y definierten Geraden L verschwindet (vgl. Abschnitt 1.5). Das Vektorfeld

ṽ = (v, 0) ∈ H^{0}(X, T_{X}) = H^{0}(X, p_{1}^{∗}T_{ℙ_{2}} ⊕ p_{2}^{∗}T_{ℙ_{1}}),

p_{1} und p_{2} die beiden Projektionen von X = ℙ_{2} × ℙ_{1}, verschwindet dann auf p_{1}^{−1}(L) = E_{1}.

Das Theorem wird nun mit Hilfe des (abgeänderten) Theorems von Wahl, einer Variante des Lefschetz-Hyperebenensatz und der Klassifikation von glatten Fano-Dreifaltigkeiten mit Picardzahl 1 bewiesen:

3.1 D_{1} ist ein Kegel

Lemma 3.2. D_{1} und D_{2} sind irreduzibel und reduziert.

48 KAPITEL 3. EINE CHARAKTERISIERUNG DER Q_{3}

Beweis: Da der (schematheoretische) Schnitt C = D_{1} ∩ D_{2} reduziert und irreduzibel ist, gilt für jeden abgeschlossenen Punkt P ∈ C: Die beiden Gleichungen f und g der Divisoren D_{1} und D_{2} im lokalen Ring O_{X,P} erzeugen ein Primideal der Kodimension 2. Da die Varietät X, die die Divisoren D_{1} und D_{2} enthält, glatt ist, also der lokale Ring in einem Punkt P regulär ist und damit eine eindeutige Primfaktorzerlegung besitzt [Eis95, p.483], folgt die Reduziertheit und die Irreduzibilität der Divisoren. □

Lemma 3.3. Wenn D_{2} nicht vom Vektorfeld v stabilisiert wird, dann gibt es einen irreduziblen von v stabilisierten Divisor D_{∞}, der linear äquivalent zu D_{1} ist, und schematheoretisch gilt:

D_{1} ∩ D_{2} = D_{∞} ∩ D_{2}.

Beweis: Sei G^{0} ⊂ Aut ^{0}X die zusammenhängende und nichttriviale algebraische Untergruppe der Automorphismen von X, die den Nullstellenort Z(v) von v fixieren. Die Gruppenoperation von G auf X hat also Fixpunkte und damit ist G nach Theorem 1.11 linear-algebraisch. Wegen Korollar 1.31 wird v durch eine Untergruppe

H = (ℂ^{∗})^{k} × (ℂ^{+})^{l} ⊂ G

induziert, so daß für die Fixpunkte von H gilt:

X^{H} = Z(v).

Der nach Proposition 1.23 induzierte Gruppenhomomorphismus H → Pic X ist dann wegen Lemma 1.25 trivial, also operiert H äquivariant auf ℙ(H^{0}(X, O(D_{1})) (Theorem 1.24), und das Vektorfeld v induziert ein Vektorfeld

w ∈ H^{0}(ℙ(H^{0}(X, O(D_{1})), T_{ℙ}).

Wegen der universellen Eigenschaft operiert H auch äquivariant auf der Familie

U ⊂ ℙ(H^{0}(X, O(D_{1})) × X

der zu D_{1} linear äquivalenten Divisoren. Von v stabilisierte Divisoren entsprechen deswegen Nullstellen Z(w) von w. Wenn die Operation von H auf ℙ(H^{0}(X, O(D_{1})) = ℙ^{N} trivial ist, dann wird D_{1} stabilisiert, und alles ist gezeigt. Sonst sei x ∈ ℙ^{N} ein Punkt, der von einer der ℂ^{+}− oder ℂ^{∗}− Operationen in H fixiert wird, also gx = x für alle Automorphismen g ∈ ℂ^{+} oder ℂ^{∗} ⊂ H. Sei H′ = (ℂ^{∗})^{k−1} × (ℂ^{+})^{l} oder (ℂ^{∗})^{k} × (ℂ^{+})^{l−1} mit H = H′ × ℂ^{∗} oder H′ × ℂ^{+}. Wegen der Kommutativität von H wird x von allen Automorphismen h ∈ H′ wieder auf einen von der ℂ^{+}− oder ℂ^{∗}− Operation fixierten Punkt abgebildet:

hx = hgx = ghx.

Man kann also den D_{1} entsprechenden Punkt durch Hintereinanderausführen der ℂ^{+}− und ℂ^{∗}− Operationen entlang von Orbits zu einer Nullstelle von w bewegen, die einem von v stabilisierten Divisor D_{∞} entspricht. Dieser Divisor D_{∞} ist als Element von ℙ(H^{0}(X, O(D_{1})) linear äquivalent zu D_{1}. Aus der Konstruktion von H folgt für den Nullstellenort Z(v) ⊂ X von v, daß H(Z(v)) = Z(v). Also:

D_{1} ∩ D_{2} ⊂ D_{∞} ∩ D_{2}.

Da D_{2} irreduzibel ist, würde aus dim(D_{∞} ∩ D_{2}) > 1 folgen, daß D_{2} ⊂ D_{∞}. Der Divisor D_{2} würde also als irreduzible Komponente von D_{∞} ebenfalls von v stabilisiert: Das ist ein Widerspruch zur Annahme. Aus der linearen Äquivalenz folgt nun

D_{1}.D_{2} = D_{∞}.D_{2},

und das bedeutet zusammen mit dem vorher Gesagten D_{1} ∩ D_{2} = D_{∞} ∩ D_{2}. Aus der Irreduzibilität und der Reduziertheit des Schnitts folgt schließlich wie in Lemma 3.2, daß D_{∞} irreduzibel und reduziert ist. □

Von jetzt ab kann man also o.E. annehmen, daß D_{1} vom Vektorfeld v stabilisiert wird. Wenn v auf dem ganzen amplen Divisor D_{1} verschwindet, gilt nach Theorem 2.12, daß X ≅ ℙ^{3}. Sei also weiter o.E. v_{|D_{1}} ≠ 0. Aus Theorem 2.13 folgt schließlich:

Lemma 3.4. D_{1} ist isomorph zu einem Kegel C(C, L). Wenn D_{2} sehr ample ist, dann ist die (irreduzible) Kurve C ein Schnitt von D_{2|D_{1}}, und L = D_{2|C}. □

3.2 Der Lefschetz-Hyperebenen-Satz

Wichtig ist zunächst folgendes allgemein bekannte

Theorem 3.5. Sei X eine projektive algebraische Varietät und K eine beliebige ℤ− Algebra. Dann ist

H_{Čech}^{∗}(X, K) ≅ H_{sing}^{∗}(X, K).

Beweis: Nach [Spa89, VI.8.8 , VI.9.5] ist dies richtig für lokal kontrahierbare Räume. Nach [Loj64] ist jede projektive algebraische Varietät ein CW-Raum und damit nach [SZ94, 4.3.3] lokal kontrahierbar. □ Als nächstes berechnet man die zweite Betti-Zahl des Kegels D:

Lemma 3.6. Für einen zweidimensionalen Kegel D = C(C, L) über einer beliebigen (möglicherweise) singulären Kurve C und einem sehr amplen Geradenbündel L gilt:

H^{2}(D, ℤ) = ℤ

Beweis: Wegen der universellen Koeffiziententheoreme [SZ94, 10.4.6,13.4.8] gilt

(a) H^{∗}(X, ℚ) = H^{∗}(X, ℤ) ⊗ ℚ,

(b) H_{∗}(X, ℚ) = H_{∗}(X, ℤ) ⊗ ℚ,

(c) H^{∗}(X, ℚ) ist der bezüglich der natürlichen Paarung von Ketten und Coketten zu H_{∗}(X, ℚ) duale Vektorraum.

Statt h^{2}(X, ℚ) kann man also h_{2}(X, ℚ) berechnen. Nach Abschnitt 2.1 gibt es folgendes Diagramm:

\xymatrix{ℙ(O_{C} ⊕ O_{C}(L)) \ar[r]^{ϕ} \ar[d]_{π} & D \\ C}

Mit diesem Diagramm lassen sich die Bettizahlen von D berechnen: Man bestimmt zuerst die Bettizahlen von C, dann mit Hilfe der Künneth-Formel die Bettizahlen für ℙ(O_{C} ⊕ O_{C}(L)) und wendet dann auf die Kontraktion ϕ folgende Proposition an:

Proposition 3.7. Es sei (X, A) ein CW-Paar, und es sei X/A der CW-Raum, der aus X entsteht, wenn man A zu einem Punkt identifiziert. Dann ist für q ≠ 0

H_{q}(X, A) ≅ H_{q}(X/A).

Beweis: S. [SZ94, 9.4.6]. □

Zuerst die Bettizahlen von C: Da C zusammenhängend ist, folgt

h_{0}(C) = 1.

Topologisch gesehen identifiziert die Normalisierung Ĉ → C (eventuell mehrmals) Punkte zu einem Punkt. Nach [Loj64] bilden eine projektive algebraische Varietät X und eine beliebige algebraische Teilmenge A ein CW-Paar. Also kann man Proposition 3.7 anwenden und erhält

h_{2}(C) = h_{2}(Ĉ) = 1.

Als nächstes will man das Leray-Hirsch-Theorem auf das Faserbündel E = ℙ(O_{C} ⊕O_{C}(L)) mit Faser F = ℙ^{1} anwenden:

Theorem 3.8. Sei E ein Faserbündel mit Basis B und Faser F, und H_{∗}(F, ℚ) sei endlich-dimensional. Sei θ eine cohomologische Extension der Faser, d.h. ein Homomorphismus θ : H^{∗}(F, ℚ) → H^{∗}(E, ℚ) (vom Grad 0), so daß für alle b ∈ B die Komposition

H^{∗}(F, ℚ) →^{θ} H^{∗}(E, ℚ) → H^{∗}(E_{b}, ℚ)

ein Isomorphismus ist. Dann gibt es Isomorphismen

ϕ : H_{∗}(E, ℚ) → H_{∗}(B, ℚ) × H_{∗}(F, ℚ).

Beweis: S. [Spa89, V.7.9]. □

Wegen

H_{∗}(ℙ^{1}, ℚ) ≅ ℚ ⊕ 0 ⊕ ℚ

[SZ94, 13.6.10] ist die erste Voraussetzung erfüllt. Man muß also nur noch eine cohomologische Erweiterung der Faser konstruieren: Dualisieren führt zum äquivalenten Problem, einen Homomorphismus θ^{∨} : H_{∗}(E, ℚ) → H_{∗}(F, ℚ) zu finden, so daß für alle b ∈ C die Komposition

H_{∗}(E_{b}, ℚ) → H_{∗}(E, ℚ) →^{θ^{∨}} H_{∗}(F, ℚ)

ein Isomorphismus ist. Für H_{0} und H_{1} ist der Homomorphismus klar, da H_{1}(F, ℚ) = 0. Für H_{2} sei V ⊂ C eine offene Menge, über der E trivial ist, also

E_{|V} ≅ V × F.

Wegen der Künneth-Formel [SZ94, 12.4.3] und H_{1}(F, ℚ) = 0 gibt es eine (spaltende) kurze exakte Sequenz

0 → H_{2}(F, ℚ) →^{i} H_{2}(E_{|V} , ℚ) →^{p} H_{2}(V, ℚ) → 0,

wobei p : E_{|V} → V die Projektion ist und i : F ↪ E_{|V} auf eine beliebige Faser abbildet. Der von der Einbettung E_{|V} ↪ E induzierte Homomorphismus H_{2}(E_{|V} , ℚ) → H_{2}(E, ℚ) zeigt dann, daß für zwei verschiedene Fasern F_{1}, F_{2} ⊂ E_{|V} und die zugehörigen Einbettungen i_{1}, i_{2} gilt:

H_{2}(F, ℚ) ≅ i_{1}(H_{2}(F, ℚ)) = i_{2}(H_{2}(F, ℚ)) ⊂ H_{2}(E, ℚ).

Da C (wegweise) zusammenhängend ist, gilt dasselbe für zwei beliebige Fasern F_{1}, F_{2} ⊂ E. Eine beliebig gewählte Projektion H_{2}(E, ℚ) → H_{2}(F, ℚ) liefert also θ^{∨} und damit die gewünschte cohomologische Extension der Faser. Man kann also das Theorem von Leray-Hirsch anwenden und erhält

H_{2}(E, ℚ) = ℚ ⊕ ℚ.

Für die Kontraktion ϕ : E → D, die den Schnitt σ_{∞} auf die Kegelspitze P kontrahiert, betrachte man die Homologieleiter [SZ94, 9.2.3]

\xymatrix{0 \ar[r] & H_{2}(σ_{∞}) \ar[r] & H_{2}(E) \ar[r] \ar[d] & H_{2}(E, σ_{∞}) \ar[r] \ar[d]_{≅} & H_{1}(σ_{∞}) \ar[r]^{≅} & H_{1}(E) \ar[r] & ⋯ \\  & ⋯ \ar[r] & H_{2}(D) \ar[r]^{≅} & H_{2}(D, P) \ar[r] & ⋯}

Die linke Inklusion H_{2}(σ_{∞}) ↪ H_{2}(E) gilt, da σ_{∞} ein Schnitt von E ist [SZ94, 17.1.2], der rechte Isomorphismus H_{1}(σ_{∞}) →^{≅} H_{1}(E) folgt aus dem Theorem von Leray-Hirsch und H_{1}(ℙ^{1}) = 0, und der senkrechte Isomorphismus aus Proposition 3.7, da man wieder mit [Loj64] schließt, daß (E, σ_{∞}) und (D, P) CW-Paare sind. Es folgt:

H_{2}(D, ℚ) ≅ ℚ.

Damit ist der Beweis von Lemma 3.6 abgeschlossen. □

Jetzt benutzt man eine Variante des Lefschetz-Satzes über Hyperebenenschnitte:

Theorem 3.9. Sei X eine glatte Varietät mit dim X ≥ 3 und D ein ampler effektiver Divisor auf X. Dann ist die Abbildung H^{2}(X, ℤ) ↪ H^{2}(D, ℤ) eine Injektion.

Beweis: S. [And59]. □

Sei nun NS(X) die Néron-Severi-Gruppe der Cartier-Divisoren auf X modulo algebraischer Äquivalenz [Har77, V.Ex.1.7]. In der Exponentialsequenz sieht man, daß algebraisch äquivalente Cartier-Divisoren auf dasselbe Element in der endlichen abelschen Gruppe H^{2}(X, ℤ) abgebildet werden. (An dieser Stelle benötigt man die Gleichheit von Čech-Cohomologie und singulärer Cohomologie.) Also ist NS(X) eine Untergruppe von H^{2}(X, ℤ). Da nach dem Kriterium von Kleiman [BS95, 4.2.1] kein ampler Divisor numerisch trivial und die Gruppe Num X ein torsionsfreier Quotient von NS(X) ist (vgl. [Har77, V.Ex.1.7]), kann Num X nicht leer sein, und damit folgt aus dem Lefschetz-Satz: Die Picardzahl

ρ(X) = rk(Num X) = rk(H^{2}(D, ℤ)) = 1.

Eine Varietät X mit einem nichttrivialen Vektorfeld, das eine Nullstelle hat, kann mit rationalen Kurven überdeckt werden: Auf X operiert nach Theorem 1.11 ℂ oder ℂ^{∗}; man betrachte die Orbiten der Operation. Also ist nach [Kol96, II.3.13.1] K_{X} nicht nef und damit nicht numerisch trivial. Da die Picardzahl ρ(X) = 1 ist, muß

K_{X} ≡ r · H

für ein amples H sein. Nach dem Kriterium von Kleiman [BS95, 4.2.1] sind Divisoren, die numerisch äquivalent zu einem amplen Divisor sind, ebenfalls ample. Da K_{X} nicht ample sein kann, ist −K_{X} ample: X ist eine glatte Fano-Dreifaltigkeit mit

Pic X ≅ H^{2}(X, ℤ) = ℤ

(s. [Isk77, p.487] und der Beweis der Hypothese 1.14 in [Sho80]).

3.3 Abschätzung des Hyperebenenschnitts

Definition 3.10. Eine dreidimensonale projektive algebraische Varietät X heißt Fano-Dreifaltigkeit, wenn die antikanonische invertierbare Garbe O_{X}(−K_{X}) ample ist. Die größte ganze Zahl r ≥ 1 mit L^{r} ≃ O_{X}(−K_{X}) für eine invertierbare Garbe L ∈ Pic (X) heißt Index der Fano-Dreifaltigkeit X. Die Zahl g = g(X) = −(K_{X})^{3}/2 + 1 heißt Geschlecht von X. Die Fano-Dreifaltigkeit X heißt von der ersten Spezies, falls Pic (X) = ℤ gilt.

Fano-Dreifaltigkeiten mit Pic (X) = ℤ sind von Iskovskih klassifiziert worden:

Theorem 3.11. Sei X eine Fano-Varietät mit Pic X = ℤ und H ein ampler Erzeuger der Picard-Gruppe. Dann liegt einer der folgenden Fälle vor:

r (H)^{3} b_{3}/2 g V
4  1  0 33 ℙ^{3}
3  2  0 28 Q ⊂ ℙ^{4}, die Quadrik
2  1 21 5 V_{1}, eine Überlagerung des Kegels über der Veronese-Fläche
2  2 21 9 V_{2}, eine zweifache Überlagerung von ℙ^{3}
2  3  5 13 V_{3} ⊂ ℙ^{4} , eine Kubik
2  4  2 17 V_{4} ⊂ ℙ^{5} , ein Schnitt zweier Quadriken
2  5  0 21 V_{5}, der Schnitt Gr(1, 4) ⊂ ℙ^{9} mit ℙ^{6}
1  2 52 2 V′_{2} , eine zweifache Überlagerung von ℙ^{3}
1  4 30 3 V′_{4} ⊂ ℙ^{4} , eine Quartik
1  4 30 3 V′′_{4}, eine zweifache Überlagerung einer Quadrik
1  6 20 4 V_{6} ⊂ ℙ^{5} , ein Schnitt einer Quadrik mit einer Kubik
1  8 14 5 V_{8} ⊂ ℙ^{6}, ein Schnitt dreier Quadriken
1  10 10 6 V_{10} ⊂ ℙ^{7}
1  12  5 7 V_{12} ⊂ ℙ^{8}
1  14  5 8 V_{14} ⊂ ℙ^{9}
1  16  3 9 V_{16} ⊂ ℙ^{10}
1  18  2 10 V_{18} ⊂ ℙ^{11}
1  22  0 12 V_{22} ⊂ ℙ^{13}

Dabei ist bei allen Varietäten bis auf solche vom Typ V_{1}, V_{2}, V′_{2}, V′′_{4} der ample Erzeuger H von Pic X sehr ample.

Beweis: S. [Isk77],[Isk78]. □

Von nun an sei zusätzlich vorausgesetzt, daß der ample Erzeuger H von Pic X ≅ ℤ und damit alle anderen effektiven Divisoren auch sehr ample sind. Die restlichen Fälle werden im nächsten Abschnitt behandelt. Der effektive Cartier-Divisor D ist nach Abschnitt 3.1 ein Kegel C(C, O(D_{2|C})) über einer eventuell singulären Kurve C ⊂ D mit Kegelspitze P ∈ X, definiert durch den auf C eingeschränkten sehr amplen Divisor D_{2} ⊂ X. Da Pic X ≅ ℤ, gibt es d, d_{2} ∈ ℕ, so daß D ∼ dH und D_{2} ∼ d_{2}H.

Lemma 3.12. d_{2} = 1.

Beweis: Wenn man C als Divisor auf D auffaßt, folgt aus den Eigenschaften von Kegeln D_{2|D} ∼ C. Der Divisor D_{2|D} ist nun wie D_{2} sehr ample; die zugehörige Einbettung

D ↪ X →^{|D_{2}|} ℙ bildet C in eine Hyperebene ab, und der Kegel D besteht aus den Geraden durch die Kegelspitze P (außerhalb dieser Hyperebene) und alle Punkte Q ∈ C. Sei L = \overline{P Q} eine dieser Geraden. L schneidet C transversal in einem Punkt, also gilt (in X)

1 = C.L = d_{2}H.L.

Da H.L > 0, folgt sofort d_{2} = 1. □

Sei π : X̃ → X die Aufblasung von X in der Kegelspitze P und E der exzeptionelle Divisor. Die strikte Transformierte S von D entsteht aus D wegen der universellen Eigenschaft der Aufblasung [Har77, II.7.15] ebenfalls durch Aufblasung von P. Nach [Ful84, 6.7.1] ist der effektive Cartier-Divisor S ∼ π^{∗}(D) − μ_{D}E für ein μ_{D} ∈ ℤ, die Multiplizität des Punktes P in der Varietät D.

Lemma 3.13. μ_{D} = dH^{3}.

Beweis: Da H sehr ample ist, folgt aus dem Theorem von Bertini [Har77, II.8.18] die Existenz zweier glatter Hyperebenenschnitte H_{1}, H_{2} ∈ |H| in X, so daß H_{1}∩H_{2}∩D = {P }. Das impliziert, daß H_{1} ∩ H_{2} keine Gerade L von P zu einem Punkt Q ∈ C enthält. Wie der Beweis von Lemma 3.12 zeigt, schneiden die H_{i} jede Gerade L von P zu einem Punkt Q ∈ C − H_{i} genau in P mit Vielfachheit 1, also transversal. Daraus folgt, daß sich die strikten Transformierten D̃, H̃_{1}, H̃_{2} überhaupt nicht schneiden, weil D genau aus diesen Geraden L besteht:

D̃.H̃_{1}.H̃_{2} = 0 in X̃.

Da die H_{i} glatt sind, ist die Schnittmultiplizität der H_{i} in P

μ_{H_{i}} = 1.

Nach [Ful84, 12.4.8] berechnet man dann die Schnittmultiplizität μ_{D} von P als

μ_{D} = μ_{D} · μ_{H_{1}} · μ_{H_{2}} = D.H_{1}.H_{2} = dH^{3}.
□

Nach Proposition 2.2 ist S zum ℙ^{1}− Bündel

S ≅ ℙ(O_{C} ⊕ O_{C}(C))

über der Kurve C isomorph. Sei f : Ĉ → C die Normalisierung der eventuell singulären Kurve C. Dann ist das ℙ^{1}− Bündel

Ŝ = ℙ(OĈ ⊕ f^{∗}O_{C}(C))

über Ĉ die Normalisierung von S. Insgesamt ergibt sich also folgendes Diagramm:

\xymatrix{ & X̃ \ar[r]^{π} & X \\ Ŝ \ar[r]^{f} \ar[d]_{p̂} & S \ar@{^{(}->}[u] \ar[r]^{π} \ar[d]^{p} & D \ar@{^{(}->}[u] \\ Ĉ \ar[r]^{f} & C}

Lemma 3.14. H^{3} ≤ 4.

Beweis: Anwendung der Adjunktionsformel [Rei94, 2.13(a)] auf die glatte Varietät X und den Cartier-Divisor D liefert

−K_{X|D} = −K_{D} + D_{|D}.

Für die kanonische Garbe auf S gilt wegen der Adjunktionsformel für die Aufblasung [Har77, II.Ex.8.5]

K_{S} ∼ K_{X̃|S} + S_{|S} ∼
∼ π^{∗}(K_{X})_{|S} + 2E_{|S} + π^{∗}(D)_{|S} − μE_{|S} ∼
∼ π^{∗}(K_{X|D} + D_{|D}) + (2 − μ)E_{|S} ∼ π^{∗}(K_{D}) + (2 − μ)E_{|S}

Der nichtnormale Ort N auf S ist durch das Führerideal der Normalisierung f : Ŝ → S gegeben und besteht nur aus Fasern des ℙ^{1}− Bündels S → C. Nach der Subadjunktionsformel für die Normalisierung [Rei94, 2.3] und der Formel für das kanonische Bündel auf glatten Regelflächen [Har77, V.2.10] gilt weiter

f^{∗}K_{S} ∼ KŜ − N ∼ −2C_{0} + kF, k ∈ ℤ

wobei C_{0} ≅ Ĉ der Schnitt mit negativen Selbstschnitt auf der glatten Regelfläche Ŝ und F eine Faser ist. Sei FŜ eine Faser von p̂: Ŝ → Ĉ und F_{S} eine allgemeine Faser von p : S → C. Es gilt f_{∗}FŜ = F_{S}. Weiter ist π_{∗}F_{S} = L, wobei L eine Gerade von der Kegelspitze P zu einem Punkt Q ∈ C ist. Da E_{|S} ein Schnitt des ℙ^{1}− Bündels S über C ist, folgt F_{S}.E_{|S} = 1. Insgesamt kann man zeigen:

−2 = (−2C_{0} + kF).F = f^{∗}K_{S}.FŜ = K_{S}.F_{S} =
= π^{∗}(K_{D}).F_{S} + (2 − μ)E_{|S}.F_{S} = K_{D}.π_{∗}F_{S} + 2 − H^{3}d =
= K_{D}.L + 2 − H^{3}d.

Sei −K_{D} ∼ −r_{D}H_{|D}. Wie im Beweis von Lemma 3.12 gezeigt, ist H_{|D}.L = 1. Also:

−2 = −r_{D}H_{|D}.L + 2 − H^{3}d = −r_{D} + 2 − H^{3}d,

also r_{D} = 4 − H^{3}d, und damit gilt für den Index r_{X} der Fano-Dreifaltigkeit X:

r_{X} = r_{D} + d = 4 − (H^{3} − 1)d ≥ 1.

Daraus folgt sofort die Behauptung: H^{3} ≤ 4. □

Es ergibt sich folgende Fallunterscheidung:

• H^{3} = 4: Dann ist d = 1 und r_{X} = 1. Unter der Voraussetzung, daß H sehr ample ist, kann X nur eine Quartik sein.

• H^{3} = 3: Dann ist immer noch d = 1, aber r_{X} = 2. Also muß X eine Kubik sein.

• H^{3} = 2: Dann ist d = 1, 2, 3 möglich, entsprechend r_{X} = 3, 2, 1, und das impliziert (mit H sehr ample), daß X eine Quadrik ist.

• H^{3} = 1: Dann folgt sofort r_{X} = 4, also X = ℙ^{3}.

3.4 Spezielle Fano-Dreifaltigkeiten

Im folgenden werden auf ℙ^{3} und der Quadrik Q_{3} konstruiert, die auf dem reduzierten und irreduziblen Durchschnitt zweier (sehr) ampler Divisoren verschwinden, und es wird gezeigt, daß derartige Vektorfelder auf einer Kubik, einer Quartik und in den Fällen, in denen H nicht sehr ample ist, also auf den Varietäten vom Typ V_{1}, V_{2}, V′_{2}, V′′_{4} nicht existieren.

3.4.1 V_{1}, V_{2}, V′_{2} und V′′_{4}

Für diese Fano-Varietäten gibt es nach [Isk78] folgende Strukturaussagen:

(a) Der durch das vollständige Linearsystem |K_{V_{1}}^{−1}| induzierte Morphismus φ_{K_{V_{1}}^{−1}} : V_{1} →

W_{4} ⊂ ℙ^{6} ist eine 2:1-Überlagerung des Kegels W_{4} über der Veronese-Fläche F_{4} ⊂ ℙ^{5}. Er verzweigt über dem glatten Divisor S ⊂ W_{4}, der von einer kubischen Hyperfläche ausgeschnitten wird, die nicht die Spitze des Kegels enthält.

(b) Der Morphismus φ_{H} : V_{2} → ℙ^{3} ist eine 2:1-Überlagerung mit glattem Verzweigungsdivisor S ⊂ ℙ^{3} vom Grad 4.

(c) Der Morphismus φ_{H} : V′_{2} → ℙ^{3} ist eine 2:1-Überlagerung mit glattem Verzweigungsdivisor S ⊂ ℙ^{3} vom Grad 6.

(d) Der Morphismus φ_{H} : V′′_{4} → Q_{3} ⊂ ℙ^{4} ist eine 2:1-Überlagerung der dreidimensionalen Quadrik mit glattem Verzweigungsdivisor S ⊂ Q_{3}, der von einer Hyperebene vom Grad 4 ausgeschnitten wird.

Angenommen, auf einer Fano-Dreifaltigkeit X von einem dieser Typen existiert ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X, T_{X}), das auf einer Kurve verschwindet. Wie in Kapitel 1 erläutert, operiert dann auf X eine linear-algebraische Gruppe G, die v induziert.

Lemma 3.15. G operiert äquivariant auf der jeweiligen Basis W der obigen Überlagerungen.

Beweis: Dies folgt aus Theorem 1.24,da die Überlagerungen durch vollständige Linearsysteme induziert werden. □

Lemma 3.16. G stabilisiert den jeweiligen Verzweigungsdivisor S ⊂ W.

Beweis: Sei x ∈ X ein abgeschlossener Punkt und y = φ(x) ∈ W der Bildpunkt unter der jeweiligen Überlagerungsabbildung φ : X → W. Wegen der Äquivarianz der Gruppenoperationen gilt dann für jedes Gruppenelement g ∈ G:

φ(gx) = gφ(x) = gy.

Da die Multiplikation mit g Isomorphismen auf X und W induziert, bleiben die Dimension des Kerns und des Kokerns der induzierten Differentiale auf den Tangentialvektorräumen

df_{x} : T_{X,x} → T_{W,y}, df_{gx} : T_{X,gx} → T_{W,gy}

gleich. Per Definition sind aber die Punkte außerhalb des Verzweigungsdivisors genau die Punkte, bei denen das induzierte Differential ein Isomorphismus ist. Also stabilisiert G den Verzweigungsdivisor S. □

Das Vektorfeld v eingeschränkt auf den Verzweigungsdivisor S ist also ein (nichttriviales) Vektorfeld v_{|S} auf dem Verzweigungsdivisor. Da v auf einer Kurve C verschwinden soll und der Verzweigungsdivisor wie jeder Divisor auf X ample ist, schneidet S die Kurve C, und damit hat das Vektorfeld auf S eine Nullstelle. Also ist S von rationalen Kurven überdeckt und damit uniruled, wie am Ende von Abschnitt 3.2 erläutert. Insbesondere ist K_{S} nicht nef. Andererseits lassen sich die kanonischen Bündel der Verzweigungsdivisoren leicht ausrechnen, da die Divisoren alle vollständige Durchschnitte sind :

• Bei Varietäten vom Typ V_{1} ist K_{S} = O_{S}(2), da die Veronese-Fläche und damit auch der Kegel über ihr durch drei Quadriken erzeugt wird.

• Wenn X vom Typ V_{2} ist, dann ist K_{S} = O_{S}.

• X vom Typ V′_{2}: Dann ist K_{S} = O_{S}(2).

• X vom Typ V′′_{4}: Dann ist K_{S} = O_{S}(1).

In allen 4 Fällen ist K_{S} also nef, Widerspruch. Es gibt also auf keiner Varietät von einem der 4 Typen ein Vektorfeld, das auf einer Kurve verschwindet.

3.4.2 Kubiken

Sei V_{3} ⊂ ℙ^{4} eine dreidimensionale Kubik. Die Fano-Varietät F (V_{3}) der Geraden auf der Kubik ist eine glatte Fläche mit einem sehr amplen kanonischen Divisor [CG72, 7.8,10.13]. Außerdem kann man zeigen, daß durch einen allgemeinen Punkt V_{3} genau 6 Geraden gehen [Tju72]. Man nehme nun wieder an, daß auf V_{3} ein nichttriviales Vektorfeld mit Nullstellen existiert. Wie im letzten Abschnitt operiert dann eine linear-algebraische Gruppe G effektiv mit Fixpunkten auf V_{3}. Die Gruppe G operiert dann auf natürliche Weise auch auf dem Hilbertschema von V_{3} (Lemma 1.14) und damit auf der Fano-Varietät der Geraden, F (V_{3}). Da G linear-algebraisch ist, hat die Gruppe eine linear-algebraische Ein-Parameter-Untergruppe (vgl. Korollar 1.31), die dann mit Fixpunkten auf F (V_{3}) operiert.

Das ist aber bei einer glatten Fläche mit sehr amplen kanonischen Divisor nur möglich, wenn die Operation trivial ist. Sonst ist K_{X} nicht nef, wie schom in letzten Abschnitt erläutert. Geraden auf V_{3} werden also auf sich selbst abgebildet. Ein allgemeiner Punkt x ∈ V_{3} liegt aber auf sechs Geraden und muß deshalb Fixpunkt der Ein-Parameter-Gruppenoperation sein. Das ist aber ein Widerspruch zur Effektivität der Operation von G auf V_{3}.

3.4.3 Quadriken, Kubiken und Quartiken

Bei Quartiken hat man leider nicht so viele Informationen über das Fano-Schema von Geraden. Es kann nicht-reduziert und reduzibel sein, und es kann Singularitäten besitzen (z.B. bei der Fermat-Quartik [Ten74]). Stattdessen kann man von folgendem Lemma ausgehen, das auch die gewünschten Aussagen für Quadriken und (noch einmal) die Kubiken liefert:

Lemma 3.17. Alle Vektorfelder auf Hyperflächen H ⊂ ℙ^{n}, n > 2, werden von äquivarianten Vektorfeldern auf ℙ^{n} induziert.

Beweis: Sei d := deg H. Als erstes betrachte man die mit dem Tangentialbündel T_{ℙ^{n}} tensorierte Strukturgarbensequenz von H,

0 → T_{ℙ^{n}}(−d) → T_{ℙ^{n}} → T_{ℙ^{n}} ⊗ O_{H} → 0,

und den Anfang der dazugehörigen langen exakten Sequenz

0 → H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}(−d)) → H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}) →^{ν} H^{0}(H, T_{ℙ^{n}} ⊗ O_{H}) → H^{1}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}(−d)).

Aus der Eulersequenz

0 → O_{ℙ^{n}}(−d) → O_{ℙ^{n}}(1 − d)^{n+1} → T_{ℙ^{n}}(−d) → 0

und H^{i}(ℙ^{n}, O_{ℙ^{n}}(k)) = 0 für 0 < i < n und k ∈ ℤ folgt H^{1}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}}(−d)) = 0. Also ist ν surjektiv. Die Normalensequenz

0 → T_{H} → T_{ℙ^{n}} ⊗ O_{H} → N_{H/ℙ^{n}} → 0

sagt andererseitsaus, daß H^{0}(H, T_{H}) ⊂ H^{0}(H, T_{ℙ^{n}} ⊗ O_{H}). Zu einem Vektorfeld v ∈ H^{0}(H, T_{H}) auf H ist also ein Vektorfeld

w ∈ ν^{−1}({v}) ⊂ H^{0}(ℙ^{n}, T_{ℙ^{n}})

das gesuchte äquivariante Vektorfeld auf ℙ^{n}. □

Von jetzt ab nehme man an, daß H ⊂ ℙ^{4} eine glatte Hyperfläche vom Grad d = 2, 3, 4 sei, auf der ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(H, T_{H}) existiert, das auf dem irreduziblen und reduzierten Durchschnitt C = H_{1}∩H_{2} zweier (sehr) ampler Divisoren verschwindet. Nach dem obigen Lemma wird v von einem Vektorfeld auf ℙ^{4} induziert, das ebenfalls v heiße. Aus Abschnitt 3.1 und Lemma 3.12 folgt: v stabilisiert einen durch eine Hyperebene ausgeschnittenen Kegel D = H ∩ H_{1}, und der Verschwindungsort von v ist der Schnitt C = H ∩ H_{1} ∩ H_{2} mit einer weiteren Hyperebene.

Lemma 3.18. Sei P ∈ D die Kegelspitze: Dann gilt

P ∉ H_{2}.

Beweis: Wegen deg H > 1 enthielte der Schnitt D ∩H_{2} sonst mehrere Geraden und wäre nicht irreduzibel und reduziert. □

Man kann nun homogene Koordinaten (x_{0} : x_{1} : x_{2} : x_{3} : x_{4}) auf ℙ^{4} so wählen, daß der Kegel D auf der Hyperebene H_{1} = {x_{4} = 0} liegt und die Kegelbasis C, auf der das Vektorfeld verschwindet, auf der Ebene H_{1} ∪ H_{2} = {x_{3} = x_{4} = 0}. Weiter habe die Kegelspitze die Koordinaten (0 : 0 : 0 : 1 : 0).

Lemma 3.19. Die Hyperfläche H wird durch ein Polynom der Gestalt

h = f(x_{0}, x_{1}, x_{2}) + x_{4}g(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

beschrieben, wobei deg f = d und deg g = d − 1 ist. Außerdem dürfen der Koeffizient des Monoms x_{3}^{d−1} in g und, für wenigstens ein 0 ≤ i ≤ 4, des Monoms x_{i}x_{4}^{d−1} in h nicht verschwinden.

Beweis: Man kann das Polynom h sicher in der Form

h = f(x_{0}, x_{1}, x_{2}) + x_{3}k(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) + x_{4}g(x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

darstellen. Der Schnitt mit H_{1} = {x_{4} = 0} soll aber ein Kegel D über einer Basis C ⊂ {x_{3} = x_{4} = 0} sein mit Spitze in (0 : 0 : 0 : 1 : 0) sein. Also wird D durch eine Gleichung f(x_{0}, x_{1}, x_{2}) beschrieben, und k = 0. Aus dem Gradienten von h und aus der Glattheit der Hyperfläche folgen die restlichen Behauptungen: Der Koeffizient von x_{3}^{d−1} darf nicht 0 sein, weil sonst die Kegelspitze (0 : 0 : 0 : 1 : 0) auch in H eine Singularität ist. Ebenso darf für wenigstens ein i ≤ 4 der Koeffizient des Monoms x_{i}x_{4}^{d−1} nicht verschwinden, da sonst der Punkt (0 : 0 : 0 : 0 : 1) in H liegt und dort nicht glatt ist. □

Wie in Abschnitt 1.5 beschrieben, entsprechen Vektorfelder auf ℙ^{4} homogenen Derivationen D = ∑_{i,j} a_{ij}x_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} vom Gewicht 0 auf ℂ[x_{0}, …, x_{4}].

Lemma 3.20. Die dem Vektorfeld v entsprechende Derivation D_{v} = ∑_{i,j} a_{ij}x_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} ist durch die Matrix

( \begin{matrix}0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & 0 & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 \\ ∗ & ∗ & ∗ & ∗ & a \end{matrix} )

gegeben.

Beweis: Es ist deg C > 1, also ist C keine Gerade. Da Vektorfelder auf ℙ^{4} immer auf ganzen linearen Unterräumen verschwinden, verschwindet v auf der Ebene x_{3} = x_{4} = 0. Andererseits kann das Vektorfeld nicht vollständig auf der den Kegel D enthaltenden Hyperebene x_{4} = 0 verschwinden, da sonst das Vektorfeld auf dem Kegel trivial wäre. Da jedes Vektorfeld auf einem Kegel in der Kegelspitze verschwindet, verschwindet v noch in P = (0 : 0 : 0 : 1 : 0). Die Behauptung folgt, weil die Nullstellen von Vektorfeldern auf ℙ^{4} die Eigenräume der zugehörigen Matrix (a_{ij})_{i,j=0,... ,n} (Korollar 1.27) sind. □

Lemma 1.26 sagt, daß v genau dann die Hyperfläche H stabilisiert, wenn die Derivation D_{v} das (homogene) Ideal (h) ⊂ ℂ[x_{0}, …, x_{4}] der Hyperebene in sich selbst abbildet. Da die Derivation vom Gewicht 0 ist, muß also D_{v}h = λh sein für ein λ ∈ ℂ. Es gilt:

D_{v}h = D_{v}f + D_{v}x_{4} · g + x_{4}D_{v}g = 0 + x_{4}(ag + D_{v}g),

weil a_{ij} = 0 für i, j = 0, 1, 2, und daraus folgt sofort λ = 0. Man kann nun leicht ein Vektorfeld auf der dreidimensionalen Quadrik angeben, das wie gewünscht verschwindet: Sei die Gleichung der Quadrik h = x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}x_{4} und das Vektorfeld gegeben durch die Matrix

( \begin{matrix}0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & 0 & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Dann ist, wie gefordert, D_{v}h = 0. Das Vektorfeld verschwindet auf der glatten Quadrik x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0 in der Ebene x_{3} = x_{4} = 0 und in der Kegelspitze (0 : 0 : 0 : 1 : 0), und es stabilisiert den Kegel x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 0 in der Hyperebene x_{4} = 0. Warum findet man nun keine derartigen Vektorfelder auf der Kubik und der Quartik ?

(a) Nach Lemma 3.19 tritt das Monom x_{3}^{d−1}x_{4} in h auf, etwa mit Koeffizient c ≠ 0, aber kein Monom der Form x_{3}^{d−1}x_{i} für i ≤ 3.

(b) Der Koeffizient von x_{3}^{d−1}x_{4} in D_{v}h = 0 muß 0 sein. Wenn man h in Monome und D_{v} in “monomiale” Derivationen a_{ij}x_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} zerlegt, dann folgt, daß nur die Ableitungen

a_{3j}x_{3} \frac{∂}{∂x_{j}} x_{j}x_{3}^{d−2}x_{4}, a_{4j}x_{4} \frac{∂}{∂x_{j}} x_{j}x_{3}^{d−1}x_{j}

zum Koeffizienten von x_{3}^{d−1}x_{4} beitragen können. Da a_{3j} = 0 für i = 0, 1, 2, 4 und die Koeffizienten von x_{3}^{d−1}x_{i} für i ≤ 3 ebenfalls verschwinden, folgt: Der Koeffizient von x_{3}^{d−1}x_{4} in D_{v}h ist der Koeffizient von

c(a_{33}x_{3} \frac{∂}{∂x_{3}} x_{3}^{d−1}x_{4} + a_{44}x_{4} \frac{∂}{∂x_{4}} x_{3}^{d−1}x_{4}),

also c(d − 1 + a).

(c) Es folgt die Gleichheit a = 1−d. Diese Zahl ist ein Eigenwert der Derivationsmatrix, der nicht mit den beiden anderen Eigenwerten 0 und 1 übereinstimmt. Also ist die Derivationsmatrix bei geeigneter Basiswahl in Diagonalgestalt:

( \begin{matrix}0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & 0 & & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & 0 & 0 & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 − d \end{matrix} )

(d) Der Unterschied zwischen Quadrik auf der einen und Kubik und Quartik auf der anderen Seite ist nun, daß die Monome x_{3}x_{4}^{d−1} und x_{3}^{d−1}x_{4} für d > 2 verschieden sind. Der Koeffizient c von x_{3}x_{4}^{d−1} in h muß für d > 2 Null sein, da sonst der Koeffizient von x_{3}x_{4}^{d−1} in Dh gleich c(1 − (d − 1)^{2}) ≠ 0 ist. Gleiches gilt für die Monome x_{i}x_{4}^{d−1} mit i = 0, 1, 2, 4. Das ist aber ein Widerspruch zu Lemma 3.19.

3.4.4 Der ℙ^{3}

Völlig trivial ist schließlich die Konstruktion eines Vektorfeldes auf ℙ^{3}, das auf einer Geraden verschwindet. Ein Beispiel wird bezüglich homogener Koordinaten (x_{0} : x_{1} : x_{2} : x_{3}) gegeben durch

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

(vgl. die Erläuterungen im letzten Abschnitt).

Eine Vermutung von Carrell

In diesem Kapitel soll die folgende Vermutung von J.B. Carrell [Lie77] näher untersucht werden:

Vermutung 4.1. Sei X eine glatte Varietät und v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld auf X, dessen Nullstellen auf X alle isoliert sind. Dann ist X rational.

Wie in Abschnitt 4.1 erläutert wird, ist diese Vermutung richtig für multiplikative Vektorfelder, also solche, die von einer ℂ^{∗}− Operation auf X induziert werden. Mit Hilfe dieser Aussage kann man die Vermutung auf additive Vektorfelder reduzieren:

Vermutung 4.2. Sei X eine glatte Varietät und

σ : ℂ^{+} × X → X

eine ℂ^{+}− Operation auf X, deren Fixpunkte alle isoliert sind. Dann ist X rational.

Zum derzeitigen Forschungsstand vgl. die Einleitung. Ab Abschnitt 4.2 des Kapitels soll ein neuer Ansatz zur Lösung der Vermutung vorgestellt werden: Man bette die Varietät X äquivariant in einen ℙ^{N} ein. Es gibt Hyperebenenschnitte H ∩X von X mit einer irreduziblen Komponente Y ⊂ H ∩X von Kodimension 1, die die generischen ℂ^{+}− Orbiten parametrisiert. Man deformiere nun die induzierte ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} in einer genauer zu definierenden Weise in (von einem Parameter λ abhängende) ℂ_{λ}^{∗}− Operationen auf ℙ^{N}. Ebenso deformiere man Y mit Automorphismen von H in isomorphe irreduzible Untervarietäten Y_{λ} ⊂ H. Die ℂ_{λ}^{∗}− Operationen wende man dann auf die Y_{λ} an. Die Hoffnung ist, daß die so erhaltene Familie von Varietäten X_{λ} flach ist über der Deformationsbasis und so auch die allgemeine Faser X_{λ} wie X = X_{0} glatt ist. Nach Konstruktion wird klar sein, daß X_{λ} eine Varietät mit einer ℂ_{λ}^{∗}− Operation ist, deren Fixpunkte alle isoliert sind, und daß Y_{λ} wiederum die generischen ℂ_{λ}^{∗}−Orbiten von X_{λ} parametrisiert. Also sind X_{λ} und X beide birational äquivalent zu Y × ℙ^{1} ≅ Y_{λ} × ℙ^{1} und damit selbst birational äquivalent. Eine glatte Varietät mit einer ℂ^{∗}−Operation, die nur isolierte Fixpunkte hat, ist aber rational, wie in Abschnitt 4.1 gezeigt wird.

4.1 Reduktion auf ℂ^{+}− Operationen

Sei X eine glatte projektive Varietät (über ℂ) und

Φ : ℂ^{∗} × X → X

eine algebraische ℂ^{∗}−Operation auf X. Seien weiter F_{1}, …, F_{r} die Zusammenhangskomponenten des Fixpunktschemas Fix^{ℂ^{∗}}X. Für alle x ∈ X definiert nun Φ_{x}(t) := t · x einen Morphismus Φ_{x} : ℂ^{∗} → X. Da X projektiv ist, gibt es genau eine Fortsetzung von Φ_{x} zu einem Morphismus \overline{Φ}_{x} : ℙ^{1} → X (s. [Har77, II.4.7]). Man kann also definieren:

lim_{t→0} tx := \overline{Φ}_{x}(0), lim_{t→∞} tx := \overline{Φ}_{x}(∞).

Diese beiden Punkte sind Fixpunkte der ℂ^{∗}− Operation Φ, liegen also auf einem der F_{i}. Man definiere deshalb

X_{i}^{+} := {x ∈ X : lim_{t→0} tx ∈ F_{i}}, X_{i}^{−} := {x ∈ X : lim_{t→∞} tx ∈ F_{i}}.

Es gilt folgendes

Theorem 4.3 (Bialynicki-Birula). Seien die Bezeichnungen wie oben.

(1) Die X_{i}^{±} sind ℂ^{∗}− invariant, X_{i}^{±} ⊃ F_{i} und die X_{i}^{±} sind lokal abgeschlossen.

(2) X = X_{1}^{±} ∪ … X_{r}^{±} und für alle i ≠ j ist X_{i}^{±} ∩ X_{j}^{±} = ∅.

(3) Alle F_{i} sind glatt.

(4) Die Projektionen π_{i} : X_{i}^{±} → F_{i}, x ↦ lim_{t→0} tx bzw. lim_{t→∞} tx sind Morphismen, die die X_{i} zu lokal trivialen Faserungen von Vektorräumen über F_{i} machen, d.h.: Zu jedem x ∈ F_{i} gibt es eine Zariski-offene Umgebung W_{x} ⊂ F_{i}, so daß π^{−1}(W_{x}) ≅ W_{x} × 𝔸^{n}.

Beweis: S. [BB73] oder auch [Kon96b]. □

Dieses Theorem benutzt man nun, um die Vermutung von Carrell auf den Fall additiver Vektorfelder zurückzuführen (vgl. [Hwa96a, p.761]): Sei wieder X eine glatte projektive Varietät und v ∈ H^{0}(X, T_{X}) ein Vektorfeld auf X, dessen Nullstellen alle isoliert sind. Nach Korollar 1.31 wird v von der Operation einer algebraischen Gruppe

G = (ℂ^{∗})^{p} × (ℂ^{+})^{ϵ}

induziert mit ϵ ∈ {0, 1}. Die Fixpunktmenge Fix^{G}X dieser Operation ist gleich der Nullstellenmenge Z(v) von v. Für p = 0 ist v schon ein additives Vektorfeld. Für p > 0 wendet man die Zerlegung von Bialynicki-Birula und ihre Eigenschaften induktiv an: Sei ℂ^{∗} ⊂ G ein Faktor des Produkts G = (ℂ^{∗})^{p} × (ℂ^{+})^{ϵ}. Die zur Operation von ℂ^{∗} gehörigen Zusammenhangskomponenten der Fixpunktmenge seien wie oben mit F_{1}, … F_{r} bezeichnet, und die Komponenten der (positiven) Zerlegung mit X_{i}^{+}. Da die X_{i}^{+} lokal abgeschlossen sind und ihre Vereinigung die ganze Varietät X ist, gibt es ein i, für das X_{i}^{+} ⊂ X offen ist. Da die Projektion π : X_{i}^{+} → F_{i} eine Faserung von Vektorräumen ist, gilt

X ≈ X_{i}^{+} ≈ F_{i} × ℙ^{n}

für irgendein n. Um zu zeigen, daß X rational ist, genügt es also zu zeigen, daß F_{i} rational ist. F_{i} ist glatt, und auf F_{i} operiert

G′ = (ℂ^{∗})^{p−1} × (ℂ^{+})^{ϵ}.

Mit weiteren Induktionsschritten reicht es schließlich zu zeigen, daß eine glatte Varietät F mit einer ℂ^{+}− oder ℂ^{∗}− Operation (falls ϵ = 0) rational ist. Wegen Fix^{G}X = Z(v) besteht die Fixpunktmenge dieser ℂ^{+}− oder ℂ^{∗}− Operation aus isolierten Punkten. Die Reduktion ist damit gelungen.

4.2. ℂ^{+}− UND ℂ^{∗}− OPERATIONEN 63

4.2 ℂ^{+}− und ℂ^{∗}− Operationen

Wie in Abschnitt 1.5 gezeigt, ist der Raum der ℙ^{N}− Vektorfelder H^{0}(ℙ^{N}, T_{ℙ^{N}}) isomorph zu 𝔤l(n + 1)/λ · id, also zum Vektorraum der (n + 1) × (n + 1)− Matrizen modulo den Vielfachen der Einheitsmatrix. Jede ℂ^{∗}− Operation auf ℙ^{N} induziert ein Vektorfeld, das als Repräsentanten in 𝔤l(n+1) eine diagonalisierbare Matrix mit ganzzahligen Eigenwerten hat. Jede ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} induziert ein Vektorfeld, das als Repräsentanten in 𝔤l(n + 1) eine nilpotente Matrix hat (vgl. den Beweis von Proposition 1.29). Bezüglich einer geeigneten Basis läßt sich jede nilpotente Matrix als Matrix in Jordan-Normalform mit r Jordanblöcken der Größe N_{1} ≥ N_{2} ≥ … ≥ N_{r} darstellen. Diese Basis liefert homogene Koordinaten

x_{1,0}, x_{1,1}, …, x_{1,N_{1}}, x_{2,0}, x_{2,1}, …, x_{2,N_{2}}, …, x_{r,N_{r}}

des ℙ^{N}, die von jetzt an Jordan-Normalkoordinaten heißen. Die zugehörige ℂ^{+}− Operation erhält man durch Integration der nilpotenten Matrix A des Vektorfeldes:

exp(tA) = ( \begin{matrix}1 & t & \frac{1}{2}t^{2} & ⋯ & \frac{t^{N_{1}−1}}{(N_{1}−1)!} & \frac{t^{N_{1}}}{N_{1}!} \\ 0 & 1 & t & ⋯ & ⋯ & \frac{t^{N_{1}−1}}{(N_{1}−1)!} \\ ⋮ & & & ... & & ⋮ & & & 0 & & 0 \\ 0 & & & & 1 & t \\ 0 & 0 & & ⋯ & 0 & 1 \\ & & & & & & 1 & t & ⋯ & \frac{t^{N_{2}}}{N_{2}!} \\ & & & 0 & & & ⋮ & & & ⋮ & 0 \\ & & & & & & 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ & & & ⋮ & & & & & ⋮ & & ⋮ \end{matrix} )

Für a = (a_{1,0} : …: a_{r,N_{r}}) ∈ ℙ^{N} und t ∈ ℂ^{+} ist also die (i, j)− te Koordinate von t · a gleich

x_{i,j}(t · a) = a_{i,j} + a_{i,j+1}t + … + a_{i,N_{i}} \frac{t^{N_{i}−j}}{(N_{i} − j)!}.

Wenn n_{i} = max_{j}{a_{i,j} ≠ 0} und n = max_{i} n_{i}, dann ist der Fixpunkt lim_{t→∞} t · a im Abschluß des Orbits von a gegeben durch

x_{i,j}( lim_{t→∞} t · a) = \{ \begin{matrix}\frac{a_{i,n}}{n!} & für n_{i} = n, j = 0 \\ 0 & sonst \end{matrix}

Die Menge aller Fixpunkte ist also der lineare Unterraum von ℙ^{N}, der durch die Gleichungen {x_{i,j} = 0|n_{i} < n oder j > 0} gegeben ist. Sei umgekehrt ein Fixpunkt P ∈ ℙ^{N} vorgegeben. Seien 1 ≤ i_{1} < … < i_{s} ≤ r diejenigen Indizes i, für die p_{i,0} ≠ 0. Ein Punkt a ∈ ℙ^{N}, der gegen P konvergiert, erfüllt dann folgende Bedingungen (n und n_{i} wie oben definiert): n = n_{i_{1}} = … = n_{i_{s}}, n > n_{i} für alle anderen i und (\frac{1}{n!}a_{i_{1},n} : ⋯: \frac{1}{n!}a_{i_{s},n}) = (p_{i_{1},0} : ⋯: p_{i_{s},0}). Insgesamt gilt: Sei N_{P} = min_{l}{N_{i_{l}}}. Dann ist die Menge

{a ∈ ℙ^{N}| lim_{t→∞} t · a = P }

in einem linearen Unterraum des ℙ^{N} enthalten, der durch folgende Gleichungen gegeben ist: x_{i,j} = 0 für j > N_{P} und x_{1,N_{P}} : …: x_{r,N_{P}} = p_{1,0} : …: p_{r,0}. Diese Menge enthält eine offene Teilmenge des linearen Unterraums, liegt also in ihm dicht. Der Abschluß des Orbits eines Punktes a ∈ ℙ^{N}, der kein Fixpunkt der ℂ^{+}− Operation ist, heiße von jetzt an Orbitalkurve.

Lemma 4.4 ([Kon96a]). Sei a ∈ ℙ^{N} kein Fixpunkt der ℂ^{+}− Operation. Dann ist die Orbitalkurve von a glatt, also ≅ ℙ^{1}.

Beweis: Seien wieder n_{i} = max_{j}{a_{i,j} ≠ 0} und n = max_{i} n_{i}. Man betrachte folgenden Morphismus:

φ : ℙ^{1} → ℙ^{N}, (s : t) ↦ (f_{1,0} : …: f_{r,N_{r}})

wobei

f_{i,j}(s, t) = \{ \begin{matrix}s^{n} · a_{i,j} + s^{n−1} · a_{i,j+1}t + … + s^{n−n_{i}+j} · a_{i,n_{i}} \frac{t^{n_{i}−j}}{(n_{i}−j)!} & für j ≤ n_{i} \\ 0 & sonst \end{matrix}

homogene Polynome vom Grad n sind. Nach dem oben Gesagten ist φ(ℙ^{1} \ (0 : 1)) der Orbit von a und φ(ℙ^{1}) folglich der Abschluß . Die Glattheit des Orbits ist klar, da dieser isomorph zu ℂ^{+} ist. Also muß nur die Glattheit in P = φ((0 : 1)) nachgewiesen werden. Dazu reicht es, die Injektivität des Differentials dφ : T_{ℙ^{1},(0:1)} → T_{ℙ^{N} ,P} zu zeigen. Sei o.E. n = n_{1} ≥ n_{2} ≥ … ≥ n_{r}. Dann ist x_{1,0}(P) ≠ 0. Also gibt es eine affine Umgebung U ⊂ {t ≠ 0} ⊂ ℙ^{1} von (0 : 1), für die gilt:

φ(U) ⊂ {x_{1,0} ≠ 0} ≅ 𝔸^{N} ⊂ ℙ^{N}.

Der Morphismus φ_{|U} : U → 𝔸^{N} ist dann gegeben durch

s ↦ \frac{1}{s^{n_{1}} · a_{1,0} + … + \frac{1}{n_{1}!}a_{1,n_{1}}} · (s^{n_{1}} · a_{1,1} + … + \frac{1}{(n_{1} − 1)!}s · a_{1,n_{1}}, …) ∈ 𝔸^{N}.

Das Differential in s = 0 berechnet man dann durch komponentenweises Differenzieren nach s:

\frac{∂}{∂s} ↦ (\frac{(n_{1}!)^{2}}{a_{1,n_{1}}^{2}} · \frac{a_{1,n_{1}−1}}{(n_{1} − 1)!} · 0 + \frac{n_{1}!}{a_{1,n_{1}}} · \frac{a_{1,n_{1}}}{(n_{1} − 1)!}, …) = (n_{1}, …) ≠ 0.

Das Differential ist also injektiv. □

Bemerkung: Die Parametrisierung des Orbits zeigt auch: Die Orbitalkurve ist eine glatte rationale Kurve vom Grad n.

Proposition 4.5 ([Hor69],[CS82]). Sei X eine glatte projektive Varietät mit einer ℂ^{+}− Operation. Dann ist die Menge der Fixpunkte zusammenhängend.

Beweis: Nach Theorem 1.24 liefert die induzierte Operation auf einem vollständigen sehr amplen Linearsystem eine äquivariante Einbettung X ↪ ℙ^{N}. Seien P und Q zwei Fixpunkte auf X. Wenn dim X = 1, dann muß X eine glatte rationale Kurve mit einer ℂ^{+}− Operation mit zwei Fixpunkten sein. Nur die triviale ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{1} hat aber mehr als einen Fixpunkt. Also sind alle Punkte von X Fixpunkte.

Wenn dim X = n ≥ 2, dann gibt es eine Hyperebene H ⊂ ℙ^{N} mit P, Q ∈ H, so daß X ∩ H ein (n − 1)− dimensionaler ampler Divisor ist. Als ampler Divisor eines zusammenhängenden äquidimensionalen projektiven Cohen-Macaulay Schemas ist der Divisor selbst ein zusammenhängendes äquidimensionales projektives Cohen-Macaulay Schema (vgl. [Har77, III.7.9]). Durch weitere Hyperebenenschnitte erhält man schließlich ein zusammenhängendes eindimensionales projektives Schema C, das die zwei Fixpunkte P und Q enthält. Sei P_{C} das Hilbertpolynom von C ⊂ ℙ^{N} und [C] ∈ Hilb_{P_{C}}ℙ^{N} der C entsprechende Punkt auf dem Hilbertschema. Nach Lemma 1.14 wird auf Hilb_{P_{C}}ℙ^{N} eine äquivariante ℂ^{+}− Operation induziert. Wie in Abschnitt 4.1 läßt sich der Morphismus

Φ_{C} : ℂ^{+} → Hilb_{P_{C}}ℙ^{N}, t ↦ t · [C]

fortsetzen zu einem Morphismus \overline{Φ}_{C} : ℙ^{1} → Hilb_{P_{C}}ℙ^{N}. Der Limespunkt

[C_{∞}] = lim_{t→∞} t · [C]

entspricht dann einem Schema C_{∞} ⊂ ℙ^{N}, das wegen der Äquivarianz der ℂ^{+}−Operationen auch in X liegt. C_{∞} ist zusammenhängend, da es Mitglied einer flachen Familie über der irreduziblen Kurve ℙ^{1} ist, deren allgemeine Faser ≅ C und damit zusammenhängend ist ([Har77, III.Ex.11.4]). Der Träger von C_{∞} besteht aus einer Vereinigung von ℂ^{+}− stabilen irreduziblen Kurven C_{1}, …, C_{s}, die insgesamt mindestens die 2 verschiedenen Fixpunkte P und Q enthalten. Da die Schnittpunkte der ℂ^{+}−stabilen Kurven ebenfalls Fixpunkte sein müssen, liegen auf jedem C_{i} mindestens zwei Fixpunkte. Damit bestehen die C_{i} als ℂ^{+}− stabile Kurven nur aus Fixpunkten. Also lassen sich P und Q durch irreduzible Kurven verbinden, die nur aus Fixpunkten bestehen. □

Korollar 4.6. Sei X eine glatte projektive Varietät mit einer ℂ^{+}− Operation, deren Fixpunkte alle isoliert sind. Dann hat X genau einen isolierten Fixpunkt. □

Korollar 4.7. Sei X eine glatte projektive Varietät mit einer ℂ^{+}− Operation, deren Fixpunkte alle isoliert sind. Dann gibt es eine äquivariante Einbettung X ↪ ℙ^{N}, so daß X in keinem linearen Unterraum liegt und für die ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} gilt (mit den Bezeichnungen vom Anfang des Abschnitts): N_{1} > N_{2}.

Beweis: Man wähle eine beliebigen äquivariante Einbettung ϕ : X ↪ ℙ^{N}. Wenn X in einem echten linearen Unterraum von ℙ^{N} liegt, dann liegt X auch in einem ℂ^{+}− stabilen linearen Unterraum derselben Dimension. Also erreicht man eine nichtdegenerierte Einbettung durch Einschränkung auf einen minimalen derartigen linearen Unterraum. Man wähle nun Jordan-Normalkoordinaten x_{i,j} bezüglich der ℂ^{+}−Operation auf ℙ^{N}. Sei

N_{1} = … = N_{k} > N_{k+1} ≥ … ≥ N_{r}.

Sei a ∈ ℙ^{N} ein Fixpunkt, also a_{i,j} = 0 für j > 0. Die obigen Berechnungen zeigen: Die Menge

{b ∈ ℙ^{N}| lim_{t→∞} t · b = a}

liegt dicht in einem linearen Unterraum des ℙ^{N}. Wenn k > 1, dann kann keiner dieser Unterräume der ganze ℙ^{N} sein. Da X nach Korollar 4.6 genau einen Fixpunkt hat, ist das ein Widerspruch zur Nichtdegeneriertheit der Einbettung. □

Jetzt zu (nichttrivialen) ℂ^{∗}−Operationen σ : ℂ^{∗} ×ℙ^{N} → ℙ^{N}: Seien x_{0}, …, x_{N} homogene Koordinaten auf ℙ^{N}, bezüglich derer σ diagonalisiert ist mit Gewichten 0 = k_{0} ≤ k_{1} ≤ … ≤ k_{N} = k, also

t · (a_{0} : a_{1} : …: a_{N}) = (a_{0} : t^{k_{1}}a_{1} : …: t^{k_{N}} a_{N})

Ein Punkt a = (a_{0} : …: a_{N}) ∈ ℙ^{N} liegt genau dann in keinem ℂ^{∗}− stabilen Unterraum von ℙ^{N}, wenn a_{i} ≠ 0 für alle i = 0, …, N. Der Abschluß des Orbits eines derartigen Punktes a heiße wieder Orbitalkurve

O(a) = \overline{ℂ^{∗}a} ⊂ ℙ^{N}.

Sie ist das Bild φ(ℙ^{1}) des Morphismus

\begin{aligned}φ : & ℙ^{1} & → & ℙ^{N} \\ & (s : t) & ↦ & (s^{k_{N}} a_{0} : s^{k_{N} −k_{1}}t^{k_{1}}a_{1} : …: t^{k_{N}} a_{N}) \end{aligned}

Lemma 4.8. deg O(a) = k_{N}. □

Lemma 4.9. O(a) ist glatt ⟺ Es gibt ein i mit k_{i} = 1 und ein j mit k_{j} = k_{N} − 1.

Beweis: Wie in Lemma 4.4 genügt es zu zeigen, daß das Differential von φ in den beiden Fixpunkten (1 : 0) und (0 : 1) injektiv ist. Dazu betrachte man die Einschränkungen von φ auf U = {t ≠ 0} ≅ 𝔸^{1}

\begin{aligned}φ_{|U} : & 𝔸^{1} & → & \{x_{N} ≠ 0\} ≅ 𝔸^{N} ⊂ ℙ^{N} \\ & \frac{s}{t} & ↦ & ((\frac{s}{t})^{k_{N}} \frac{a_{0}}{a_{N}} , …, (\frac{s}{t})^{k_{N} −k_{N−1}} \frac{a_{N−1}}{a_{N}}) \end{aligned}

und auf V = {s ≠ 0} ≅ 𝔸^{1}

\begin{aligned}φ_{|V} : & 𝔸^{1} & → & \{x_{0} ≠ 0\} ≅ 𝔸^{N} ⊂ ℙ^{N} \\ & \frac{t}{s} & ↦ & ((\frac{t}{s})^{k_{1}} \frac{a_{1}}{a_{0}} , …, (\frac{t}{s})^{k_{N}} \frac{a_{N}}{a_{0}} ). \end{aligned}

Die Differentiale von φ_{|U} und φ_{|V} bei 0 sind genau dann nicht die Nullabbildung, wenn einer der Exponenten von s/t bzw. t/s gleich 1 ist. Daraus folgt sofort die Behauptung. □

4.3 Deformation von ℂ^{+}− Operationen in ℂ^{∗}− Operationen

Sei X ein projektives Schema, Y ein quasi-projektives Schema und π : X × Y → Y die Projektion.

Definition 4.10. Eine ℂ^{∗}− Operation

σ : ℂ^{∗} × X × Y → X × Y

wirkt in Faserrichtung, wenn die triviale ℂ^{∗}− Operation pr_{2} : ℂ^{∗} × Y → Y bezüglich π σ− äquivariant ist.

4.3. DEFORMATION VON ℂ^{+}− OPERATIONEN IN ℂ^{∗}− OPERATIONEN 67

Da dann jeder abgeschlossene Punkt Q ∈ Y ein Fixpunkt ist, operiert ℂ^{∗} auf jeder Faser X × {Q} ≅ X. Das zugehörige Vektorfeld v ∈ H^{0}(X × Y, T_{X×Y}) ist ein Vektorfeld relativ zur Basis Y, liegt also in

H^{0}(X × Y, T_{X×Y/Y}) ⊂ H^{0}(X × Y, T_{X×Y}).

Definition 4.11. Sei X ein projektives Schema und σ : ℂ^{+} × X → X eine ℂ^{+}− Operation auf X. Eine Deformation der ℂ^{+}− Operation in ℂ^{∗}− Operationen über einem (quasi-projektiven) Basisschema Y ist ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(X × Y, T_{X×Y/Y}), ein (abgeschlossener) Punkt P ∈ Y und eine ℂ^{∗}− Operation auf X × (Y − {P }) in Faserrichtung, so daß gilt:

(1) v_{|X×{Q}} ist für jeden Punkt Q ≠ P ein (nichtverschwindendes) Vielfaches des Vektorfeldes der ℂ^{∗}− Operation auf X × {Q}.

(2) v_{|X×{P }} ist das Vektorfeld der ℂ^{+}− Operation.

v heiße Deformationsvektorfeld, und für Q ≠ P bezeichne σ_{Q} : ℂ_{Q}^{∗} × X → X die auf X × {Q} eingeschränkte ℂ^{∗}− Wirkung.

Um nun solche Deformationen von ℂ^{+}−Operationen in ℂ^{∗}−Operationen zu konstruieren, beweist man folgendes

Lemma 4.12. Jedes Vektorfeld v ∈ H^{0}(X × Y, T_{X×Y/Y}) entspricht einem Morphismus Y → H^{0}(T_{X}) ≅ 𝔸^{s}, wobei s = dim H^{0}(T_{X}).

Beweis: Vektorfelder v ∈ H^{0}(X ×Y, T_{X×Y}) entsprechen Tangentialvektoren an das Einselement e ∈ Aut(X × Y), und diese entsprechen Morphismen X × Y × k[ϵ]/(ϵ^{2}) → X × Y, die den einzigen k− wertigen Punkt von k[ϵ]/(ϵ^{2}) auf die Identität X × Y → X × Y abbilden. Vektorfelder v ∈ H^{0}(X × Y, T_{X×Y/Y}) entsprechen dann Morphismen

\xymatrix{X × Y × k[ϵ]/(ϵ^{2}) \ar[r] \ar[d]_{pr} & X × Y \ar[d]^{pr_{2}} \\ Y × k[ϵ]/(ϵ^{2}) \ar[r]^{pr_{1}} & Y} ,

so daß das Diagramm kommutiert. Wegen der universellen Eigenschaft von Aut(X) existiert dann ein Morphismus

Y × k[ϵ]/(ϵ^{2}) → Aut(X),

und der entspricht einem Morphismus Y → T_{Aut(X),e} ≅ H^{0}(T_{X}) ≅ 𝔸^{s}. □

Das einfachste Beispiel einer Deformation einer ℂ^{+}−Operation in ℂ^{∗}−Operationen findet man schon für X = ℙ^{1} über der Basis Y = 𝔸^{1}: Da H^{0}(T_{ℙ^{N}}) ≅ End(ℂ^{N+1})/k · Id, ist durch

A^{λ} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & λ \end{matrix} )

ein Vektorfeld v ∈ H^{0}(T_{ℙ^{1}×𝔸^{1}/𝔸^{1}}) gegeben. Für λ = 0 ∈ 𝔸^{1} entspricht v dem nilpotenten Endomorphismus A^{0} ∈ End(ℂ^{2}), ist also Vektorfeld einer ℂ^{+}− Wirkung auf ℙ^{1}. Für λ ≠ 0 hat A^{λ} eine Basis aus den Eigenvektoren ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}1 \\ λ \end{matrix} ) zu den Eigenwerten

0 und λ. Die Matrix \frac{1}{λ} · A_{λ} hat also eine Eigenvektorbasis zu ganzzahligen Eigenwerten und entspricht deshalb dem Vektorfeld einer ℂ^{∗}− Operation auf ℙ^{1}. Das Vektorfeld v ist also ein Deformationsvektorfeld. Man kann diese ℂ_{λ}^{∗}−Deformation auf konzeptionellere Art konstruieren: Alle ℂ_{λ}^{∗}−Operationen und die ℂ^{+}− Operation werden von der Standardoperation der Boreluntergruppe

P B(2) = \{( \begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix} ) | ac ≠ 0\} /k · Id ⊂ P GL(2)

auf ℙ^{1} induziert. Eine Boreluntergruppe einer linear-reduktiven Gruppe wie P GL(2) ist (s. z.B. [Kra84, III.1.3]) eine maximale auflösbare Untergruppe von P GL(2) und läßt sich als semidirektes Produkt eines maximalen Torus T ⊂ P GL(2) und einer maximalen unipotenten Gruppe U ⊂ P GL(2) darstellen. Bei P B(2) kann man T und U wählen als

T = \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & t \end{matrix} ) | t ≠ 0\} ≅ ℂ^{∗}

und

U = \{( \begin{matrix}1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix} ) | b ∈ ℂ\} ≅ ℂ^{+}.

Die ℂ_{λ}^{∗}− Operationen entsprechen dann den konjugierten maximalen Tori

T_{λ} = \{( \begin{matrix}1 & \frac{1}{λ}(t − 1) \\ 0 & t \end{matrix} ) | t ≠ 0\} ⊂ P B(2).

Allgemeiner gilt das folgende

Lemma 4.13. Sei ℂ^{+} ≅ U ⊂ P B(2) das unipotente Radikal von P B(2). Jede P B(2)− Operation auf ℙ^{N} induziert eine ℂ_{λ}^{∗}− Deformation der U− Operation über der Basis 𝔸^{1}. Bezüglich geeigneter Koordinaten kann das Deformationsvektorfeld beschrieben werden durch eine Matrix der Gestalt

( \begin{matrix}M_{1}^{λ} + k_{1} · E_{N_{1}+1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & M_{2}^{λ} + k_{2} · E_{N_{2}+1} & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & M_{r}^{λ} + k_{r} · E_{N_{r}+1} \end{matrix} ) ,

wobei (N_{1} + 1) + ⋯ + (N_{r} + 1) = N + 1, k_{i} ∈ ℤ und

M_{i}^{λ} = ( \begin{matrix}0 & 1 & ⋯ & 0 \\ & λ & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 1 \\ 0 & ⋯ & 0 & λN_{i} \end{matrix} ) .

Beweis: Der erste Teil des Lemmas folgt aus dem oben Gesagten: Die Tori T_{λ} entsprechen den Tangentialvektoren

v_{λ} = ( \begin{matrix}0 & 1/λ \\ 0 & 1 \end{matrix} )

an P B(2) im Einselement e ∈ P B(2), und die Vielfachen λv_{λ} konvergieren gegen den Tangentialvektor

v = v_{0} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

der ℂ^{+}− Operation. Tangentialvektoren an das Einselement e ∈ P B(2) lassen sich auch auffassen als Elemente in der Lie-Algebra Lie(P B(2)) = 𝔟(2). Die Lie-Algebra 𝔟(2) hat die Erzeuger {v_{0}, v_{1}}, die dem unipotenten Radikal und dem maximalen Torus entsprechen, und die die Lie-Relation

[v_{0}, v_{1}] = v_{0}

erfüllen. Jede Operation von P B(2) auf ℙ^{N} induziert nun eine Lie-Algebra-Darstellung

𝔟(2) ↪ 𝔰𝔩(N + 1) ⊂ 𝔤𝔩(N + 1).

Der Erzeuger v_{0} wird zum nilpotenten, v_{1} zum halbeinfachen Endomorphismus aus 𝔤𝔩(N + 1) ≅ End(ℂ^{N+1}). Behauptung: V^{k} = ker v_{0}^{k} ist ein v_{1}− stabiler Untervektorraum von V = ℂ^{N+1}. Beweis: Die Behauptung ist für k = 0 trivialerweise richtig. Für v ∈ ker v_{0}^{k} gilt wegen der Lie-Relation [v_{0}, v_{1}] = v_{0} und der Interpretation der Lie-Klammer auf 𝔤𝔩(N + 1):

v_{0}v_{1}v − v_{1}v_{0}v = v_{0}v.

Da v_{0} ∈ ker v_{0}^{k−1}, also nach Induktionsvoraussetzung auch v_{1}v_{0}v ∈ ker v_{0}^{k−1}, folgt v_{0}v_{1}v ∈ ker v_{0}^{k−1} und damit

v_{1}v ∈ ker v_{0}^{k}.

Man kann also folgendermaßen eine Jordan-Normalform-Basis zu v_{0} wählen, die aus Eigenvektoren zu v_{1} besteht:

• Sei l der Nilpotenzindex von v_{0}, also

V^{l} = ker v_{0}^{l} = V.

V^{l−1} ist v_{1}− stabil, v_{1} ist halbeinfach, also gibt es einen v_{1}− stabilen Untervektorraum V′ ⊂ V mit

V = V^{l−1} ⊕ V′.

Die Eigenvektorbasis von V′ repräsentiert eine Basis von V/V^{l−1} = V^{l}/V^{l−1}.

• Wegen

v_{1}w = μw ⇒ v_{1}v_{0}w = v_{0}w − v_{0}v_{1}w = (μ − 1)v_{0}w

wird ein Repräsentantensystem von Eigenvektoren einer Basis in V^{i+1}/V^{i} durch v_{0} auf Eigenvektoren abgebildet, die eine Basis von v_{0}(V^{i+1}/V^{i}) ⊂ V^{i}/V^{i−1} repräsentieren. Dieses Repräsentantensystem kann man zu einem Repräsentantensystem von Eigenvektoren einer Basis von V^{i}/V^{i−1} fortsetzen.

Wenn man die so erhaltenen Eigenvektoren in Jordan-Blöcken von v_{0} anordnet, zeigt die obige Rechnung, daß die Eigenwerte in jedem Jordan-Block jeweils um 1 ansteigt. Da v_{1} das Vektorfeld einer ℂ^{∗}−Operation induzieren soll, können alle Eigenwerte als ganzzahlig angenommen werden. Das beweist die Darstellung des Deformationsvektorfelds als Matrix bzgl. Jordan-Normalkoordinaten von v_{0}. □ Im restlichen Kapitel seien alle ℂ_{λ}^{∗}−Deformationen einer ℂ^{+}−Operation auf ℙ^{N} über der Basis 𝔸^{1} von einer P B(2)− Operation induziert.

Für spätere Rechnungen seien die ℂ_{λ}^{∗}− Operationen derartiger Deformationen noch genauer untersucht: Wenn λ ≠ 0, dann hat M_{i}^{λ} ∈ End(ℂ^{N_{i}+1}) eine Basis von Eigenvektoren. Der Eigenraum des Eigenwerts λ · j von M_{i}^{λ} wird erzeugt von

v_{i,j}^{λ} = (1 : λj : λ^{2}j(j − 1) : · : λ^{j}j! : 0 : …: 0), 0 ≤ j ≤ N_{i}.

Die v_{i,j}^{λ} bilden die Spalten der zugehörigen Basiswechselmatrix B_{i}^{λ} bezüglich der Standardbasis {e_{i,j} = (0, …, 1, …, 0)}_{1≤j≤N_{i}}.

Lemma 4.14. (B_{i}^{λ})^{−1} ist eine obere Dreiecksmatrix mit

(B_{i}^{λ})_{k,l}^{−1} = (−1)^{l−k} · \frac{1}{(l − k)!k!} · λ^{−l}

für 1 ≤ k ≤ l ≤ N_{i}.

Beweis: Man setze b_{k,l} := (B_{i}^{λ})_{k,l} = \frac{l!}{(l−k)!}λ^{k} und b_{k,l}^{−1} := (B_{i}^{λ})_{k,l}^{−1}. Dann gilt für i ≤ j:

\begin{aligned}∑_{k=0}^{n} b_{ik}^{−1}b_{kj} & = & ∑_{k=i}^{j} b_{ik}^{−1}b_{kj} = ∑_{k=i}^{j}(−1)^{k−i} \frac{1}{(k−i)!i!}λ^{−k} · \frac{j!}{(j−k)!}λ^{k} = \\ & = & \frac{j!}{i!(j−i)!} ∑_{k=0}^{j−i} \frac{(j−i)!}{k!(j−i−k)!}(−1)^{k} = ( \begin{matrix}j \\ i \end{matrix} ) · (1 − 1)^{j−i} = ∂_{ij}. \end{aligned}

Die b_{k,l}^{−1} bilden also tatsächlich die inverse Matrix (B_{i}^{λ})^{−1}. □

Die Endomorphismen 1/λ · M_{i}^{λ} haben sogar eine Eigenvektorbasis zu ganzzahligen Eigenwerten. Sie entsprechen also den Vektorfeldern einer ℂ^{∗}− Wirkung auf ℙ^{N_{i}}.

Lemma 4.15. Die zu 1/λ · M_{i}^{λ} gehörige ℂ^{∗}− Wirkung auf ℙ^{N_{i}} ist gegeben durch Multiplikation mit

C_{i}^{λ}(t) := exp(M_{i}^{λ} ln t) = ( \begin{matrix}1 & \frac{t−1}{λ} & \frac{1}{2} \frac{(t−1)^{2}}{λ^{2}} & ⋯ & \frac{1}{N_{i}!} \frac{(t−1)^{N_{i}}}{λ^{N_{i}}} \\ 0 & t & \frac{t(t−1)}{λ} & & \frac{1}{(N_{i}−1)!} \frac{t(t−1)^{N_{i}−1}}{λ^{N_{i}−1}} \\ 0 & 0 & t^{2} & & ⋮ \\ ⋮ & & & ... & \frac{t^{N_{i}−1}(t−1)}{λ} \\ 0 & ⋯ & & 0 & t^{N_{i}} \end{matrix} )

Genauer:

(c_{i}^{λ})_{k,l}(t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{(l−k)!} · \frac{1}{λ^{l−k}} · t^{k} · (t − 1)^{l−k} & für k ≤ l \\ 0 & für k > l \end{matrix}

Beweis: Sei D_{i}^{λ} die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten 0, 1, …, N_{i}. Offenbar ist mit den Matrizen aus Lemma 4.14

M_{i}^{λ} = B_{i}^{λ}D_{i}^{λ}(B_{i}^{λ})^{−1}

Da exp(D_{i}^{λ} ln t) die Diagonalmatrix mit Eigenwerten 1, t, …, t^{N_{i}} ist, gilt

C_{i}^{λ}(t) · C_{i}^{λ}(s) = exp(M_{i}^{λ} ln t) exp(M_{i}^{λ} ln s) = B_{i}^{λ} exp(D_{i}^{λ} ln t) exp(D_{i}^{λ} ln s)(B_{i}^{λ})^{−1} =
= B_{i}^{λ} exp(D_{i}^{λ} ln st)(B_{i}^{λ})^{−1} = exp(M_{i}^{λ} ln st) =
= C_{i}^{λ}(st).

Die Formeln für die (c_{i}^{λ})_{k,l}(t) erhält man aus

C_{i}^{λ}(t) = B_{i}^{λ} exp(D_{i}^{λ} ln t)(B_{i}^{λ})^{−1},

und man rechnet leicht nach, daß M_{i}^{λ} die Ableitung von C_{i}^{λ}(t) bei t = 1, dem Einselement von ℂ^{∗}, ist. □

Korollar 4.16. Sei k ∈ ℤ und E_{N_{i}+1} die (N_{i} + 1) × (N_{i} + 1)− Einheitsmatrix. Die zu 1/λ · M_{i}^{λ} + k · E_{N_{i}+1} gehörige ℂ^{∗}− Wirkung auf ℙ^{N_{i}} ist gegeben durch Multiplikation mit t^{k} · C_{i}^{λ}(t)

Beweis: Skalare Vielfache der Einheitsmatrix kommutieren mit allen anderen Matrizen, und deswegen ist

exp(ln t(1/λ · M_{i}^{λ} + k · E_{N_{i}+1})) = exp(ln t(1/λ · M_{i}^{λ}) · exp(ln t(k · E_{N_{i}+1}) = t^{k} · C_{i}^{λ}(t)

□

Das Beispiel in Abschnitt 5.1 wird zeigen, daß eine spezielle Klasse von ℂ_{λ}^{∗}− Deformationen, die von einer P B(2)− Operation induziert werden, besonders wichtig ist:

Definition 4.17. Eine Deformation einer ℂ^{+}− Operation in ℂ_{λ}^{∗}− Operationen, die bezüglich vorgegebener Jordan-Normalkoordinaten in der Form von Lemma 4.13 dargestellt werden kann, heißt Standarddeformation, wenn zusätzlich

max_{i}(N_{i} + k_{i}) − min_{i} k_{i} = max_{i} N_{i},

also der maximale Abstand zweier ganzzahliger Eigenwerte der ℂ_{λ}^{∗}− Operationen gleich der maximalen Größe der Jordanblöcke ist.

Wenn man o.E. annimmt, daß N_{1} ≥ N_{2} ≥ … ≥ N_{r} und k_{1} = 0 ist, dann folgt max_{i} N_{i} = N_{1}, min_{i} k_{i} = 0 und

N_{i} + k_{i} ≤ N_{1}

für alle 2 ≤ i ≤ r. Schließlich lassen sich die von einer P B(2)− Operation induzierten ℂ^{+}− und ℂ_{λ}^{∗}− Operationen in einer rationalen Abbildung

Σ : 𝔸^{1} × ℙ^{1} × ℙ^{N} → 𝔸^{1} × ℙ^{N}

zusammenfassen. Denn die ℂ^{+}− und ℂ_{λ}^{∗}− Operationen auf ℙ^{N} induzieren schon für sich rationale Abbildungen

σ_{λ} : ℙ^{1} × ℙ^{N} → ℙ^{N}.

In den die Gruppenoperationen beschreibenden Matrizen aus Abschnitt 4.2 und Lemma 4.15 läßt sich dies durch Homogenisieren der Variablen t mit einer weiteren Variablen s sichtbar machen. Bei einer ℂ^{+}− Operation mit genau einem Jordan-Block erhält man so die Matrix

( \begin{matrix}s^{N} & s^{N−1}t & s^{N−2} \frac{1}{2}t^{2} & ⋯ & s\frac{t^{N−1}}{(N−1)!} & \frac{t^{N}}{N!} \\ 0 & s^{N} & s^{N−1}t & ⋯ & ⋯ & s\frac{t^{N−1}}{(N−1)!} \\ ⋮ & & & ... & & ⋮ \\ 0 & & & & s^{N} & s^{N−1}t \\ 0 & 0 & & ⋯ & 0 & s^{N} \end{matrix} )

Zur entsprechenden ℂ_{λ}^{∗}− Operation erhält man die Matrix

( \begin{matrix}s^{N} & s^{N−1} \frac{t−s}{λ} & s^{N−2} \frac{1}{2} \frac{(t−s)^{2}}{λ^{2}} & ⋯ & \frac{1}{N!} \frac{(t−s)^{N}}{λ^{N}} \\ 0 & s^{N−1}t & s^{N−2} \frac{t(t−s)}{λ} & & \frac{1}{(N−1)!} \frac{t(t−s)^{N−1}}{λ^{N−1}} \\ 0 & 0 & s^{N−2}t^{2} & & ⋮ \\ ⋮ & & & ... & \frac{t^{N−1}(t−s)}{λ} \\ 0 & ⋯ & & 0 & t^{N} \end{matrix} )

Bei mehreren Jordan-Blöcken multipliziert man mit einer Potenz von s, bei ℂ_{λ}^{∗}− Operationen, die wie in Korollar 4.16 von Blöcken 1/λ · M_{i}^{λ} + k_{i} · E_{N_{i}+1} induziert werden, mit einem Monom s^{n}t^{m}. Nun ersetze man s durch a − λb (= a für λ = 0) und t durch a (wende also einen von λ abhängigen Automorphismus auf ℙ^{1} an). Für den wie in Lemma 4.15 von einem Block 1/λ·M^{λ} induzierte ℂ_{λ}^{∗}−Operation ergibt sich die rationale Abbildung Σ : 𝔸^{1}×ℙ^{1}×ℙ^{N} → 𝔸^{1} × ℙ^{N}:

λ × (a : b) × (x_{0} : …: x_{N}) ↦ (f_{0} : …: f_{N})

mit

f_{i} = ∑_{j=i}^{N} \frac{1}{(j − i)!}(a − λb)^{N−j}a^{i}b^{j−i} · x_{j}.

Man sieht, daß man auch im Fall mehrerer Jordan-Blöcke für λ = 0 bis auf einen Faktor a^{n} die (umparametrisierte) rationale Abbildung zur ℂ^{+}− Operation erhält. Σ ist damit außerhalb von

(L_{1} ∪ L_{2}) × ℙ_{ℕ}

mit L_{1} = {a − λb = 0}, L_{2} = {a = 0} ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{1} ein Morphismus.

Lemma 4.18. Sei Y ⊂ ℙ^{N} ein abgeschlossenes Unterschema. Dann ist

λ × \overline{C_{λ}^{∗}Y} = Σ(λ × ℙ^{1} × Y) ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{N},

und analog für die ℂ^{+}− Operation. □

Lemma 4.19. Σ(λ × (a : b) × {x_{1,N_{1}−1} = 0}) = λ × {ax_{1,N_{1}−1} − bx_{1,N_{1}} = 0}.

Beweis: Σ bildet einen Punkt P = (…: 0 : p_{1,N_{1}} : …) (bei gegebenem λ und (a : b)) ab auf P′ = (…: a^{N_{1}−1}bx_{1,N_{1}} : a^{N_{1}}x_{1,N_{1}} : …). Dieser Punkt liegt auf der Hyperebene H_{(a:b)} = {ax_{1,N_{1}−1} − bx_{1,N_{1}} = 0} ⊂ ℙ^{N}. □

4.4 Eine Beweisstrategie

Eine einfache Anwendung von Deformationen von ℂ^{+}− Operationen in ℂ_{λ}^{∗}− Operationen ist folgende

Proposition 4.20. Sei X eine glatte Varietät mit einer ℂ^{+}−Operation, deren Fixpunkte alle isoliert sind. Wenn sich die ℂ^{+}− Operation über einer Basis Y in ℂ^{∗}− Operationen auf X deformieren läßt, dann ist X rational.

Beweis: Sei Z(v) ⊂ X × Y das abgeschlossene Nullstellenschema des Deformationsvektorfeldes v ∈ H^{0}(X × Y, T_{X×Y/Y}) (s. Proposition 1.9). Da v_{|X×{P }} das Vektorfeld der ℂ^{+}− Operation ist, hat die Faser Z(v)_{Q} über jedem (abgeschlossenen) Punkt Q ∈ U in einer offenen Umgebung U ⊂ Y von P höchstens Dimension 0 [Har77, II.Ex.3.22]. Jede ℂ^{∗}− Operation σ_{Q} auf der projektiven Varietät X × {Q} ≅ X hat aber Fixpunkte: Sei x ∈ X irgendein (abgeschlossener) Punkt. Wenn x ein Fixpunkt ist, ist nichts zu zeigen. Sonst betrachte man die Punkte im Abschluß des ℂ^{∗}− Orbits von x. Es gibt also eine ℂ^{∗}− Operation σ_{Q} auf X, deren Fixpunkte alle isoliert sind. Wie in Abschnitt 4.1 kann man dann mit Hilfe der Bialynicki-Birula-Zerlegung zeigen, daß X rational ist. □

Natürlich kann man nicht immer hoffen, auf einer Varietät X mit ℂ^{+}−Operation zugleich noch ℂ_{λ}^{∗}−Operationen zu haben, die die ℂ^{+}−Operation deformieren. Also muß man einen anderen Weg einschlagen: Nach Theorem 1.24 kann man X äquivariant in einen ℙ^{N} einbetten. Sei

v ∈ H^{0}(ℙ^{N} × 𝔸^{1}, T_{ℙ^{N} ×𝔸^{1}/𝔸^{1}})

das Deformationsvektorfeld einer Deformation der ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} über der Basis 𝔸^{1} mit Basispunkt λ = 0 ∈ 𝔸^{1}. Auf ℙ^{N} × (𝔸^{1} − {0}) gibt es dann eine ℂ^{∗}− Wirkung

σ_{𝔸^{1}−{0}} : ℂ^{∗} × (ℙ^{N} × (𝔸^{1} − {0})) → ℙ^{N} × (𝔸^{1} − {0}),

deren Vektorfeld über jedem Punkt von 𝔸^{1} − {0} bis auf einen skalaren Faktor (≠ 0) mit der Einschränkung von v übereinstimmt. Sei weiter 𝔜 ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1} eine beliebige reduzierte abgeschlossene Familie von Unterschemata von ℙ^{N}. Das Bild unter der gerade definierten ℂ^{∗}− Operation,

ℂ^{∗}(𝔜_{|𝔸^{1}−{0}}) := σ_{𝔸^{1}−{0}}(𝔜_{|𝔸^{1}−{0}}),

ist eine konstruierbare Menge in ℙ^{N} × 𝔸^{1} − {0} und damit in ℙ^{N} × 𝔸^{1}.

Definition 4.21. Die Familie

𝔛_{𝔜} := \overline{ℂ^{∗}(𝔜_{|𝔸^{1}−\{0\}})} ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1}

über 𝔸^{1} heißt Deformationsfamilie zur (abgeschlossenen reduzierten) Familie von Unterschemata 𝔜 ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1}.

Die Familie 𝔜 kann z.B. die triviale Familie Y × 𝔸^{1} für eine Untervarietät Y ⊂ ℙ^{N} sein.

Lemma 4.22. Gegeben sei eine ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} mit einer ℂ_{λ}^{∗}− Deformation und eine abgeschlossene,reduzierte und irreduzible Familie von Unterschemata 𝔜 ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1}. Dann hat die zugehörige Deformationsfamilie 𝔛_{𝔜} folgende Eigenschaften:

(a) 𝔛_{𝔜} ist wie 𝔜_{|𝔸^{1}−{0}} reduziert und irreduzibel.

(b) 𝔛_{𝔜} ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1} ist das kleinste abgeschlossene Unterschema, das vom Deformationsvektorfeld v stabilisiert wird und 𝔜 enthält.

(c) Sei Y_{λ} := 𝔜_{λ}. Dann ist

X := \overline{ℂ^{+}Y_{0}} ⊂ 𝔛_{𝔜,0} =: X_{0}

(d) \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}} = X_{λ} := 𝔛_{𝔜,λ} für allgemeines λ.

Beweis: (a) ist klar. Zu (b): Jedes derartige Unterschema muß wegen des Zusammenhangs von v und der ℂ^{∗}−Operation σ_{𝔸^{1}−{0}} auf ℙ^{N} × (𝔸^{1} − {0}) sicher die konstruierbare Menge ℂ^{∗}(𝔜_{|𝔸^{1}−{0}}) enthalten, also auch den Abschluß in ℙ^{N} × 𝔸^{1}. Umgekehrt wird dieser Abschluß von v stabilisiert, da v und σ_{𝔸^{1}−{0}} über 𝔸^{1} − {0} dieselben Schemata stabilisieren.

(c) folgt aus der Tatsache, daß die Nullfaser 𝔛_{𝔜,0} vom Deformationsvektorfeld v stabilisiert wird, also auch von der zugehörigen ℂ^{+}−Operation. Wegen (b) ist andererseits Y_{0} ⊂ 𝔛_{𝔜,0}. In (d) folgt einerseits aus der Irreduzibilität von 𝔛_{𝔜} (wegen [BF93]) die Irreduzibilität der allgemeinen Faser X_{λ} ⊂ ℙ^{N}. Andererseits ist auch \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}} ⊂ X_{λ} irreduzibel, und aus der Konstruktion von 𝔛_{𝔜} als Abschluß von 𝔜 − (𝔸^{1} − {0}) unter der ℂ^{∗}−Operation folgt dim X_{λ} = dim \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}}. Also:

X_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}}.
□

Zurück zur Ausgangssituation: Die Varietät X soll nur isolierte Fixpunkte unter der ℂ^{+}− Operation haben, hat also nach Korollar 4.6 genau einen. Nach Korollar 4.7 gibt es dann eine äquivariante Einbettung X ↪ ℙ^{N}, so daß X in keinem linearen Unterraum liegt und der größte Jordanblock der ℂ^{+}−Operation auf ℙ^{N} eindeutig bestimmt ist. Man kann also Jordan-Normalkoordinaten

x_{1,0}, x_{1,1}, …, x_{1,N_{1}}, x_{2,0}, x_{2,1}, …, x_{2,N_{2}}, …, x_{r,N_{r}}

wählen mit N_{1} > N_{2} ≥ … ≥ N_{r}. Sei nun H = {x_{1,N_{1}−1} = 0}. Sei

Y := \overline{X ∩ H − \{x_{1,N_{1}} = 0\}}

der (schematheoretische) Abschluß des quasiprojektiven Schemas X ∩ H − {x_{1,N_{1}} = 0}.

Lemma 4.23. Y ⊂ X ist eine abgeschlossene Untervarietät, für die der durch die Einschränkung der ℂ^{+}− Operation auf Y induzierte Morphismus Y × ℂ^{+} → X birational ist.

Beweis: Sei p ∈ ℙ^{N} und x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0. Sei b · p ein Punkt auf dem ℂ^{+}− Orbit ℂ^{+}p (d.h. b ∈ ℂ^{+}). Ein Vergleich mit der integrierten Gruppenwirkung aus Abschnitt 4.2 zeigt:

x_{1,N_{1}−1}(b · p) = 1 · x_{1,N_{1}−1}(p) + b · x_{1,N_{1}}(p).

Es ergibt sich: Für x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0 hat die Gleichung x_{1,N_{1}−1}(b · p) = 0 eine eindeutig bestimmte Lösung b.

Jeder Orbit ℂ^{+}p eines Punktes p mit x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0 schneidet also die Hyperebene H = {x_{1,N_{1}−1} = 0} genau einmal transversal. Folglich ist der von der Gruppenoperation induzierte Morphismus ℂ^{+} × H → ℙ^{N} birational. Da X ⊄ {x_{1,N_{1}} = 0} und der Orbit eines Punktes p mit {x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0} die Hyperebene H ebenfalls außerhalb von {x_{1,N_{1}} = 0} schneidet, ist X ∩H −{x_{1,N_{1}} = 0} ≠ ∅ und wegen der Transversalität auch reduziert. Also ist Y nicht leer und reduziert. Die Aussagen über die Birationalität folgen aus den analogen Aussagen über H, da der generische Orbit von X das Schema Y schneidet; die Irreduzibilität folgt aus der Birationalität, da X irreduzibel ist. □

Sei weiter φ : 𝔸^{1} → P GL(N) ein Morphismus mit φ(0) = 1_{P GL(N)}. Die natürliche Gruppenoperation τ : P GL(N) × H → H induziert dann einen Morphismus

\xymatrix{Φ = 1_{𝔸^{1}} × (τ ∘ (φ × 1_{H})) : & 𝔸^{1} × H \ar[r] \ar[dr]_{pr_{1}} & 𝔸^{1} × H \ar[d]^{pr_{1}} \\ & & 𝔸^{1}} .

𝔜 = Φ(𝔸^{1} × Y) ist dann eine (abgeschlossene, reduzierte und irreduzible) Familie von Unterschemata von ℙ^{N}, für deren Fasern Y_{λ} ≅ Y wie oben gilt:

Lemma 4.24. Die durch die Einschränkung der ℂ_{λ}^{∗}− Operationen auf Y_{λ} induzierten Morphismen Y_{λ} × ℂ_{λ}^{∗} → \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}} sind für allgemeines λ birational.

Beweis: Sei wieder p ∈ ℙ^{N} und x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0. Sei t_{λ} · p ein Punkt auf dem ℂ_{λ}^{∗}− Orbit ℂ_{λ}^{∗}p (d.h. t_{λ} ∈ ℂ_{λ}^{∗}). Ein Vergleich mit der integrierten Gruppenwirkung aus Lemma 4.15 zeigt:

x_{1,N_{1}−1}(t_{λ} · p) = t_{λ}^{N_{1}−1} · x_{1,N_{1}−1}(p) + \frac{1}{λ}t_{λ}^{N_{1}−1}(t_{λ} − 1) · x_{1,N_{1}}(p).

Da t_{λ} ≠ 0, kann man die zweite Gleichung umformen zu

x_{1,N_{1}−1}(t_{λ} · p) = x_{1,N_{1}−1}(p) + \frac{1}{λ}(t_{λ} − 1) · x_{1,N_{1}}(p).

Es ergibt sich wieder: Für x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0 hat die Gleichung x_{1,N_{1}−1}(t_{λ} · p) eine eindeutig bestimmte Lösung t_{λ}. Jeder Orbit ℂ_{λ}^{∗}p eines Punktes p mit x_{1,N_{1}}(p) ≠ 0 schneidet also die Hyperebene H = {x_{1,N_{1}−1} = 0} genau einmal transversal. Folglich ist der von der Gruppenoperation induzierte Morphismus ℂ_{λ}^{∗} × H → ℙ^{N} birational. Wie in Lemma 4.23 ist Y_{λ} ≅ Y irreduzibel und liegt für allgemeines λ nicht in der Hyperebene {x_{1,N_{1}} = 0}, und wie in Lemma 4.23 folgt so die behauptete Birationalität. □ Entscheidend ist nun folgende

Proposition 4.25. Wenn in der Deformationsfamilie 𝔛_{𝔜} = 𝔛_{Y,φ} für die Nullfaser X_{0} gilt:

X_{0} = X,

dann ist X rational.

Beweis: 𝔸^{1} ist eine glatte Kurve und 𝔛_{𝔜} ist reduziert und irreduzibel, also nach [Har77, III.9.7] eine flache Familie über 𝔸^{1}. Da Glattheit von Fasern von flachen Familien eine offene Bedingungen auf der Basis 𝔸^{1} ist (s. etwa [BF93]), muß X_{λ} für allgemeines λ wie X = X_{0} glatt sein. Sei Z_{𝔛_{𝔜}}(v) der Nullstellenort des Deformationsvektorfeldes v, eingeschränkt auf 𝔛_{𝔜}. Da Nulldimensionalität der Fasern eines Morphismus eine offene Bedingung auf der Bildvarietät ist [Har77, II.Ex.3.22], hat die ℂ_{λ}^{∗}− Operation auf X_{λ} (wieder für allgemeines λ) nur isolierte Fixpunkte. Da X_{λ} glatt ist, folgt wie in Abschnitt 4.1, daß X_{λ} rational ist. Schließlich gilt:

X_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y_{λ}} ≈ Y_{λ} × ℙ^{1} ≅ Y × ℙ^{1} ≈ \overline{ℂ_{λ}^{+}Y} = X

nach Lemma 4.22, 4.23 und 4.24, also ist auch X rational. □

4.5 Ein Kriterium für X_{0} = X

Sei X ⊂ ℙ^{N} wieder eine Varietät, die bezüglich einer ℂ^{+}− Operation auf X äquivariant eingebettet ist, mit Jordan-Normalkoordinaten x_{1,0}, …, x_{r,N_{r}}. Gegeben sei weiter eine von einer P B(2)− Operation induzierte ℂ_{λ}^{∗}− Deformation der ℂ^{+}− Operation und ein Morphismus φ : 𝔸^{1} → P GL(N) mit φ(0) = E_{N}. Die Varietäten Y, 𝔜 = Φ(Y × 𝔸^{1}), 𝔛_{𝔜} = 𝔛_{Y,φ} und X_{λ} seien wie in 4.4 definiert. Lemma 4.13 zeigt, daß die ℂ^{+}− und die ℂ_{λ}^{∗}− Operationen und damit die P B(2)− Operation den linearen Unterraum

L = {x_{1,N_{1}−1} = x_{1,N_{1}} = 0}

stabilisieren. Nach Proposition 1.22 operieren diese Gruppen dann äquivariant auf der Aufblasung

π : ℙ̃^{N} → ℙ^{N}

von L. Nach [Har77, V.2.11.4] ist ℙ̃^{N} ⊂ ℙ^{1} × ℙ^{N} das projektivierte Bündel

p : ℙ_{ℙ^{1}}(O^{N−1} ⊕ O(1)) → ℙ^{1}.

Die Faser über einem Punkt (r : s) ∈ ℙ^{1} ist (bei gegeigneter Koordinatenwahl) die Hyperebene

p^{−1}(r : s) = H_{(r:s)} = {rx_{1,N_{1}−1} − sx_{1,N_{1}}} ⊂ ℙ^{N}.

Die induzierten Operationen der Gruppen ℂ_{λ}^{∗} und ℂ^{+} auf der Basis ℙ^{1} des projektivierten Bündels ℙ̃^{N} (vgl. Abschnitt 1.6) ergeben sich aus den Operationen der Gruppen auf diesen Hyperebenen vermöge

t · H_{(r:s)} = H_{(tr:s+r(t−1)/λ)}, t ∈ ℂ_{λ}^{∗}

und

b · H_{(r:s)} = H_{(r:rb+s)}, b ∈ ℂ^{+}.

4.5. EIN KRITERIUM FÜR X_{0} = X 77

Diese Operationen und die induzierte P B(2)− Operation auf ℙ^{1} wurden schon in Abschnitt 4.3 betrachtet.

Sei P_{Y} das Hilbertpolynom von Y ⊂ H_{(1:0)} ⊂ ℙ̃^{N},

H = Hilb_{P_{Y}} (ℙ̃^{N}/ℙ^{1})

der zugehörige Teil des (relativen) Hilbertschemas, und

U = Univ_{P_{Y}} (ℙ̃^{N}/ℙ^{1}) ⊂ Hilb_{P_{Y}} (ℙ̃^{N}/ℙ^{1}) ×_{ℙ^{1}} ℙ̃^{N}

die zugehörige universelle Familie. Sei p : H → ℙ^{1} die Projektion auf die Basis ℙ^{1}. Nach Lemma 1.34 gibt es äquivariante P B(2)− Operationen auf H und U, also auch eine äquivariante ℂ_{λ}^{∗}− Deformation der induzierten ℂ^{+}− Operation. Sei [Y] ∈ H der der Untervarietät Y ⊂ H_{(1:0)} entsprechende Punkt auf dem Hilbertschema.

[Y] liegt also in der Faser p^{−1}((1 : 0)) = Hilb_{P_{Y}} (ℙ^{N−1}). Da P GL(N) nach Lemma 1.14 äquivariant auf Hilb_{P_{Y}} (ℙ^{N−1}) ⊂ H und Univ_{P_{Y}} (ℙ^{N−1}) ⊂ U operiert, kann man aus dem Morphismus φ : 𝔸^{1} → P GL(N) wie vor Lemma 4.24 Familien

𝔜_{H} = {(λ, φ(λ)([Y]))| λ ∈ 𝔸^{1}} ⊂ 𝔸^{1} × Hilb_{P_{Y}} (ℙ^{N−1}) ⊂ 𝔸^{1} × H

und

𝔜_{U} = {(λ, φ(λ)([Y]), P)| λ ∈ 𝔸^{1}, P ∈ φ(λ)(Y)} ⊂ 𝔸^{1} × Univ_{P_{Y}} (ℙ^{N−1}) ⊂ 𝔸^{1} × U

konstruieren. Daraus ergeben sich dann Deformationsfamilien

ℭ_{[Y],φ} = \overline{ℂ^{∗}(𝔜_{H} − Y_{H,0})} ⊂ 𝔸^{1} × H

und

𝔘_{[Y]×Y,φ} = \overline{ℂ^{∗}(𝔜_{U} − Y_{U,0})} ⊂ 𝔸^{1} × U,

wobei Y_{H,0} und Y_{U,0} die jeweiligen Nullfasern seien. ℭ_{[Y],φ} und 𝔘_{[Y]×Y,φ} sind Varietäten, also reduziert. Weiter gibt es ein Diagramm

\xymatrix{𝔘_{[Y]×Y,φ} \ar[r]^{pr} \ar[d] & 𝔸^{1} × ℙ̃^{N} \\ ℭ_{[Y],φ}}

mit äquivarianten ℂ^{+}− und ℂ_{λ}^{∗}− Operationen. Sei C = \overline{ℂ^{+}([Y])} ⊂ H die ℂ^{+}− Orbitalkurve des Punktes [Y] ∈ H. Für allgemeines λ sind nach Lemma 4.22 die Fasern C_{λ} von ℭ_{[Y],φ} Orbitalkurven

C_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}(φ(λ)([Y])} ⊂ H.

Nach Konstruktion liegt Y in der Hyperebene H_{(1:0)}. Also liegen die Bilder b · [Y] und t_{λ} · [Y] von [Y] unter der ℂ^{+}− bzw. der ℂ_{λ}^{∗}− Operation (also b ∈ ℂ^{+} und t_{λ} ∈ ℂ_{λ}^{∗}) in den Fasern p^{−1}(b · (1 : 0)) und p^{−1}(t_{λ} · (1 : 0)) der Projektion p : H → ℙ^{1}. Deswegen entsprechen die C und C_{λ} (für allgemeines λ) Schnitten von p.

Da H = Hilb_{P_{Y}} (ℙ̃^{N}/ℙ^{1}) projektiv über ℙ^{1} ist, gibt es eine Einbettung

i : H ↪ ℙ^{1} × ℙ^{M}.

Bezüglich i werden die Orbitalkurven dann zu (Bildern von) Schnitten von ℙ^{1} × ℙ^{M}. Jeder derartige Schnitt σ : ℙ^{1} → ℙ^{1} × ℙ^{M} wird nach [Har77, II.7.12] induziert von einer Surjektion

O_{ℙ^{1}}^{M+1} → O_{ℙ^{1}}(d).

Wenn man die Bilder der Erzeuger von O_{ℙ^{1}}^{M+1} auffaßt als homogene Polynome f_{i}(s, t) ∈ K[s, t] vom Grad d, dann ist σ gegeben durch

(s : t) ↦ (f_{0}(s, t) : …: f_{M}(s, t)).

Die Surjektivität bedeutet dabei, daß die f_{i} keine gemeinsamen Nullstellen haben. Man nenne deg σ = deg σ(ℙ^{1}) := d den Grad von D := σ(ℙ^{1}).

Proposition 4.26. Es ist C = C_{0} oder deg C < deg C_{0}.

Beweis: Die Segre-Einbettung

i_{S} : ℙ^{1} × ℙ^{M} → ℙ^{2M+1}, (s : t) × (x_{0} : …: x_{M}) ↦ (sx_{0} : …: tx_{M})

bildet Schnitte σ : ℙ^{1} → ℙ^{1} × ℙ^{M} vom Grad d auf (rationale) Kurven vom Grad d + 1 ab. Die Einbettung i_{S} wird durch ein vollständiges Linearsystem induziert, also gibt es wegen Theorem 1.24 eine äquivariante P B(2)− Operation und damit eine ℂ_{λ}^{∗}− Deformation der in P B(2) enthaltenen ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{2M+1}. Man kann die Deformationsfamilie ℭ_{[Y],φ} deswegen auch eingebettet in ℙ^{2M+1} × 𝔸^{1} konstruieren. Da sie eine Varietät ist, ist die Familie flach, und die Fasern über 𝔸^{1} sind 1-dimensionale Schemata vom selben Grad deg C_{λ} = d. Als Orbitalkurve einer ℂ^{+}− Operation ist C := \overline{ℂ^{+}([Y])} nach Lemma 4.4 glatt und rational. Entweder ist nun C = C_{0} oder C ⊂ C_{0}, aber C ≠ C_{0}. Im zweiten Fall gilt für die Hilbertpolynome von C_{λ} und C sicher

deg P_{C_{λ}} = deg P_{C_{0}} ≥ deg P_{C}.

deg P_{C_{λ}} = deg P_{C} ist aber unmöglich: Das arithmetische Geschlecht p_{a}(C_{λ}) ist ≥ 0; aus p_{a}(C_{λ}) = 0 = p_{a}(C) würde folgen P_{C_{λ}} = P_{C} und damit wegen C ⊂ C_{0} wieder C = C_{0}, und p_{a}(C_{λ}) > 0 ist vollends unmöglich, da dann das Hilbertpolynom

P_{C_{λ}}(T) = deg C_{λ} · T + 1 − p_{a}(C_{λ})

und damit die Hilbertfunktion kleinere Werte als P_{C} annehmen würde. Wie oben erläutert, ist der Grad der Kurven C_{λ} und C aufgefaßt als Kurven in ℙ^{2M+1} um 1 grösser als der Grad dieser Kurven aufgefaßt als Schnitte in ℙ^{1} × ℙ^{M}. Damit ist die Proposition bewiesen. □

Ziel ist nun folgendes Kriterium:

Theorem 4.27. Wenn C_{0} = C, dann ist X_{0} = X. Wenn X glatt ist, folgt auch umgekehrt aus C_{0} ≠ C, daß X echt in X_{0} enthalten ist.

Der Beweis zerfällt in zwei Teile.

4.5.1 Der Fall C_{0} = C

Die rationale ℂ^{+}− Orbitalkurve C ist glatt, also sind wegen C = C_{0} und der Flachheit der Familie ℭ_{[Y],φ} auch die rationalen ℂ_{λ}^{∗}−Orbitalkurven C_{λ} für allgemeines λ glatt. Also gibt es eine offine affine Teilmenge V ⊂ 𝔸^{1} mit 0 ∈ V, über der die Familie

q : ℭ_{[Y],φ |V} → V

nur glatte rationale Kurven ≅ ℙ^{1} als Fasern hat. Man betrachte die Projektion

pr : ℭ_{[Y],φ |V} ↪ V × (ℙ^{1} × ℙ^{M}) → ℙ^{1}.

Da C_{λ} ein Schnitt von pr : ℙ^{1}×ℙ^{M} → ℙ^{1} ist, schneidet der Divisor pr^{∗}O_{ℙ^{1}}(1) jede Faser C_{λ} von q genau einmal. Wie in [Har77, V.2.2] folgt daraus, daß ℭ_{[Y],φ |V} die Projektivierung einer lokal freien Garbe vom Rang 2, also eine Regelfläche über V ist. Lokal freie Garben über V = Spec ℂ[x]_{f} ⊂ 𝔸^{1} sind aber frei, da ℂ[x]_{f} ein Hauptidealring ist [Lam78, p.47]. Also:

ℭ_{[Y],φ |V} ≅ V × ℙ^{1}.

Man kann den Isomorphismus so wählen, daß er abgeschlossene Punkte (λ, [Y′]) ∈ ℭ_{[Y],φ |V}, die ein Unterschema Y′ ⊂ H_{(r:s)} parametrisieren, auf den abgeschlossenen Punkt (λ, (r : s)) ∈ V × ℙ^{1} abbildet. Die Projektionen ℭ_{[Y],φ |V} → ℙ^{1} und V × ℙ^{1} → ℙ^{1} kommutieren also mit dem Isomorphismus, und es gilt:

𝔘_{[Y],φ |V} ⊂ ℭ_{[Y],φ |V} ×_{ℙ^{1}} ℙ̃^{N} ⊂ V × ℙ^{1} × ℙ^{N}.

Sei nun

π : (ℙ^{N} × 𝔸^{1})^{∼} = ℙ̃^{N} × 𝔸^{1} → ℙ^{N} × 𝔸^{1}

wieder die Aufblasung von ℙ^{N} × 𝔸^{1} in L × 𝔸^{1}. Es ist

ℙ̃^{N} × 𝔸^{1} ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1} × ℙ^{1}.

Die Fasern der Projektion p auf 𝔸^{1} ×ℙ^{1} sind genau die Hyperebenen H_{(s:t)}. Da die strikte Transformierte dieser Hyperebenen isomorph ist zur Hyperebene selbst, gilt dasselbe für die strikten Transformierten Ỹ′ alle Unterschemata Y′ ⊂ H_{(r:s)}. Sei 𝔛̃_{Y,φ} die strikte Transformierte der Deformationsfamilie 𝔛_{Y,φ}, also die Aufblasung von 𝔛_{Y,φ} im schematheoretischen Durchschnitt 𝔛_{Y,φ} ∩ (L × 𝔸^{1}). Die Varietät 𝔛̃_{Y,φ} wird nach Proposition 1.22 auch von den ℂ^{+}− und ℂ_{λ}^{∗}− Operationen stabilisiert und ist deswegen die Deformationsfamilie zur Familie

𝔜̃ := {(λ, φ(λ)(Ỹ)) |λ ∈ 𝔸^{1}} ⊂ ℙ^{N} × 𝔸^{1} × ℙ^{1}

Lemma 4.28. 𝔛̃_{Y,φ}_{|V} ≅ 𝔘_{[Y],φ |V} ⊂ V × ℙ^{N} × ℙ^{1}.

Beweis: 𝔛̃_{Y,φ}_{|V} ist wegen der Äquivarianz das Bild von 𝔘_{[Y],φ |V} im Diagramm

\xymatrix{𝔘_{[Y]×Y,φ} \ar[r]^{pr} \ar[d] & 𝔸^{1} × ℙ̃^{N} ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{1} × ℙ^{N} \\ ℭ_{[Y],φ}}

Die Isomorphie folgt, weil die allgemeinen Fasern über V × ℙ^{1} ≅ ℭ_{[Y],φ |V} gleich sind und beide Schemata Varietäten, also irreduzibel und reduziert sind. □

Man betrachte nun die Morphismen

\xymatrix{𝔘_{[Y],φ |V} \ar[r]^{≅} \ar[d]_{p} & 𝔛̃_{Y,φ}_{|V} \ar[r]^{π} \ar[d]^{pr} & 𝔛_{Y,φ |V} \ar[d] \\ ℭ_{[Y],φ |V} \ar[r]^{≅} & V × ℙ^{1} \ar[r] & V}

von Familien über der Basis V ⊂ 𝔸^{1}. Sei U_{0} ⊂ 𝔘_{[Y],φ |V} die Nullfaser (bzgl. V ⊂ 𝔸^{1}) von 𝔘_{[Y],φ |V}. Es gilt:

U_{0} = p^{−1}(C),

also π(U_{0}) = X. Ebenso gilt

U_{0} = π^{−1}(X_{0}).

Da π : 𝔘_{[Y],φ |V} ≅ 𝔛̃_{Y,φ}_{|V} → 𝔛_{Y,φ |V} eine Aufblasung ist, folgt für die strikte Transformierte

X̃_{0} von X_{0}:

X̃_{0} ⊂ π^{−1}(X_{0}) = U_{0}.

Da Aufblasungen immer surjektiv sind, folgt schließlich

X_{0} = π(X̃_{0}) ⊂ π(U_{0}) = X.

Damit ist der erste Teil des Theorems bewiesen.

4.5.2 deg C_{0} > deg C

Die allgemeine Faser C_{λ} von q : ℭ_{[Y],φ} → 𝔸^{1} ist ein Schnitt von ℙ^{1} × ℙ^{M} → ℙ^{1}. Ein derartiger Schnitt ist der Graph eines Morphismus ℙ^{1} → ℙ^{M}. Also induziert q für eine offene Teilmenge V ⊂ 𝔸^{1} einen Morphismus

ψ : V → Hom(ℙ^{1}, ℙ^{M}) ⊂ Hilb(ℙ^{1} × ℙ^{M}).

Hom(ℙ^{1}, ℙ^{M}) sei dabei das offene Unterschema von Hilb(ℙ^{1} ×ℙ^{M}), das Morphismen ℙ^{1} → ℙ^{M} parametrisiert (s. [Kol96, I.1.10]). Da 𝔸^{1} eine glatte Kurve und Hilb(ℙ^{1} × ℙ^{M}) projektiv ist, existiert eine Fortsetzung

\overline{ψ} : 𝔸^{1} → Hilb(ℙ^{1} × ℙ^{M}).

Proposition 4.29. Sei ψ : 𝔸^{1} → Hilb(ℙ^{1}×ℙ^{M}) ein Morphismus und V ⊂ 𝔸^{1} eine offene Teilmenge, so daß

ψ(V) ⊂ Hom(ℙ^{1}, ℙ^{M}).

Die durch die Punkte in ψ(V) parametrisierten Graphen in ℙ^{1} × ℙ^{M} seien Schnitte vom Grad d in ℙ^{1}. Sei λ_{0} ∈ 𝔸^{1} − V und D_{0} ⊂ ℙ^{1} × ℙ^{M} das durch ψ(λ_{0}) parametrisierte abgeschlossene Unterschema. Dann ist

D_{0} = D ∪ ⋃_{j=0}^{k} E_{j},

wobei D der Graph eines Schnitts vom Grad ≤ d ist und die E_{j} Träger

supp(E_{j}) ⊂ {p} × ℙ^{M}

in einer Faser von ℙ^{1} × ℙ^{M} → ℙ^{1} haben.

Beweis: Man zeigt die Behauptung mit Induktion über M. Für M = 1 sind Schnitte vom Grad d von ℙ^{1} × ℙ^{1} →^{pr_{1}} ℙ^{1} Divisoren vom Bigrad (d, 1) von ℙ^{1} × ℙ^{1}. Diese Divisoren werden parametrisiert durch

ℙ(H^{0}(ℙ^{1} × ℙ^{1}, pr_{1}^{∗}O_{ℙ^{1}}(d) ⊗ pr_{2}^{∗}O_{ℙ^{1}}(1))).

Wenn (s : t) die Koordinaten des ersten Faktors und (x : y) die des zweiten Faktors sind, dann wird ein Divisor D vom Bigrad (d, 1) durch ein bihomogenes Polynom vom Bigrad (d, 1) gegeben:

D = V (f_{1}(s, t)x − f_{0}(s, t)y).

D ist genau dann ein Schnitt, wenn f_{0} und f_{1} keinen gemeinsamen Faktor haben. Wenn f_{0} und f_{1} einen (größten) gemeinsamen Faktor f haben mit deg f ≥ 1, dann bestimmen die Nullstellen von f (und ihre Vielfachheiten) die Fasern in D (und ihre Vielfachheiten), während

D′ = V (\frac{f_{1}}{f} x − \frac{f_{2}}{f} y)

ein Schnitt vom Grad d − deg f < d ist. Für allgemeines M > 1 betrachte man nun die durch ψ parametrisierte Familie

𝔇 ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{1} × ℙ^{M}

und die Projektion 𝔇 → ℙ^{M}. Aus Dimensionsgründen ist die Projektion p : 𝔇 → ℙ^{M} generisch endlich. Also gibt es einen Punkt P ∈ ℙ^{M} und eine offene Umgebung V ⊂ 𝔸^{1} von λ_{0}, so daß P ∉ p(D_{λ}) für alle λ ∈ V. Sei weiter H ⊂ ℙ^{M} eine Hyperebene mit P ∉ H. Die Projektion

q : 𝔇 → V × ℙ^{1} × H

vom Zentrum

V × ℙ^{1} × {P }

aus ergibt als Bild eine Familie 𝔇′, auf die die Induktionsvoraussetzung anwendbar ist. Denn Schnitte von ℙ^{1} × ℙ^{M} → ℙ^{1} werden durch eine derartige Projektion wieder auf Schnitte abgebildet. □

Sei nun Σ : V × ℙ^{1} × H → V × H die rationale Abbildung aus Abschnitt 4.3, die die ℂ^{+}− und ℂ_{λ}^{∗}− Operationen auf H ⊂ ℙ^{1} × ℙ^{M} ⊂ ℙ^{2M−1} zusammmenfaßt. Sei τ : P GL(N) × H → H die zur natürlichen P GL(N)− Operation auf dem Hilbertschema H äquivariante Operation. Man konstruiere mit Σ die rationale Abbildung

ψ : 𝔸^{1} × ℙ^{1} ⟶^{1_{𝔸^{1}}×φ×1_{ℙ^{1}}} 𝔸^{1} × P GL(N) × {[Y]} × ℙ^{1} ⟶^{1_{𝔸^{1}}×τ×1_{ℙ^{1}}} 𝔸^{1} × H × ℙ^{1} →^{1_{𝔸^{1}}×Σ} 𝔸^{1} × H.

Das Bild von ψ ist wegen Lemma 4.18 genau ℭ_{[Y],φ}. Wegen Lemma 4.19 folgt weiter, daß ψ eine rationale Umkehrabbildung zum Morphismus p aus dem kommutativen Diagramm

\xymatrix{ℭ_{[Y],φ} \ar[ddr]_{pr} \ar[dr]^{p} \ar[drr]^{pr} \\  & 𝔸^{1} × ℙ^{1} \ar[r]^{pr} \ar[d]_{pr} & ℙ^{1} \\  & 𝔸^{1}}

ist, die wie Σ außerhalb von L_{1} ∪ L_{2} ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{1} (vgl. Abschnitt 4.3) ein bijektiver Morphismus, also wegen Zariskis Hauptsatz [Har77, V.5.2] ein Isomorphismus ist. Da C_{0} zusammenhängend sein muß , können dann wegen Proposition 4.29 weitere Komponenten neben dem Schnitt C nur in der Hyperebene H_{(0:1)} liegen. Es gibt also eine Kurve D ⊂ C_{0} ∩ Hilb_{P_{Y}} (H_{(0:1)}), die auch C schneidet. Sei Y_{0} ⊂ H_{(0:1)} das ℂ^{+}− stabile Schema, das der Fixpunkt von

C = \overline{ℂ^{+}([Y])} ⊂ Hilb_{P_{Y}} (ℙ̃^{N}/ℙ^{1})

parametrisiert. Auch Y_{0} ⊂ X liegt in der Hyperebene H_{(0:1)}. Genauer: Y_{0} ist (als Limesschema von Divisoren) ein Divisor von X im Hyperebenenschnitt H_{(0:1)} ∩ X. Es gilt:

D ∩ C = {[Y_{0}]}.

Wenn nun D ⊂ Hilb_{P_{Y}} X wäre, parametrisiert D eine flache Familie von Divisoren von X. Denn Y_{0} ist als Divisor lokal Cohen-Macaulay, nach [BF93] ist die Eigenschaft, (lokal) Cohen-Macaulay zu sein, eine offene Bedingung für eine flache Familie, und auf glatten Varietäten sind alle abgeschlossenen Cohen-Macaulay-Unterschemata der Dimension dim X − 1 Divisoren. Das ist aber unmöglich, da der Hyperebenenschnitt H_{(0:1)} ∩ X neben Y_{0} nur endlich viele (effektive) Divisoren von X mit demselben Hilbertpolynom enthalten kann. Damit ist auch der zweite Teil von Theorem 4.27 gezeigt, und der Beweis dieses Theorems ist abgeschlossen. □

Carrells Vermutung: Beispiele und Ausblick

In diesem Kapitel soll an einigen Beispielen untersucht werden, ob für eine (hier nicht unbedingt glatte) projektive Varietät X ⊂ ℙ^{N} mit einer äquivarianten ℂ^{+}− Operation, die nur isolierte Fixpunkte hat, eine Deformation in ℂ^{∗}− Operationen existiert, so daß die oben konstruierte Deformationsfamilie 𝔛_{Y} die Bedingung

X_{0} = X

erfüllt. Die ersten beiden Abschnitte kommen dabei ohne die für Theorem 4.27 entwickelten Konstruktionen aus, auch ohne einen Morphismus ϕ : 𝔸^{1} → P GL(N). Im letzten Abschnitt soll anhand der Beispiele erörtert werden, wie die hier vorgeschlagenen Strategie erweitert werden muß , um Carrells Vermutung vollständig zu beweisen.

5.1 ℂ^{+}−Operationen auf Kurven und ihre Deformation

Sei σ : ℂ^{+} × ℙ^{N} → ℙ^{N} eine ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} und

x_{1,0}, x_{1,1}, …, x_{1,N_{1}}, x_{2,0}, …, x_{r,N_{r}}

zugehörige Jordan-Normalkoordinaten mit N_{1} ≤ N_{2} ≤ … ≤ N_{r}. Für den Punkt a = (a_{1,0} : …: a_{r,N_{r}}) ∈ ℙ^{N} definiere man wie in Abschnitt 4.2 für alle 1 ≤ i ≤ r die Zahl n_{i} := max_{j}{a_{i,j} ≠ 0}, und n := max_{i} n_{i}. Bei einer Standarddeformation (vgl. Definition 4.17) sei wieder o.E. k_{1} = 0 und k_{i} ≥ 0 für alle 2 ≤ i ≤ r.

Proposition 5.1. Sei C_{a} die Orbitalkurve zum Punkt a ∈ ℙ^{N}. Für jede Standarddeformation von σ mit n = max_{i}{n_{i} + k_{i}} − min_{i} k_{i} erfüllt dann die Deformationsfamilie 𝔛_{a} die Bedingung C_{0} = C. Insbesondere gilt dies für n = N_{1}.

Beweis: Die Bemerkung nach Lemma 4.4 zeigt, daß C_{a} eine glatte rationale Kurve vom Grad n ist. Sei weiter n_{i} = n = max_{j} n_{j}. Die Voraussetzung in der Proposition (und die zusätzlichen Konventionen für eine Standarddeformation) bedeuten dann, daß k_{i} = 0 und n_{j} + k_{j} ≤ n_{i} für alle 1 ≤ j ≤ r. Wenn man a mit Hilfe der Basiswechselmatrizen (B_{i}^{λ})^{−1} aus Lemma 4.14 in Koordinaten einer Basis von Eigenvektoren umrechnet, dann zeigen Lemma 4.8 und 4.9: Die Orbitalkurve O_{λ}(a) hat Grad n und ist glatt, falls (mit a′ = (a_{i,0} : a_{i_{1}} : …: a_{i,n_{i}} : 0 …: 0))

\begin{aligned}((B_{i}^{λ})^{−1}a′)_{i,0} & = & ∑_{j=0}^{n_{1}}(−1)^{j} \frac{1}{j!}λ^{−j}a_{i,j} ≠ 0 \\ ((B_{i}^{λ})^{−1}a′)_{i,1} & = & ∑_{j=1}^{n_{1}}(−1)^{j−1} \frac{1}{(j−1)!}λ^{−j}a_{i,j} ≠ 0 \\ ((B_{i}^{λ})^{−1}a′)_{i,n_{i}−1} & = & \frac{(−1)^{n_{i}−2}}{(n_{i}−1)!} λ^{−n_{i}+1}a_{1,n_{i}−1} + \frac{(−1)^{n_{i}−1}}{n_{i}!} λ^{−n_{i}}a_{1,n_{i}} ≠ 0 \\ ((B_{i}^{λ})^{−1}a′)_{i,n_{i}} & = & \frac{(−1)^{n_{i}}}{n_{i}!} λ^{−n_{i}}a_{1,n_{i}} ≠ 0 \end{aligned}

Da x_{i,n_{i}} ≠ 0, sind diese 4 Ausdrücke, multipliziert mit λ^{n_{i}}, Polynome in λ mit konstantem Glied ≠ 0, haben also nur endlich viele Nullstellen. Damit hat für allgemeines λ die Orbitalkurve O_{λ}(a) dasselbe Hilbertpolynom wie die Orbitalkurve O(a) der ℂ^{+}− Operation. Da C_{λ} = O_{λ}(a), hat wegen der Flachheit auch die zentrale Faser C_{0} dieses Hilbertpolynom, und damit folgt die Behauptung. □

Bemerkung: Die Voraussetzungen an eine Standarddeformation werden hier explizit verwendet.

5.2 ℂ^{+}−Operationen auf ℙ^{1}×ℙ^{1} und ihre Deformation

Man betrachte folgende ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{1}:

σ : ℂ^{+} × ℙ^{1} → ℙ^{1}, (t, (a : b)) ↦ (a + tb : b).

Die ℂ^{∗}− Operationen

σ_{λ} : ℂ_{λ}^{∗} × ℙ^{1} → ℙ^{1}, (t, (a : b)) ↦ (a + \frac{t − 1}{λ}b : tb)

bilden offensichtlich eine ℂ_{λ}^{∗}− Deformation von σ. σ und σ_{λ} induzieren auf ℙ^{1} × ℙ^{1} eine ℂ^{+}− Operation, gegeben durch

(t, (a : b), (c : d)) ↦ ((a + tb : b), (c + td : b)),

und ℂ_{λ}^{∗}− Operationen, gegeben durch

(t, (a : b), (c : d)) ↦ ((a + \frac{t − 1}{λ}b : tb), (c + \frac{t − 1}{λ}d : td)).

Auch hier liegt eine ℂ_{λ}^{∗}− Deformation der ℂ^{+}− Operation vor. Man bette nun ℙ^{1} × ℙ^{1} mit der Segre-Abbildung, also dem vollständigen Linearsystem der Divisoren vom Bigrad (1, 1), in den ℙ^{3} ein:

s : ℙ^{1} × ℙ^{1} → ℙ^{3}, (a : b) × (c : d) ↦ (ac : ad : bc : bd).

ℙ^{1} ×ℙ^{1} wird so (bezüglich der Koordinaten (a_{0} : a_{1} : a_{2} : a_{3})) zu einer durch die Gleichung a_{0}a_{3} −a_{1}a_{2} = 0 gegebenen Hyperfläche im ℙ^{3}. Die Gruppenoperationen auf ℙ^{1} ×ℙ^{1} lassen sich äquivariant auf ℙ^{3} ausdehnen (man beachte a_{0} = ac usw.):

\begin{aligned}τ : & ℂ^{+} × ℙ^{3} → ℙ^{3}, \\ & (t, (a_{0} : a_{1} : a_{2} : a_{3})) ↦ (a_{0} + t(a_{1} + a_{2}) + t^{2}a_{3} : a_{1} + ta_{3} : a_{2} + ta_{3} : a_{3}) \end{aligned}

5.2. ℂ^{+}−OPERATIONEN AUF ℙ^{1} × ℙ^{1} UND IHRE DEFORMATION 85

und

\begin{aligned}τ_{λ} : & ℂ^{∗} × ℙ^{3} → ℙ^{3}, (t, (a_{0} : a_{1} : a_{2} : a_{3})) ↦ \\ & (a_{0} + \frac{t−1}{λ}(a_{1} + a_{2}) + (\frac{t−1}{λ})^{2}a_{3} : ta_{1} + \frac{t(t−1)}{λ}a_{3} : ta_{2} + \frac{t(t−1)}{λ}a_{3} : t^{2}a_{3}). \end{aligned}

Die zugehörigen Vektorfelder werden durch die 4 × 4− Matrizen

( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}0 & 1/λ & 1/λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/λ \\ 0 & 0 & 1 & 1/λ \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} )

repräsentiert. Der Koordinatenwechsel

b_{0} := \frac{1}{2}a_{0}, b_{1} := \frac{1}{2}(a_{1} + a_{3}), b_{2} := a_{3}, b_{3} := \frac{1}{2}(a_{1} − a_{3})

in Jordan-Normalkoordinaten führt zu den 4 × 4− Matrizen

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}0 & 1/λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

und die ℂ_{λ}^{∗}− Deformation ist eine Standarddeformation, die X_{0} = X = ℙ^{1} × ℙ^{1} erfüllt. In den neuen Koordinaten wird X := ℙ^{1} × ℙ^{1} durch die Gleichung b_{1}^{2} − 2b_{0}b_{2} − b_{3}^{2} = 0 gegeben: Der inverse Koordinatenwechsel ist

a_{0} = 2b_{0}, a_{1} = b_{1} + b_{3}, a_{2} = b_{1} − b_{3}, a_{3} = b_{2}.

Die die Orbiten parametrisierende Untervarietät Y = \overline{X ∩ \{b_{1} = 0\} − \{b_{2} = 0\}} ist auf H = {b_{1} = 0} gegeben durch die Gleichung 2b_{0}b_{2} + b_{3}^{2} = 0. Die Deformationsfamilie 𝔛_{Y} ist das Produkt X × ℙ^{1}. Ändert man in den Matrizen, die die ℂ_{λ}^{∗}−Operationen repräsentieren, den rechten unteren Eintrag von 1 in 0 um, so liegt immer noch eine Standarddeformation vor. Die beteiligten ℂ^{∗}− Operationen haben die Gewichte (Eigenwerte) 0, 0, 1, 2.

Lemma 5.2. Sei σ : ℂ^{∗} × ℙ^{N} → ℙ^{N} eine ℂ^{∗}− Operation mit Gewichten 0 = k_{0} ≤ k_{1} ≤ … ≤ k_{N} = k und X ⊂ ℙ^{N} eine ℂ^{∗}− stabile Untervarietät, die in keinem linearen Unterraum liegt. Wenn k_{0} = k_{1} oder k_{N−1} = k_{N}, dann ist

dim Fix^{ℂ^{∗}}X ≥ 1.

Beweis: Sei zuerst k_{0} = k_{1} = … = k_{r} = 0 und k_{r+1} > 0. Für den generischen Punkt a = (a_{0} : a_{1} : …: a_{N}) ∈ ℙ^{N} gilt a_{0} : a_{1} : …: a_{r} ≠ 0 : …: 0. Dann ist mit den Bezeichnungen von Abschnitt 4.1

lim_{t→0} a = (a_{0} : a_{1} : …: a_{r} : 0 : …: 0).

Umgekehrt liegen alle Orbiten mit einem Fixpunkt (p_{1} : p_{2} : …: p_{r} : 0 : …: 0) im linearen Unterraum

L = {(a_{0} : …: a_{N})|(a_{0} : …: a_{r}) = (p_{1} : p_{2} : …: p_{r})}.

Da X in keinem linearen Unterraum liegt, folgt die Behauptung. Analog argumentiert man für k_{N} = k_{N−1} = … k_{N−r} mit den Fixpunkten lim_{t→∞} a. □

Für die oben beschriebene Standarddeformation bedeutet das Lemma: Die Varietäten X_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}Y} haben nicht nur isolierte Fixpunkte. Also kann die zentrale Faser X_{0} nicht gleich X sein. Nicht jede Standarddeformation erfüllt also X_{0} = X. Man kann mit dem obigen Lemma sogar folgern:

Proposition 5.3. Gegeben sei eine ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} mit Jordanblöcken der Größe

N_{1} > N_{2} = N_{1} − 1 ≥ N_{3} ≥ … ≥ N_{r}

und eine äquivariant eingebettete Untervarietät X ⊂ ℙ^{N}, die in keinem linearen Unterraum liegt. Dann gibt es keine Standarddeformation mit X_{0} = X.

Beweis: Die Definition einer Standarddeformation zeigt, daß wegen N_{1} = N_{2}+1 entweder die kleinsten oder die größten Gewichte der ℂ_{λ}^{∗}−Operationen mehr als einmal vorkommen müssen. □

5.3 ℂ^{+}−Operationen auf Flächen im ℙ^{3} und ihre Deformation

Seien (x_{0} : x_{1} : x_{2} : x_{3}) homogene Koordinaten des ℙ^{3} und σ : ℂ^{+} × ℙ^{3} → ℙ^{3} die (bzgl. dieser Koordinaten) durch das Vektorfeld

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

gegebene Gruppenoperation. Sei σ_{λ} die durch die Vektorfelder

( \begin{matrix}0 & λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 & λ & 0 \\ 0 & 0 & 2 & λ \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} )

gegebene ℂ_{λ}^{∗}− Deformation von σ. In diesem Abschnitt soll eine ℂ^{+}− stabile Hyperfläche X ⊂ ℙ^{3} konstruiert werden mit folgender Eigenschaft: Wenn

Y = \overline{X ∩ \{x_{2} = 0\} − \{x_{3} = 0\}}

die die generischen ℂ^{+}− Orbiten von X parametrisierende Varietät ist, dann ist die ℂ_{λ}^{∗}− Deformationsfamilie 𝔛_{Y} nicht flach. Mit diesem Beispiel soll die Notwendigkeit gezeigt werden, von Y zu isomorphen Varietäten Y_{λ} überzugehen, um eine flache Deformation in C_{λ}^{∗}− invariante Varietäten X_{λ} zu erhalten. Die Konstruktion folgt den Methoden von Kapitel 4 und erfordert einige Vorbereitungen.

5.3. ℂ^{+}−OPERATIONEN AUF FLÄCHEN IM ℙ^{3} UND IHRE DEFORMATION 87

5.3.1 Ein Parameterraum für Schnitte von ℙ(E) → ℙ^{1}

Sei

E = ⨁_{i=0}^{r} O(n_{i})

eine lokal freie Garbe über ℙ^{1} vom Rang r + 1 mit 0 = n_{0} ≤ n_{1} ≤ … ≤ n_{r}. Sei weiter S = ℂ[a, b], sei {e_{i,j}}_{0≤i≤r,0≤j≤n_{i}} eine Basis von Erzeugern (im Grad 0) für S^{N+1}, N = ∑_{i}(n_{i} + 1) − 1, und sei {f_{i}}_{0≤i≤r} eine Basis von Erzeugern (im Grad −n_{i}) für ⨁_{i} S(n_{i}). Der Homomorphismus

S^{N+1} → ⨁_{i} S(n_{i}), e_{i,j} ↦ a^{j}b^{n_{i}−j}f_{i}

von graduierten S− Moduln induziert einen surjektiven Garbenhomomorphismus

O^{N+1} → E → 0,

der wiederum einer Einbettung

ℙ(E) ↪ ℙ^{1} × ℙ^{N}

entspricht. Surjektionen ϕ : O^{N+1} → O(d) bestimmen, eindeutig bis auf Multiplikation mit einer Konstanten, Schnitte von ℙ^{1} × ℙ^{N} → ℙ^{1}. [Har77, II.7.12]. Man nenne d ≥ 0 den Grad des Schnitts. ϕ ist surjektiv, wenn der größte gemeinsame Teiler f ∈ H^{0}(ℙ^{1}, O(d − d′)) der N + 1 durch ϕ gegebenen globalen Schnitte von O(d) konstant ist. Ist deg f ≥ 1, faktorisiert ϕ durch

O^{N+1} →^{ϕ′} O(d′) →^{·f} O(d),

und ϕ′ ist surjektiv. Alle Schnitte vom Grad d werden also parametrisiert durch eine offene Teilmenge des projektiven Raums ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}). Seien (a : b) homogene Koordinaten von ℙ^{1}. Eine Basis von

Hom(O^{N+1}, O(d)) = ⨁_{i=0}^{r} ⨁_{j=0}^{n_{i}} Hom(O, O(d)) = ⨁_{i=0}^{r} ⨁_{j=0}^{n_{i}} H^{0}(ℙ^{1}, O(d))

ist dann gegeben durch die (N + 1)− Tupel

ϕ_{i,j;k} = (0, …, a^{k}b^{d−k}, …, 0), 0 ≤ i ≤ r, 0 ≤ j ≤ n_{i}, 0 ≤ k ≤ d.

Dabei sind alle Komponenten in ϕ_{i,j;k} bis auf die (i, j)−te 0. Die duale Basis {ϕ_{i,j;k}^{∗}} gibt homogene Koordinaten von ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}). Surjektive Elemente von Hom(E, O(d)) bestimmen wie oben Schnitte von ℙ(E) → ℙ^{1} (vom Grad d). Eine Basis von

Hom(E, O(d)) = ⨁_{i} O(d − n_{i})

wird gegeben durch die (r + 1)− Tupel

ψ_{i,k} = (0, …, a^{d−n_{i}−k}b^{k}, …, 0), 0 ≤ i ≤ r, d ≥ n_{i}, 0 ≤ k ≤ d − n_{i}.

Dabei sind alle Komponenten von ψ_{i,k} bis auf die i− te 0. Die duale Basis {ψ_{i,k}^{∗}} gibt homogene Koordinaten von ℙ(Hom(E, O(d))^{∨}). Dualisieren der natürlichen Injektion

0 → Hom(E, O(d)) → Hom(O^{N+1}, O(d))

liefert eine Surjektion

α : Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨} → Hom(E, O(d))^{∨} → 0

und damit einen injektiven Morphismus

ℙ(Hom(E, O(d))^{∨}) → ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}).

Lemma 5.4. Der Garbenhomomorphismus α wird in den Basen ϕ_{i,j;k}^{∗} und ψ_{i,k}^{∗} gegeben durch

ϕ_{i,j;k}^{∗} ↦ \{ \begin{matrix}ψ_{i,k−j}^{∗} & falls 0 ≤ k − j ≤ d − n_{i} \\ 0 & sonst \end{matrix}

Beweis: Die Beschreibung der Surjektion O^{N+1} → E auf der Ebene von graduierten Moduln liefert die Bilder der Basen unter der Injektion Hom(E, O(d)) → Hom(O^{N+1}, O(d)):

ψ_{i,k} ↦ ∑_{0≤j≤n_{i}} ϕ_{i,j;k+j}.

Dualisieren ergibt die Behauptung. □

Die trihomogenen Gleichungen

(∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}a^{d−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}a^{d−n}b^{n})x_{i,j}, 0 ≤ i, l ≤ r, 0 ≤ j ≤ n_{i}, 0 ≤ m ≤ n_{l}

vom Trigrad (1, d, 1) definieren nun eine Familie F ⊂ ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}) × ℙ^{1} × ℙ^{N}. Eine Faser F_{p} ⊂ ℙ^{1} × ℙ^{N} über einem Punkt p ∈ ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}) ist gegeben durch die bihomogenen Polynome

(∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}(p)a^{d−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}(p)a^{d−n}b^{n})x_{i,j},

Wie oben erläutert, legen die Polynome ∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}(p)a^{d−k}b^{k} ein ϕ ∈ Hom(O^{N+1}, O(d)) fest. Wenn ϕ′ ∈ Hom(O^{N+1}, O(d′)) wie oben durch “Herausteilen” des größten gemeinsamen Teilers f entsteht, dann ist der Träger der Faser

supp F_{p} = ϕ′(ℙ^{1}) ∪ ⋃_{i=1}^{d−d′}{(a_{i} : b_{i})} × ℙ^{N},

wobei die (a_{i} : b_{i}) die Nullstellen von f sind.

Lemma 5.5. Sei ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}) ≅ ℙ^{N_{d}+1}. Es gibt genau einen Lie-Algebra-Homomorphismus

β : 𝔰𝔩_{2} × 𝔰𝔩_{N+1} → 𝔰𝔩_{N_{d}+1}

mit folgender Eigenschaft: Für alle v_{1} ∈ 𝔰𝔩_{2}, v_{2} ∈ 𝔰𝔩_{N+1} ist β(v_{1} + v_{2}) + v_{1} + v_{2} ein Vektorfeld auf ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}) × ℙ^{1} × ℙ^{N}, das die Familie F stabilisiert.

Beweis: Sei ℙ^{1} ↪ ℙ^{d} die d−uple Einbettung und ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨})×ℙ^{d}×ℙ^{N} ↪ ℙ^{M} die Segre-Einbettung. Die Familie F wird in ℙ^{M} beschrieben durch die linearen Polynome, die von den trihomogenen Gleichungen induziert werden, und von den quadratischen Polynomen, die die Veronese- und Segre-Einbettung beschrieben. Deshalb gilt wie in Lemma 1.26: Ein Vektorfeld w + v_{1} + v_{2} ∈ 𝔰𝔩_{N_{d}+1} × 𝔰𝔩_{2} × 𝔰𝔩_{N+1} stabilisiert F genau dann, wenn die entsprechende homogene Derivation D vom Gewicht 0 den ℂ− Vektorraum

V = ⨁_{(i,j),(l,m)} ℂ · ((∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}a^{d−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}a^{d−n}b^{n})x_{i,j})

auf sich selbst abbildet. Für ein Vektorfeld w + v_{1} + 0 ist

D((∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}a^{d−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}a^{d−n}b^{n})x_{i,j}) =

(∑_{k} D_{w}(ϕ_{i,j;k}^{∗})a^{d−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} D_{w}(ϕ_{l,m;n}^{∗})a^{d−n}b^{n})x_{i,j} +

(∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}D_{v_{1}}(a^{d−k}b^{k}))x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}D_{v_{1}}(a^{d−n}b^{n}))x_{i,j}.

Damit dieses Polynom in V liegt, muß gelten:

∑_{k} D_{w}(ϕ_{i,j;k}^{∗})a^{d−k}b^{k} + ∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}D_{v_{1}}(a^{d−k}b^{k}) = λ · ∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}a^{d−k}b^{k}.

λ ∈ ℂ muß dabei für alle Paare (i, j) gleich sein. Wenn D_{v_{1}}(a^{d−k}b^{k}) = ∑_{n} e_{n}^{k}a^{d−n}b^{n}, so ergibt sich für alle k

D_{w}(ϕ_{i,j;k}^{∗}) = − ∑_{n} e_{k}^{n}ϕ_{i,j;n}^{∗} + λϕ_{i,j;k}^{∗}.

D_{w} ist also eindeutig bestimmt bis auf die Eulerderivation λ·(∑_{i,j;k} ϕ_{i,j;k}^{∗} \frac{∂}{∂ϕ_{i,j;k}^{∗}}). Diese De-

rivation entspricht aber auf ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨}) dem Vektorfeld 0, also ist w eindeutig bestimmt. Analog geht man im Fall v_{1} = 0 vor: Wenn v_{2} der durch

D_{v_{2}}(x_{i,j}) = ∑_{(l,m)} d_{i,j}^{l,m}x_{l,m}

gegebenen Derivation D_{v_{2}} entspricht, dann kann

D((∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}a^{d−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}a^{d−n}b^{n})x_{i,j}) ∈ V

nur gelten, falls

D_{w}(ϕ_{i,j;k}^{∗}) = − ∑_{(l,m)} d_{i,j}^{l,m}ϕ_{l,m;k}^{∗} + λϕ_{i,j;k}^{∗}.

Dabei muß λ ∈ ℂ wieder für alle Paare (i, j) gleich sein, und das Vektorfeld w ist wieder eindeutig bestimmt. Für ein beliebiges Vektorfeld v_{1} + v_{2} auf ℙ^{1} × ℙ^{N} erhält man das Vektorfeld w durch Addition der gerade für v_{1} und v_{2} bestimmten Vektorfelder; β(v_{1} + v_{2}) := w ist ebenfalls eindeutig bestimmt. Daß β ein Lie-Algebra- Homomorphismus ist, rechnet man leicht an einer Basis von 𝔰𝔩_{2} × 𝔰𝔩_{N+1} nach. □

Sei nun F_{E} = F ∩ (ℙ(Hom(E, O(d))^{∨})) × ℙ(E)) die Einschränkung der Familie F auf die Basis ℙ(Hom(E, O(d))^{∨})). Nach den obigen Überlegungen ist die generische Faser von F_{E} ein Schnitt von ℙ(E) → ℙ^{1} vom Grad d. Spezielle Faser bestehen aus einem Schnitt vom Grad d′ < d und einigen zusätzlichen Komponenten der Form (a : b) × ℙ^{N}, diese eventuell mit Vielfachheiten.

Lemma 5.6. Für Vektorfelder

v ∈ H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) = Hom(E, E)/c · 1_{E} ⋊ 𝔰𝔩_{2} ⊂ 𝔰𝔩_{2} × 𝔰𝔩_{N+1}

(vgl. Abschnitt 1.6) gilt mit den Bezeichnungen aus Lemma 5.5: β(v) + v stabilisiert F_{E}, und β(v) stabilisiert ℙ(Hom(E, O(d))^{∨})).

Beweis: Vektorfelder β(v) + v mit v ∈ H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) stabilisieren nach Lemma 5.5 die Familie F und nach Konstruktion die Varietät ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨})) × ℙ(E). Also stabilisieren sie

F ∩ (ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d))^{∨})) × ℙ(E)) = F ∩ (ℙ(Hom(E, O(d))^{∨})) × ℙ(E)).
□

Man kann die Elemente im Bild β(H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)})) noch genauer beschreiben:

Lemma 5.7. Sei v ∈ Hom(E, E)/c · 1_{E} ein Vektorfeld auf ℙ(E) in Faserrichtung und ϕ ∈ Hom(E, E) ein Garbenhomomorphismus, der v repräsentiert. ϕ induziert einen Vektorraumhomomorphismus

Φ : Hom(E, O(d)) → Hom(E, O(d)), ψ ↦ ψ ∘ ϕ,

und es gilt:

β(v) ∈ H^{0}(T_{ℙ(Hom(E,O(d))^{∨})}) = Hom(Hom(E, O(d))^{∨}, Hom(E, O(d))^{∨})/c · 1

wird repräsentiert von Φ^{∗}, der dualen Abbildung von Φ.

Beweis: Hom(E, E)/c · 1_{E} ist die Lie-Algebra der Gruppe Aut(ℙ(E)/ℙ^{1}) der Automorphismen in Faserrichtung. Man zeigt wie bei Aut ℙ^{N} = P GL(N + 1), daß

Aut(ℙ(E)/ℙ^{1}) = {ϕ : E → Esurjektiv}/c · 1_{E}.

Komposition liefert wieder eine Operation von Aut(ℙ(E)/ℙ^{1}) auf ℙ(Hom(E, O(d))^{∨})). Da sie auf dem Niveau der Lie-Algebren mit β übereinstimmt, folgt die Behauptung. □

Sei weiter ψ : 𝔰𝔩_{2} → H^{0}(T_{ℙ(E)}) die nach Proposition 1.33 eindeutig bestimmte Liftung von 𝔰𝔩_{2}, die die ausgezeichneten Schnitte von E stabilisiert, und seien

H = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) , X = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und Y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

die kanonischen Erzeuger von 𝔰𝔩_{2}.

Lemma 5.8. β(ψ(H)) ist ein Vektorfeld auf ℙ(Hom(E, O(d))^{∨}), das durch den Homomorphismus

ϕ_{H} : Hom(E, O(d))^{∨} → Hom(E, O(d))^{∨}, ψ_{i,k}^{∗} ↦ (2k − d + n_{i})ψ_{i,k}^{∗}

repräsentiert wird. Ebenso ist β(ψ(X)) ein Vektorfeld auf ℙ(Hom(E, O(d))^{∨}), das durch den Homomorphismus

ϕ_{X} : Hom(E, O(d))^{∨} → Hom(E, O(d))^{∨}, ψ_{i,k}^{∗} ↦ (k − d + n_{i})ψ_{i,k−1}^{∗}

repräsentiert wird.

Beweis: Nach Proposition 1.33 ist ψ(H) = H + w_{H}, wobei w_{H} einer (N + 1) × (N + 1)− Matrix der Form

( \begin{matrix}H_{0} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & H_{1} & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & H_{r} \end{matrix} ) , H_{i} = ( \begin{matrix}n_{i} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & n_{i} − 2 & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & −n_{i} \end{matrix} )

entspricht, und ψ(X) = X + w_{X}, wobei w_{X} einer (N + 1) × (N + 1)− Matrix der Form

( \begin{matrix}X_{0} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & X_{1} & & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & X_{r} \end{matrix} ) , X_{i} = ( \begin{matrix}0 & n_{i} & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 1 \\ 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} )

entspricht. Im Beweis von Lemma 5.5 werden die zu β(ψ(H)) und β(ψ(X)) gehörigen Derivationen D_{H} und D_{X} auf ℂ[{ϕ_{i,j;k}^{∗}}, 0 ≤ i ≤ r, 0 ≤ j ≤ n_{i}, 0 ≤ k ≤ d] berechnet:

D_{H}(ϕ_{i,j;k}^{∗}) = (2k − d + n_{i} − 2j)ϕ_{i,j;k}^{∗},
D_{X}(ϕ_{i,j;k}^{∗}) = (k − d)ϕ_{i,j;k−1}^{∗} + (n_{i} − j)ϕ_{i,j+1;k}^{∗}.

Nach Lemma 5.6 stabilisieren β(ψ(H)) und β(ψ(X)) den projektiv-linearen Unterraum ℙ(Hom(E, O(d))^{∨}), und man berechnet die Darstellung der Derivationen zur Basis ψ_{i,k}^{∗} mit dem Vektorraum-Homomorphismus α aus Lemma 5.4:

ψ_{i,k}^{∗} ↦ α(D_{H}ϕ_{i,0;k}^{∗}) = (2k − d + n_{i})ψ_{i,k}^{∗},
ψ_{i,k}^{∗} ↦ α(D_{X}ϕ_{i,0;k}^{∗}) = (k − 1 − d + n_{i})ψ_{i,k−1}^{∗}.

□

5.3.2 Hyperflächen in ℙ(E)/ℙ^{1}

Eine Hyperfläche X_{d} ⊂ ℙ^{r} hat das Hilbertpolynom

P_{d}(n) = χ(O_{X_{d}}(n)) =
= χ(O_{P^{r}}(n)) − χ(I_{X_{d}}(n)) =
= h^{0}(P^{r}, O_{P^{r}}(n)) − h^{0}(P^{r}, O_{P^{r}}(n − d)) =
= ( \begin{matrix}r + n \\ r \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}r + n − d \\ r \end{matrix} ) für n ≥ d.

Umgekehrt hat jedes Unterschema X_{d} ⊂ ℙ^{r} mit dem Hilbertpolynom P_{d} Kodimension 1 und Grad d, enthält also und ist deswegen eine Hyperfläche vom Grad d. Sei nun

E = ⨁_{i=0}^{r} O_{ℙ^{1}}(n_{i})

eine lokal freie Garbe vom Rang r + 1 über ℙ^{1}. Nach [Kol96, 1.4.1.4] repräsentiert ℙ((S^{d}E)^{∗}) den Funktor

Hilb_{P_{d}}(ℙ(E)/ℙ^{1}) : {Schemata über ℙ^{1}} → {Mengen},

Z ↦ \{ \begin{matrix}Unterschemata V ⊂ ℙ(E) ×_{ℙ^{1}} Z, die \\ eigentlich und flach über Z liegen und \\ Hilbertpolynom P_{d} haben. \end{matrix} \}

Die Punkte von ℙ((S^{d}E)^{∗}) parametrisieren also Hyperflächen vom Grad d in den Fasern von ℙ(E) über ℙ^{1}. Sei weiter U_{d} ⊂ ℙ((S^{d}E)^{∗}) ×_{ℙ^{1}} ℙ(E) die zugehörige universelle Familie und π_{1}, π_{2} die Projektionen auf ℙ((S^{d}E)^{∗}) und ℙ(E). Nach Lemma 1.14 gibt es einen Lie-Algebra-Ho-momorphismus

α_{d} : H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) → H^{0}(ℙ((S^{d}E)^{∗}), T_{ℙ((S^{d}E)^{∗})})

von bzgl. π_{1} und π_{2} äquivarianten Vektorfeldern. Wie in Abschnitt 1.6 erläutert, lassen sich die Vektorfelder auf ℙ(E) und ℙ((S^{d}E)^{∗}) auch als Elemente von semi-direkten Produkten von Lie-Algebren auffassen:

H^{0}(ℙ(E), T_{ℙ(E)}) = Hom(E, E)/λ1_{E} ⋊ 𝔰𝔩_{2}
H^{0}(ℙ((S^{d}E)^{∗}), T_{ℙ((S^{d}E)^{∗})}) = Hom((S^{d}E)^{∗}, (S^{d}E)^{∗})/λ1_{(S^{d}E)^{∗}} ⋊ 𝔰𝔩_{2}.

Sei nun ϕ : F → F ein Garbenhomomorphismus (für eine beliebige lokal freie Garbe F). Man bezeichne mit s^{d}(ϕ) den Garbenhomomorphismus

s^{d}(ϕ) := ϕ ⊗ 1_{F} ⊗ … ⊗ 1_{F} + … + 1_{F} ⊗ … ⊗ 1_{F} ⊗ ϕ : S^{d}F → S^{d}F.

Lemma 5.9. Sei v ∈ Hom(E, E)/λ1_{E} ⊂ H^{0}(T_{P(E)}) ein Vektorfeld in Faserrichtung, das von einem Garbenhomomorphismus ϕ : E → E repräsentiert wird. Dann ist auch α_{d}(v) ∈ H^{0}(T_{ℙ((S^{d}E)^{∗})}) ein Vektorfeld in Faserrichtung, das von dem Garbenhomomorphismus −(s^{d}ϕ)^{∗} repräsentiert wird.

Beweis: Über einen offenen affinen Teilmenge Spec A = U ⊂ ℙ^{1}, über der E_{|U} ≅ O_{|U}^{r+1}, wird die Einschränkung der universellen Familie

π_{1}^{−1}(U) ⊂ ℙ((S^{d}O_{U}^{r+1})^{∗}) × ℙ(O_{U}^{r+1})

bzgl. geeigneter Koordinaten gegeben durch das bihomogene Polynom ∑_{|I|=d} a_{I}x_{I}, wobei I = (i_{o}, …, i_{r}) ein Multi-Index sei und x_{I} := x_{0}^{i_{0}} ⋯ x_{r}^{i_{r}} das zugehörige Monom. Das Vektorfeld v_{|U} induziert auf den Monomen x_{I} eine durch den Garbenhomomorphismus s^{d}(ϕ_{|U}) beschriebene Derivation. Wie in Abschnitt 5.3.1 kann man mit Hilfe der Segre- und der Veronese-Einbettung folgern: Ein Vektorfeld auf ℙ((S^{d}O_{U}^{r+1})^{∗}) × ℙ(O_{U}^{r+1}) stabilisiert π_{1}^{−1}(U) genau dann, wenn die induzierte Derivation das Polynom ∑_{|I|=d} a_{I}x_{I} auf ein Vielfaches abbildet. Eine solche Derivation muß aber auf den a_{I} wie −(s^{d}(ϕ_{|U}))^{∗} wirken. Die Behauptung folgt durch Zusammenkleben. □

Seien nun σ_{i} : ℙ^{1} → ℙ(E) wieder die “ausgezeichneten” Schnitte von ℙ(E), die gegeben sind durch die surjektiven Projektionen E = ⨁_{j} O(n_{j}) → O(n_{i}). Sei weiter ψ : 𝔰𝔩_{2} → H^{0}(T_{ℙ(E)}) die nach Proposition 1.33 eindeutig bestimmte Liftung von 𝔰𝔩_{2}, die die natürlichen Schnitte σ_{i} stabilisiert. Nach [Har77, II.Ex.5.16(c)] ist

(S^{d}E)^{∗} = ⨁_{i_{1}≤...≤i_{d}} O(−n_{i_{1}} − … − n_{i_{d}}).

Auch hier gibt es also ausgezeichnete Schnitte σ_{(i_{0},... ,i_{d})} : ℙ^{1} → ℙ((S^{d}E)^{∗}), die induziert werden von den surjektiven Projektionen (S^{d}E)^{∗} → O(−n_{i_{1}} − … − n_{i_{d}}).

Lemma 5.10. Die Vektorfelder α_{d}(ψ(v)) ∈ H^{0}(T_{ℙ((S^{d}E)^{∗})}) stabilisieren die ausgezeichneten Schnitte σ_{(i_{0},... ,i_{d})} für alle v ∈ 𝔰𝔩_{2}.

Beweis: Über jeder affinen offenen Teilmenge Spec A = U ⊂ ℙ^{1} ergeben die ausgezeichneten Schnitte σ_{i} ein Koordinatensystem {x_{i}}_{i=0,... ,r} von ℙ(E_{|U}) ≅ ℙ_{A}^{r}: Die Hyperebene x_{i} = 0 werde in jeder Faser ℙ(E)_{P}, P ∈ U, von den Punkten σ_{j}(P), j ≠ i, aufgespannt. Die durch {x_{i} = 0} beschriebenen Divisoren von ℙ(E) werden also von allen Vektorfeldern ψ(v), v ∈ 𝔰𝔩_{2}, stabilisiert. Sei nun S_{(i_{0},... ,i_{d})} = σ_{(i_{0},... ,i_{d})}(ℙ^{1}) ⊂ ℙ((S^{d}E)^{∗}) das Bild des Schnitts σ_{(i_{0},... ,i_{d})}. Im Koordinatensystem {x_{i}} läßt sich π_{2}(π_{1}^{−1}(S_{(i_{0},... ,i_{d})})) beschreiben durch die Gleichung x_{i_{1}}·· · ··x_{i_{d}} = 0. Das Unterschema π_{2}(π_{1}^{−1}(S_{(i_{0},... ,i_{d})})) ist also ein Divisor D ⊂ ℙ(E), der von den Vektorfeldern ψ(v), v ∈ 𝔰𝔩_{2}, stabilisiert wird. Also stabilisieren die α_{d}(ψ(v)) die Schnitte S_{(i_{0},... ,i_{d})}. □

5.3.3 Konstruktion des Beispiels

In diesem Abschnitt soll nun die ℂ^{+}−stabile Hyperfläche X ⊂ ℙ^{3} konstruiert werden mit der Eigenschaft: Wenn

Y = \overline{X ∩ \{x_{2} = 0\} − \{x_{3} = 0\}}

die die generischen ℂ^{+}− Orbiten von X parametrisierende Varietät ist, dann ist die ℂ_{λ}^{∗}− Deformationsfamilie 𝔛_{Y} nicht flach. Dazu seien H_{(a_{0}:b_{0})} = {b_{0}x_{2} − a_{0}x_{3}} ⊂ ℙ^{3} die Hyperebenen aus Abschnitt 4.5, a_{0}, b_{0} ≠ 0. Wenn X ⊂ ℙ^{3} irgendeine ℂ^{+}− stabile Hyperfläche ist, dann ist nach Lemma 4.23 Y = \overline{X ∩ H_{(a_{0}:b_{0})} − H_{(1:0)}} ⊂ X eine Untervarietät, die die generischen ℂ^{+}− Orbiten von X parametrisiert. Sei deg Y = d und P_{Y} = P_{d} das Hilbertpolynom von Y, aufgefaßt als Hyperebene vom Grad d in ℙ^{2}. Sei ℙ̃^{3} die Aufblasung von ℙ^{3} in der Geraden {x_{2} = x_{3} = 0}. ℙ̃^{3} ist das projektivierte Bündel

p : ℙ(E) = ℙ(O ⊕ O ⊕ O(1)) → ℙ^{1},

wobei die Fasern p^{−1}((a : b)) durch die Niederblasung π : ℙ̃^{3} → ℙ^{3} mit der Hyperebene H_{(a:b)} ⊂ ℙ^{3} identifiziert werden. Wie in Abschnitt 5.3.2 festgestellt, ist

Hilb_{P_{Y}} (ℙ(E)/ℙ^{1}) = ℙ((S^{d}E)^{∗}).

Sei [Y] ∈ ℙ((S^{d}E)^{∗}) der die Kurve Y parametrisierende Punkt auf dem Hilbertschema. Wie in Abschnitt 4.5 konstruiere man dann die Orbitalkurve C = \overline{ℂ^{+}[Y]} ⊂ ℙ((S^{d}E)^{∗}), ein Schnitt von π : ℙ((S^{d}E)^{∗}) → ℙ^{1}. Sei nun ϕ : 𝔸^{1} → ℙ((S^{d}E)^{∗})_{(a_{0}:b_{0})} ein Morphismus von 𝔸^{1} auf die Faser π^{−1}((a_{0} : b_{0})) = ℙ((S^{d}E)^{∗})_{(a_{0}:b_{0})} mit ϕ(0) = [Y]. Dann ist

ℭ_{ϕ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}(\{λ\} × ϕ(λ))}

eine Deformationsfamilie mit den Eigenschaften aus Lemma 4.22:

• Die Fasern C_{λ} sind ℂ_{λ}^{∗}− stabil für λ ≠ 0 und ℂ^{+}− stabil für λ = 0.

• Die allgemeine Faser C_{λ} ist die ℂ_{λ}^{∗}− Orbitalkurve \overline{ℂ_{λ}^{∗}ϕ(λ)}.

• C ⊂ C_{0}.

Weiter sind die allgemeinen Fasern C_{λ} und auch C selbst Schnitte von ℙ((S^{d}E)^{∗}) über ℙ^{1}. Sei e_{λ} der Grad der Schnitte C_{λ} für allgemeines λ ≠ 0 und e der Grad des Schnitts C; nach Proposition 4.26 gilt e_{λ} ≥ e. Seien nun Y_{λ} ⊂ H_{(a_{0}:b_{0})} die den Punkten ϕ(λ) ∈ ℙ((S^{d}E)^{∗})_{(a_{0}:b_{0})} entsprechenden Kurven auf H_{(a_{0}:b_{0})} ≅ ℙ^{2}. Wie in Theorem 4.27 zeigt man dann

Proposition 5.11. 𝔛 = \overline{ℂ_{λ}^{∗}(\{λ\} × Y_{λ})} ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{3} ist genau dann eine flache Familie, wenn

e_{λ} = e.
□

Für das gewünschte Beispiel muß man also eine Kurve Y ⊂ H_{(a_{0}:b_{0})} finden, so daß der Grad von C_{λ} = \overline{ℂ_{λ}^{∗}([Y])} ⊂ ℙ((S^{d}E)^{∗}) als Schnitt über ℙ^{1} für allgemeines λ größer ist als der Grad von C = \overline{ℂ_{λ}^{+}([Y])}. Wie konstruiert man nun eine derartige Kurve Y zu einem vorgegebenen Grad e ? Man betrachte zuerst alle ℂ_{λ}^{∗}− und alle ℂ^{+}− stabilen Schnitte von ℙ((S^{d}E)^{∗}) über ℙ^{1} vom Grad e und bestimme die Kurven in H_{(a_{0}:b_{0})}, die der Schnittpunkt solcher Schnitte mit der Faser ℙ((S^{d}E)^{∗})_{(a_{0}:b_{0})} parametrisiert. Genauer: Die Ergebnisse der beiden vorherigen Abschnitte zeigen, daß ℂ^{+} und ℂ_{λ}^{∗} äquivariant auf der Familie F_{(S^{d}E)^{∗}} ⊂ ℙ(Hom((S^{d}E)^{∗}, O(e))^{∨}) × ℙ((S^{d}E)^{∗}) und damit auf dem Parameterraum ℙ(Hom((S^{d}E)^{∗}, O(e))^{∨}) der Schnitte von ℙ((S^{d}E)^{∗}) vom Grad ≤ e operieren. Seien w_{0} und w_{λ} die entsprechenden Vektorfelder auf ℙ(Hom((S^{d}E)^{∗}, O(e))^{∨}), und Z(w_{0}), Z(w_{λ}) ⊂ ℙ(Hom((S^{d}E)^{∗}, O(e))^{∨}) die Verschwindungsorte der Vektorfelder. Sei U ⊂ ℙ(Hom((S^{d}E)^{∗}, O(e))^{∨}) die offene Teilmenge, die die Schnitte vom Grad e parametrisiert (vgl. Abschnitt 5.3.1).

Lemma 5.12. Es gibt (für λ ≠ \frac{b_{0}}{a_{0}} ) Einbettungen

s_{0} : Z(w_{0}) ∩ U → ℙ((S^{d}E)^{∗})_{(a_{0}:b_{0})}, s_{λ} : Z(w_{λ}) ∩ U → ℙ((S^{d}E)^{∗})_{(a_{0}:b_{0})} =: F_{(a_{0}:b_{0})},

so daß für alle Schnitte σ : ℙ^{1} → ℙ((S^{d}E)^{∗}) vom Grad e, die durch einen Punkt [σ] ∈ Z(w_{0}) oder Z(w_{λ}) parametrisiert werden, gilt:

σ(ℙ^{1}) ∩ F_{(a_{0}:b_{0})} = s_{0}([σ]) bzw. s_{λ}([σ]).

Beweis: Es ist

(S^{d}E)^{∗} = (d + 1)O ⊕ dO(−1) ⊕ … ⊕ O(−d),

vgl. [Har77, II.Ex.5.16]. F := (S^{d}E)^{∗} ⊗ O(d) wird dann durch N + 1 := (d + 1)^{2} + d^{2} + … + 2^{2} + 1^{2} globale Schnitte erzeugt. Schnitte vom Grad e von ℙ((S^{d}E)^{∗}) werden zu Schnitten vom Grad d + e von ℙ(F) über ℙ^{1}. Es ist also ℙ(F) ⊂ ℙ^{1} × ℙ^{N}. Sei F ⊂ ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d + e))^{∨}) × ℙ^{1} × ℙ^{N} die in Abschnitt 5.3.1 konstruierte Familie der Schnitte vom Grad d + e von ℙ^{1} × ℙ^{N} über ℙ^{1}. Setzt man (a_{0} : b_{0}) in die Polynome

(∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}a^{d+e−k}b^{k})x_{l,m} − (∑_{n} ϕ_{l,m;n}^{∗}a^{d+e−n}b^{n})x_{i,j}

ein, die die Familie F definieren, so erhält man eine rationale Abbildung

\begin{aligned}s : & ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d + e))^{∨}) & → & (ℙ^{1} × ℙ^{N})_{(a_{0}:b_{0})} \\ & P & ↦ & \{(a_{0} : b_{0})\} × (…: ∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}(P)a_{0}^{d+e−k}b_{0}^{k} : …). \end{aligned}

s ist genau für die Punkte P ∈ ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d + e))^{∨}) nicht definiert, wo (a_{0} : b_{0}) gemeinsame Nullstelle der Polynome ∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}(P)a^{d+e−k}b^{k} ist. Sei nun P ein Fixpunkt der äquivarianten ℂ^{+}− bzw. ℂ_{λ}^{∗}− Operation auf dem Parameterraum ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d + e))^{∨}), sei σ der von P parametrisierte Schnitt vom Grad d′ ≤ d + e, und seien die (a_{i} : b_{i}) die gemeinsamen Nullstellen der Polynome ∑_{k} ϕ_{i,j;k}^{∗}(P)a^{d−k}b^{k}. Dann muß wegen der Äquivarianz auch die Faser bzgl. der Projektion p : F → ℙ(Hom(O^{N+1}, O(d + e))^{∨}),

p^{−1}(P) = σ(ℙ^{1}) ∪ ⋃_{i=1}^{d+e−d′}{(a_{i} : b_{i})} × ℙ^{N},

von den Gruppenoperationen stabilisiert werden. Das ist aber nur möglich, wenn die (a_{i} : b_{i}) Fixpunkte der äquivarianten ℂ^{+}− bzw. ℂ_{λ}^{∗}− Operation auf ℙ^{1} sind, also (a_{i} : b_{i}) = (1 : 0) oder (1 : λ). Da nach Voraussetzung a_{0}, b_{0} ≠ 0 und λ ≠ \frac{b_{0}}{a_{0}} , sind die Einschränkungen s_{0} := s_{|Z(w_{0})∩U} : Z(w_{0}) → ℙ(F)_{(a_{0}:b_{0})} und s_{λ} := s_{|Z(w_{λ})∩U} : Z(w_{λ}) → ℙ(F)_{(a_{0}:b_{0})} Morphismen; die Bedingung

σ(ℙ^{1}) ∩ F_{(a_{0}:b_{0})} = s_{0}([σ]) bzw. s_{λ}([σ])

folgt direkt aus der Konstruktion. Nach Abschnitt 4.2 sind die Verschwindungsorte Z(w_{0}) und Z(w_{λ}) ein linearer Unterraum von ℙ(Hom(F, O(d + e))^{∨}) bzw. eine disjunkte Vereinigung von linearen Unterräumen. Nach Konstruktion ist s ist eine lineare Abbildung in den projektiven Raum F_{(a_{0}:b_{0})}.

Die Bilder s_{0}(Z(w_{0})) und s_{∞}(Z(w_{λ})) müssen diesselbe Dimension wie Z(w_{0}) und Z(w_{λ}) haben, da durch einen Punkt Q ∈ F_{(a_{0}:b_{0})} genau ein ℂ^{+}−bzw. ℂ_{λ}^{∗}−stabiler Schnitt gehen kann: Die Orbitalkurven \overline{ℂ^{+}Q} bzw. \overline{ℂ_{λ}^{∗}Q}. Also sind s_{0} und s_{λ} Einbettungen. □

Sei von jetzt an d = 3, e = 1 und (a_{0} : b_{0}) = (1 : 1). Seien e_{0}, e_{1} und e_{2} eine Basis von Erzeugern im Grad 0, 0 und −1 von E := S ⊕ S ⊕ S(1), wobei S = ℂ[a, b]. Dann ist die duale Basis {f_{i,j}^{∗}} zu den f_{i,j} := e_{0}^{i−j}e_{1}^{j}e_{2}^{3−i}, 0 ≤ j ≤ i ≤ 3, eine Basis von Erzeugern im Grad −i von

F := (S^{3}E)^{∗} ⊗ S(3) = 4S(3) ⊕ 3S(2) ⊕ 2S(1) ⊕ S.

Vergarbung ergibt die O_{ℙ^{3}}− Modulgarben E = Ẽ = O ⊕ O ⊕ O(1) und F := F̃ = (S^{3}E)^{∗} ⊗ O(3). Sei weiter U = {b ≠ 0} ⊂ ℙ^{1} eine offene Teilmenge von Proj S ≅ ℙ^{1}. In der Notation von [Har77, II.2] ist also

U = Spec S_{(b)} = Spec ℂ[\frac{a}{b}] = Spec R ≅ 𝔸^{1}

mit ℂ[\frac{a}{b}] = R. Die e_{0}, e_{1}, be_{2} sind Erzeuger von E_{(b)} = S_{(b)} ⊕ S_{(b)} ⊕ S(1)_{(b)} ≅ R ⊕ R ⊕ R und induzieren Koordinaten y_{0}, y_{1}, y_{2} von

ℙ(E_{|U}) = Proj E_{(b)} ≅ Proj R^{3} = ℙ_{𝔸^{1}}^{3}.

Ebenso sind die b^{i}f_{ij}^{∗} Erzeuger von F_{(b)} = ((S^{3}E)^{∗} ⊗ S(3))_{(b)} ≅ (S^{3}R^{3})^{∗} und induzieren Koordinaten y_{ij} auf

ℙ(F_{|U}) = Proj F_{(b)} ≅ Proj (S^{3}R^{3})^{∗} = ℙ_{𝔸^{1}}^{9}.

In diesen Koordinaten parametrisiert ein Punkt

P = (a_{30} : a_{31} : …: a_{00}) ∈ ℙ(F)_{(1:1)} ≅ ℙ^{9}

die Kurve mit der Gleichung

a_{30}y_{0}^{3} + a_{31}y_{0}^{2}y_{1} + … + a_{00}y_{2}^{3} = 0

auf ℙ(E)_{(1:1)}.

Lemma 5.13. Die rationale Abbildung

s : ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) → F_{(1:1)}

aus Lemma 5.12 ist bzgl. der Koordinaten ψ_{i,j;k}^{∗} von ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) und y_{i,j} von F_{(1:1)} für einen Punkt P ∈ ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) gegeben durch

y_{i,j}(P) = ∑_{k} ψ_{i,j;k}^{∗}(P).

Beweis: Wie in Abschnitt 5.3.1 erläutert, ist der Schnitt ψ_{i,j;k} : ℙ^{1} → ℙ(F) vom Grad 4 gegeben durch das Tupel

(0 : …: a^{4−i−k}b^{k} : …: 0),

in dem alle Stellen bis auf die (i, j)− te 0 sind. Eingeschränkt auf U ⊂ ℙ^{1} ergibt sich der Schnitt

\begin{aligned}ψ_{i,j;k|U} : & 𝔸^{1} & → & ℙ(F_{|U}) ≅ ℙ_{𝔸^{1}}^{9} \\ & \frac{a}{b} & ↦ & (0 : …: (\frac{a}{b})^{4−i−k} : …: 0). \end{aligned}

Also läßt sich der Punkt P = ψ_{i,j;k}((1 : 1)) in den Koordinaten y_{i,j} schreiben als

P = (0 : …: 1 : …: 0),

woraus sofort die Behauptung folgt. □

Man kann nun mit den Ergebnissen aus den Abschnitten 1.6, 5.3.1 und 5.3.2 die Vektorfelder w_{0} und w_{∞} der äquivarianten ℂ^{+}− und ℂ_{∞}^{∗}− Operation auf ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) berechnen. Dazu beschreibe man als erstes die äquivariaten Vektorfelder v_{0} und v_{∞} auf ℙ(E): Nach Abschnitt 1.6 ist

v_{0} = v_{0}^{F} + v_{0}^{L}, v_{∞} = v_{∞}^{F} + v_{∞}^{L},

wobei v_{0}^{L}, v_{∞}^{L} die eindeutig bestimmten Liftungen der jeweiligen Vektorfelder auf der Basis ℙ^{1} sind, die die ausgezeichneten Schnitte von ℙ(E) = ℙ(O ⊕ O ⊕ O(1)) stabilisieren (vgl. Proposition 1.33), und v_{0}^{F} = v_{0} − v_{0}^{L}, v_{∞}^{F} = v_{∞} − v_{∞}^{L} ∈ H^{0}(T_{ℙ(E)/ℙ^{1}}) Vektorfelder tangential an die Fasern sind. Schreibt man Vektorfelder auf ℙ(E) ⊂ ℙ^{1} ×ℙ^{3} als Produkte von Vektorfeldern auf ℙ^{1} und ℙ^{3}, so zeigt der Beweis von Proposition 1.33:

v_{0}^{L} = ( \begin{matrix}0 \\ & 0 \\ & & 0 & 1 \\ & & 0 & 0 \end{matrix} ) , v_{∞}^{L} = ( \begin{matrix}0 \\ & 0 \\ & & 0 & 0 \\ & & 0 & 1 \end{matrix} )

und damit

v_{0}^{F} = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ & 0 & 1 \\ & & 0 & 0 \\ & & 0 & 0 \end{matrix} ) , v_{∞}^{F} = ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \\ & & 2 & 0 \\ & & 0 & 2 \end{matrix} ) .

Da H^{0}(T_{ℙ(E)/ℙ^{1}}) = Hom(E, E)/c · 1_{E}, lassen sich die v_{0}^{F}, v_{∞}^{F} auch auffassen als (Äquivalenzklassen von) Garbenhomomorphismen von E nach E. Wenn e_{0}, e_{1} und e_{2} wie oben die Erzeuger der drei Summanden von E = O ⊕ O ⊕ O(1) vom Grad 0, 0 und −1 sind, dann lassen sich die Endomorphismen bzgl. der Basis (e_{0}, e_{1}, e_{2}) schreiben als Matrizen

v_{0}^{F} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ & 0 & a \\ & & 0 \end{matrix} ) , v_{∞}^{F} = ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \\ & & 2 \end{matrix} ) .

Lemma 5.9 zeigt, wie man daraus die äquivarianten Vektorfelder u_{0}^{F}, u_{∞}^{F} auf ℙ((S^{3}E)^{∗}) berechnet, aufgefaßt als Garbenendomorphismen von (S^{3}E)^{∗} ⊗ O(3) bzgl. der Basis f_{i,j}^{∗}:

u_{0}^{F} = −(s^{3}v_{0}^{F})^{∗} mit s^{3}v_{0}^{F} = v_{0}^{F} ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ v_{0}^{F} + 1 ⊗ 1 ⊗ v_{0}^{F} .

98 KAPITEL 5. CARRELLS VERMUTUNG: BEISPIELE UND AUSBLICK In der Basis f_{i,j} läßt sich s^{3}v_{0}^{F} also darstellen als f_{i,j} = e_{0}^{i−j}e_{1}^{j}e_{2}^{3−i} ↦ (i − j)e_{0}^{i−j−1}e_{1}^{j+1}e_{2}^{3−i} + e_{0}^{i−j}aje_{1}^{j−1}e_{2}^{3−i+1} = (i − j)f_{i,j+1} + jaf_{i−1,j−1}. Die duale Abbildung (s^{3}v_{0}^{F})^{∗} wird dann in der dualen Basis f_{i,j}^{∗} gegeben durch

f_{i,j}^{∗} ↦ (i − j + 1)f_{i,j−1}^{∗} + a(j + 1)f_{i+1,j+1}^{∗}.

Als Matrix geschrieben:

u_{0}^{F} = −(s^{3}v_{0}^{F})^{∗} = − ( \begin{matrix}0 \\ 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2a & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3a & 0 & 1 & 0 \\ & & & & 0 & a & 0 & 0 \\ & & & & 0 & 0 & 2a & 1 & 0 \\ & & & & & & & 0 & a & 0 \end{matrix} )

Entsprechend erhält man für die ℂ^{∗}− Operation:

u_{∞}^{F} = −(s^{3}v_{∞}^{F})^{∗} = − ( \begin{matrix}0 \\ & 1 \\ & & 2 \\ & & & 3 \\ & & & & 2 \\ & & & & & 3 \\ & & & & & & 4 \\ & & & & & & & 4 \\ & & & & & & & & 5 \\ & & & & & & & & & 6 \end{matrix} )

also in Formeln:

f_{i,j}^{∗} ↦ −(j + 2(3 − i))f_{i,j}^{∗}.

Mit Lemma 5.7 ergeben sich daraus äquivariante Vektorfelder

w_{0}^{F} , w_{∞}^{F} ∈ H^{0}(T_{ℙ(Hom(F,O(4))^{∨})}),

aufgefaßt als Vektorraumendomorphismen von Hom(F, O(4))^{∨} zur Basis ψ_{i,j;k}^{∗}. Zuerst muß man dazu den Homomorphismus

Φ_{0} : Hom(F, O(4)) → Hom(F, O(4)), ψ ↦ ψ ∘ u_{0}^{F}

in der Basis {ψ_{i,j;k}} von Hom(F, O(4)) darstellen: ψ_{i,j;k} bildet f_{i,j}^{∗} ab auf a^{4−i−k}b^{k}, alle anderen f_{m,n}^{∗} auf 0. Dann ist ψ_{i,j;k} ∘ u_{0}^{F} : F → O(4) gegeben durch

f_{m,n}^{∗} ↦^{u_{0}^{F}} −(m − n + 1))f_{m,n−1}^{∗} − a(n + 1)f_{m+1,n+1}^{∗}
↦^{ψ_{i,j;k}} −δ_{m,n−1}^{i,j}(m − n + 1)a^{4−i−k}b^{k} − δ_{m+1,n+1}^{i,j}(n + 1)a^{4−i−k+1}b^{k},

also

Φ(ψ_{i,j;k}) = ψ_{i,j;k} ∘ u_{0}^{F} = −(i − j)ψ_{i,j+1;k} − jψ_{i+1,j+1;k}.

Die duale Abbildung Φ_{0}^{∗} : Hom(F, O(4))^{∨} → Hom(F, O(4))^{∨} ergibt das gesuchte Vektorfeld w_{0}^{F}. In Koordinaten ψ_{i,j;k}^{∗}:

ψ_{i,j;k}^{∗} ↦ −(i − j + 1)ψ_{i,j−1;k}^{∗} − (j + 1)ψ_{i+1,j+1;k}^{∗}.

Genauso erhält man, daß das Vektorfeld w_{∞}^{F} dem durch

ψ_{i,j;k}^{∗} ↦ −(j + 2(3 − i))ψ_{i,j;k}^{∗}

gegebenen Vektorraumendomorphismus Φ_{∞}^{∗} : Hom(F, O(4))^{∨} → Hom(F, O(4))^{∨} entspricht. Lemma 5.10 besagt schließlich, daß man die äquivarianten Vektorfelder w_{0}^{L}, w_{∞}^{L} wie in Lemma 5.8 berechnen kann. Aufgefaßt als (bis auf Vielfache der Identität eindeutig bestimmte) Endomorphismen des Vektorraums Hom(F, O(4))^{∨} lassen sie sich zur Basis ψ_{i,j;k}^{∗} beschreiben durch

w_{0}^{L}(ψ_{i,j;k}^{∗}) = −kψ_{i,j;k−1}^{∗}
w_{∞}^{L}(ψ_{i,j;k}^{∗}) = −kψ_{i,j;k}^{∗}.

Insgesamt kann man zusammenfassen:

Proposition 5.14. Die äquivarianten Vektorfelder w_{0} und w_{∞} auf dem Parameterraum ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) entsprechen Endomorphismen des Vektorraums Hom(F, O(4))^{∨}, die sich in der Basis ψ_{i,j;k}^{∗} darstellen lassen als

ψ_{i,j;k}^{∗} ↦ −(i − j + 1)ψ_{i,j−1;k}^{∗} − (j + 1)ψ_{i+1,j+1;k}^{∗} − kψ_{i,j;k−1}^{∗}

und

ψ_{i,j;k}^{∗} ↦ −(j + 2(3 − i) + k)ψ_{i,j;k}^{∗}.
□

Man kann nun den Nullstellenort von w_{0}, also den Kern des gerade beschriebenen Endomorphismus, ausrechnen: Es ist ein (projektiv) 4− dimensionaler linearer Unterraum des Parameterraums ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}), aufgespannt durch die Schnitte (dargestellt wie in Abschnitt 5.3.1):

s_{0} = (0 : 0 : 0 : b : −2b^{2} : −2ab : −a^{2} : 2a^{3} : 0 : 0)
s_{1} = (0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : b^{2} : 0 : −a^{2}b : a^{4})
s_{2} = (0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : −2ab^{2} : a^{3}b)
s_{3} = (0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : −3b^{3} : a^{2}b^{2})
s_{4} = (0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0 : b^{4})

Jetzt kann man das gewünschte Gegenbeispiel konstruieren:

Proposition 5.15. Der Schnitt

s = (0 : 0 : 0 : b : −2b^{2} : −2ab : −a^{2} : 2a^{3} : 0 : b^{4})

wird von der ℂ^{+}− Operation auf ℙ(F) stabilisiert. Sei weiter

P = s ∩ ℙ(F)_{(1:1)}.

Dann ist für allgemeines λ die Orbitalkurve \overline{ℂ_{λ}^{∗}P} ein Schnitt von ℙ(F) über ℙ^{1} vom Grad

deg \overline{ℂ_{λ}^{∗}P} > 4.

Beweis: Der von s parametrisierte Punkt in ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) liegt im Nullstellenort von w_{0}, da s auf der von s_{0} und s_{4} aufgespannten Geraden liegt. In den Koordinaten y_{i,j} von Lemma 5.13 ist

P = (0 : 0 : 0 : 1 : −2 : −2 : −1 : 2 : 0 : 1).

Um weiter zu zeigen, daß \overline{ℂ_{λ}^{∗}P} für allgemeine λ ein Schnitt vom Grad > 4 ist, genügt es zu zeigen, daß

deg \overline{ℂ_{∞}^{∗}P} > 4.

Denn für spezielle λ kann der Grad nur kleiner werden (vgl. Proposition 4.26). Alle von w_{∞} stabilisierten Schnitte vom Grad ≤ 4 werden aber (eventuell mit zusätzlichen Komponenten in den Fasern über (1 : 0) und (0 : 1)) vom Nullstellenort Z(w_{0}) ⊂ ℙ(Hom(F, O(4))^{∨}) parametrisiert. Gesucht ist also ein Eigenvektor des w_{0} beschreibenden Endomorphismus, der durch die Projektion in Lemma 5.13 auf P abgebildet wird. Aus y_{0,0}(P) ≠ 0 folgt nun, daß der Eigenvektor zu den Eigenwerten 6, 7, 8, 9, 10 gehören muß. Aus y_{3,3}(P) ≠ 0 folgt, daß der Eigenvektor zu den Eigenwerten 3 oder 4 gehören muß – Widerspruch ! □

Gibt es nun trotzdem eine flache Familie ℭ ⊂ ℙ(F) × 𝔸^{1} mit C_{0} = s(ℙ^{1}), so daß C_{λ} stabil unter der ℂ_{λ}^{∗}− Operation ist ? Um diese Frage zu beantworten, zeigt man

Lemma 5.16. Sei σ : P B(2) × ℙ^{N} → ℙ^{N} eine P B(2)− Operation auf ℙ^{N}, die induzierte ℂ^{+}− Operation sei σ_{0}, die induzierte ℂ_{λ}^{∗}− Operation sei σ_{λ} (vgl. Abschnitt 4.3). Seien F^{+} und F_{λ}^{∗} die jeweiligen Fixpunktmengen. Wenn

dim F^{+} ≤ dim F_{λ}^{∗},

dann gibt es zu jedem Punkt P ∈ F^{+} einen Morphismus ϕ : 𝔸^{1} → ℙ^{N} mit ϕ(0) = P und ϕ(λ) ∈ F_{λ}^{∗}.

Beweis: Man betrachte die ℂ^{∗}− Operation auf (𝔸^{1} − {0}) × ℙ^{N}, die in der Faser {λ} × ℙ^{N} mit der ℂ_{λ}^{∗}− Operation σ_{λ} übereinstimmt. Sei \overline{F^{∗}} ⊂ 𝔸^{1} × ℙ^{N} der Abschluß der Fixpunktmenge dieser ℂ^{∗}− Operation. Für die Nullfaser (\overline{F^{∗}})_{0} gilt:

• dim(\overline{F^{∗}})_{0} ≥ dim(\overline{F^{∗}})_{λ} = dim F_{λ}^{∗} für allgemeines λ, da dim(\overline{F^{∗}})_{0} eine spezielle Faser der Familie \overline{F^{∗}} ist.

• (\overline{F^{∗}})_{0} ⊂ F^{+}, da die σ_{λ} die ℂ^{+}− Operation deformieren (vgl. Definition 4.11).

Da F^{+} ⊂ ℙ^{N} ein linearer Unterraum, also irreduzibel ist, folgt aus der Voraussetzung dim F^{+} ≤ dim F_{λ}^{∗} sofort

(\overline{F^{∗}})_{0} = F^{+}.

Die Existenz eines Morphismus ϕ mit den gewünschten Eigenschaften ist dann klar. □

Man muß also zeigen:

dim Z(w_{0}) ≤ dim Z(w_{λ}) = dim Z(w_{∞}).

Weiter oben wurde schon gesagt, daß dim Z(w_{0}) = 4 ist, und ein einfaches Zählen der Eigenwerte des w_{∞} beschreibenden Endomorphismus zeigt: Der Eigenraum zum Eigenwert 4 hat ebenfalls die unter allen Eigenräumen maximale (projektive) Dimension 4. Die gesuchte Familie ℭ ⊂ ℙ(F)×𝔸^{1} existiert also. Es ist aber nicht klar, ob die induzierte flache Familie 𝔛 ⊂ ℙ^{3} × 𝔸^{1} birationale Fasern hat. Dazu muß man zeigen, daß die Schnittpunkte P_{λ} := C_{λ} ∩ ℙ(F)_{(1:1)} und P = P_{0} := C_{0} ∩ ℙ(F)_{(1:1)} zueinander birationale Kurven Y_{λ} vom Grad 3 in ℙ(E)_{(1:1)} parametrisieren (vgl. den Beweis von Proposition 4.25). Nun gilt:

Lemma 5.17. Y_{0} ⊂ ℙ(E)_{(1:1)} ≅ ℙ^{2} ist eine glatte elliptische Kurve.

Beweis: Da Y_{λ} nach Konstruktion vom Grad 3 ist, muß nur die Glattheit gezeigt werden. Wie vor Lemma 5.13 bemerkt, parametrisiert der Punkt

P = (0 : 0 : 0 : 1 : −2 : −2 : −1 : 2 : 0 : 1) ∈ F_{(1:1)},

die Kurve mit der Gleichung

y_{1}^{3} − 2y_{0}^{2}y_{2} − 2y_{0}y_{1}y_{2} − y_{1}^{2}y_{2} + 2y_{0}y_{2}^{2} + y_{2}^{3} = 0.

Setzt man y_{2} = 1, erhält man die Gleichung

y_{1}^{3} − y_{1}^{2} + 1 = 2y_{0}^{2} + 2y_{0}y_{1} − 2y_{0}.

Die Substitution y′_{0} = y_{0} + \frac{1}{2}(y_{1} − 1) führt zu

y_{1}^{3} − \frac{1}{2}y_{1}^{2} − y_{1} + \frac{3}{2} = 2y_{0}^{′2}.

Die Glattheit der Kurve folgt, wenn die kubische Gleichung in y_{1} auf der linken Seite eine Diskriminante D ≠ 0 hat. Bringt man die kubische Gleichung durch die Substitution y_{1} = y′_{1} + \frac{1}{6} auf die reduzierte Form

y_{1}^{′3} − \frac{13}{12}y′_{1} + \frac{143}{108},

so ist tatsächlich

D = 27 · (\frac{143}{108})^{2} − 4 · (\frac{13}{12})^{3} ≠ 0.

□

Da lim_{λ→0} P_{λ} = P_{0} und in einer offenen Umgebung von P_{0} ∈ ℙ(E)_{(1:1)} ebenfalls glatte elliptische Kurven parametrisiert werden, sind auch fast alle Y_{λ} glatt und elliptisch, also birational zu Y_{0}.

5.4 Ausblick

Wie folgt man nun der Strategie aus 4.4 zusammen mit dem Kriterium aus 4.5 weiter, um Fortschritte bei Carrells Vermutung zu erzielen ? Das Beispiel aus 5.2 zeigt, daß man zuerst einmal die möglichen äquivarianten Einbettungen einer glatten Varietät X mit einer ℂ^{+}− Operation mit isoliertem Fixpunkt in einen ℙ^{N} genauer beschreiben muß. Es bietet sich z.B. an, die Einbettung näher zu betrachten, die durch einen durch die ℂ^{+}− Operation natürlich gegebenen amplen Divisor D ⊂ X induziert wird: Sei

i : X ↪ ℙ^{N}

irgendeine nicht degenerierte äquivariante Einbettung. Da i nicht degeneriert ist, hat die äquivariante ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} nach Lemma 4.7 einen eindeutig bestimmten maximalen Jordanblock, und damit gibt es eine eindeutig bestimmte ℂ^{+}− stabile Hyperebene H mit X ⊄ H. Die Überlegungen aus Lemma 4.4 zeigen weiter, daß die Orbitalkurven von Punkten P ∈ X − H einen größeren Grad in ℙ^{N} haben als Orbitalkurven von Punkten Q ∈ X ∩ H. In der Familie RatCurv^{n}(X) der rationalen Kurven auf X (vgl [Kol96, II.2.11]) werden die Orbitalkurven \overline{ℂ^{+}P} also in einer anderen Zusammenhangskomponente parametrisiert als die Orbitalkurven \overline{ℂ^{+}Q}. Damit kann man diese Orbitalkurven \overline{ℂ^{+}Q} auch unabhängig von der oben gewählten Einbettung i definieren, und der ample Divisor D ⊂ X ∩ H ist intrinsisch gegeben durch

D = \overline{⋃_{Q} ℂ^{+}Q}.

Mit den Methoden aus 5.3 kann man nun weitere Beispiele rechnen:

• ℂ^{+}− stabile Hyperflächen X ⊂ ℙ^{3}, so daß Y = X ∩ {x_{2} = 0} einen beliebigen Grad hat. (Die ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{3} bestehe weiterhin aus einem Jordanblock.)

• ℂ^{+}− stabile Hyperflächen X ⊂ ℙ^{N}, wobei die ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} wieder aus einem Jordanblock bestehe.

• ℂ^{+}− stabile Varietäten X ⊂ ℙ^{N} beliebiger Kodimension, wobei die ℂ^{+}− Operation auf ℙ^{N} weiterhin aus einem Jordanblock bestehe.

Schon bei den Hyperflächen in ℙ^{N} stößt man dabei auf eine Schwierigkeit, die in Abschnitt 5.3 noch nicht aufgetaucht ist: Aus der Existenz einer flachen Deformation 𝔛 der Hyperfläche X in ℂ_{λ}^{∗}− stabile Hyperflächen X_{λ} folgt nicht mehr so einfach die Existenz einer flachen Deformation in birationale Hyperflächen. Denn (glatte) Hyperebenenschnitte

Y_{λ} = X_{λ} ∩ {x_{N−1} = 0}

müssen für dim Y_{λ} > 1 nicht mehr birational zueinander sein (vgl. das Ende von Abschnitt 5.3.3). An dieser Stelle führt man den Morphismus

φ : 𝔸^{1} → P GL(N)

aus Proposition 4.25 wieder ein: Sei ℙ̃^{N} → ℙ^{N} die Aufblasung von ℙ^{N} im linearen Unterraum L = {x_{N−1} = x_{N} = 0}, also

ℙ̃^{N} ≅ ℙ_{ℙ^{1}}(E) = ℙ((N − 1)O_{ℙ^{1}} ⊕ O_{ℙ^{1}}(1)).

Sei G ⊂ P GL(N + 1) die Untergruppe der Automorphismengruppe von ℙ^{N}, die den linearen Unterraum L ⊂ ℙ^{N} stabilisiert. G operiert äquivariant auf ℙ̃^{N} ≅ ℙ_{ℙ^{1}}(E) und ebenso auf Hilb_{P_{d}}(ℙ(E)/ℙ^{1}) ≅ ℙ_{ℙ^{1}}((S^{d}E)^{∗}), dem Hilbertschema der Hyperflächen vom Grad d in den Fasern von ℙ(E)/ℙ^{1} (vgl. 5.3.2).

Lemma 5.18. Sei p ∈ Hilb_{P_{d}}(ℙ(E)/ℙ^{1}). Der Orbit Gp ⊂ Hilb_{P_{d}}(ℙ(E)/ℙ^{1}) ist ein Bündel glatter quasi-projektiver isomorpher Varietäten über ℙ^{1}. Die Automorphismengruppe der Faser ist die Untergruppe H ⊂ P GL(N), die eine Hyperebene von ℙ^{N−1} stabilisiert. Anders ausgedrückt: Gp ist ein Faserbündel zu einem Prinzipalbündel der Gruppe H ⊂ P GL(N) über ℙ^{1} (vgl. [Hus66, Ch.4]).

Beweis: Die Operation von G auf ℙ(E) induziert eine äquivariante Operation auf ℙ^{1}. Wenn H ⊂ G einen Punkt auf ℙ^{1} fixiert, stabilisiert H eine Faser F ≅ ℙ^{N−1} von ℙ(E). Da G mit L auch das Urbild π^{−1}(L) der Aufblasung π : ℙ(E) = ℙ̃^{N} → ℙ^{N} stabilisiert, stabilisiert H den Schnitt F ∩π^{−1}(L), eine Hyperebene in F ≅ ℙ^{N−1}. Aus der Transitivität der Operation von G auf ℙ^{1} folgt der Rest der Behauptung. □

Die Familie ℭ_{[Y],ϕ} aus 4.5 ist also eine Untervarietät von \overline{G[Y]} ⊂ Hilb_{P_{d}}(ℙ(E)/ℙ^{1})×𝔸^{1}, und man muß nur Familien aus Orbitalkurven C_{λ} in diesen (Abschlüssen von) Faserbündeln betrachten, wenn man wie in Abschnitt 4.5 flache Deformationen 𝔛 von X mit birationalen Fasern konstruieren will. Dasselbe gilt aber für Untervarietäten X mit beliebiger Kodimension: Wenn X das Hilbertpolynom P_{X} hat, dann ist

Hilb_{P_{X}}(ℙ(E)/ℙ^{1}) ⊂ ℙ(⋀^{k}(S^{d}E)^{∗})

für irgendwelche Zahlen k, d > 0 (vgl [Kol96, I.1.8]). Wieder operiert G auf ℙ(⋀^{k}(S^{d}E)^{∗}), und die Orbiten Gp sind Faserbündel zu einem Prinzipalbündel der Untergruppe H ⊂ G über ℙ^{1}.

104 KAPITEL 5. CARRELLS VERMUTUNG: BEISPIELE UND AUSBLICK

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