Danksagungen

Das Thema dieser Diplomarbeit wurde mir von Prof. Dr. F.-O. Schreyer vorgeschlagen, der dann auch mit großer Geduld und so ausführlich wie von mir gewünscht alle meine Fragen beantwortete. Für diesen Aufwand bedanke ich mich ganz herzlich. Ein großes Danke schön! auch an meine Komilitonen, mit denen ich immer über meine Schwierigkeiten und meine Lösungsansätze diskutieren konnte und die mir so das Gefühl gaben, nicht allein mit der Mathematik zu sein. Besonders hervorheben möchte ich Eric T. Henn, der immer bereit stand, meine oft sehr trivialen Probleme mit dem Macintosh Powerbook zu lösen, und Martin Cremer, mit dem ich die Arbeit in Druck legte. Schließlich geht mein Dank an meine Frau Christiane, die erleben mußte, wie sehr und wie lange ich von ein paar gedruckten Seiten in Beschlag genommen werden kann und trotzdem alles tat, um mir die Fertigstellung zu ermöglichen

T.E.

Bayreuth, September 1995 ii

Inhaltsverzeichnis

Danksagungen i

0 Einleitung 1

1 Die Konstruktion der Enriques-Fläche 5 1.1 Die Fläche mit d = 9 und π = 6 im P_{4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Der Adjunktionsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kurven vom Geschlecht 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Infinitesimale Deformationen 17 2.1 Definition und Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tangentialräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Algorithmen 27 3.1 Der Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Die Grassmannsche G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2))) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Der Übergang zum Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Die Aktion von P GL(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Die Liftung durch die Auflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6 Die Liftung durch den Morphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7 Isomorphien zwischen den Deformationen von X′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.8 Das Hauptprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.9 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 iv

Kapitel 0

Einleitung

Der Weg ist das Ziel I Ging

In [4] stellen die Autoren verschiedene Konstruktionen von Flächen im P_{4} mit Hilfe von Syzygien vor, darunter die folgende: Man nehme 12 genügend allgemeine Quadriken

J = (q_{1}, …, q_{12}) ⊂ S = k[x_{0}, …, x_{4}]

und löse

M ≅ S/J

auf:

0 ← M ← S
↖
12S(−2) ← 25S(−3)  15S(−4)
↖ ⊕ ↖
6S(−5)  10S(−6) ← 3S(−7)

Man betrachte weiter die durch die 25 × 15- Untermatrix der 3. Matrix in der Auflösung gegebene Abbildung:

ker(25S(−3) ← 15S(−4)) = S(−9)

Dualisiert und geeignet getwisted ergibt sich die Idealgarbe einer glatten Fläche X im P_{4} mit folgender Auflösung:

J_{X}
↖
15O(−5) ← 25O(−6) ← 12O(−7)
↖
O(−9) ← 0

Ein minimales Modell X′ der Fläche X erhält man durch Abbildung von X in P_{5} mit dem Linearsystem

|H + K|, das der 6 × 10-Untermatrix der 4. Matrix in der Auflösung entspricht. X →^{|H+K|} X′ bläst

genau eine exzeptionelle Kurve nieder, und ein weiterer Morphismus X′ →^{|H′+K′|} X′′ führt zu einer isomorphen Fläche X′′ ⊂ P_{5}, auf der es einen Punkt p ∈ X′′ gibt, so daß X durch Projektion von p aus X′′ hervorgeht. X′ ist nach bekannten Sätzen eine Enriques-Fläche vom Grad 10 im P_{5}. Näheres zu dieser Konstruktion findet sich in Kapitel 1.

Was ist nun so interessant an dieser Konstruktion? Zu jedem 12-Tupel von linear unabhängigen Quadriken im P_{4} lassen sich drei linear unabhängige Quadriken im Dualraum P_{4}^{∗} finden vermöge des natürlichen Isomorphismus zwischen den Grassmannschen

G(12, H^{0}(P_{4}, O_{P_{4}}(2))) ≅ G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, OP_{4}^{∗}(2)))

Auf einem Zariski-offenen Teil der Grassmannschen G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, OP_{4}^{∗}(2))) bilden die 3 zugehörigen Quadriken aber einen glatten vollständigen Durchschnitt, also eine glatte Kurve vom Geschlecht 5 und Grad 8. G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, OP_{4}^{∗}(2)))^{∘} ist eine Zariski-offene Teilmenge des Hilbertschemas Hilb_{8t+1−5}(P_{4}^{∗}) aller Kurven vom Grad 8 und Geschlecht 5. Die Automorphismengruppe PGL(4) des P_{4} operiert auf natürliche Weise auf diesem Raum, und nimmt man auf einer eventuell kleineren Zariski-offenen Teilmenge den Quotienten, so erhält man einen 12-dimensionalen Zariski-offenen Teil M_{5}^{∘} des Modulraums M_{5} der Kurven vom Geschlecht 5. Wenn ein Modulraum M_{E} der Enriques-Flächen vom Grad 10 im P_{5} (Fano-polarisierte Enriques-Flächen) existiert (vgl. dazu [2]), dann ist er 10-dimensional (s. 2.1). Da die Enriques-Flächen vom Grad 9 im P_{4} durch Projektion von einem Punkt aus den Enriques-Flächen vom Grad 10 im P_{5} entstehen, wird durch die Konstruktion eine surjektive Abbildung

M_{5}^{∘} → M_{E}^{∘}

gegeben.

Man erhält nun diese Abbildung zwischen Zariski-offenen Teilmengen der Modulräume der Kurven vom Geschlecht 5 und Enriques-Flächen vom Grad 10 durch eine sehr algebraische Berechnung. Natürlich wäre es interessant, eine geometrischere Konstruktion zu finden, die dann vielleicht auch eine andere überraschende Beobachtung besser verstehen läßt: Zu jeder Enriques-Fläche vom Grad 9 im P_{4} gehört die exzeptionelle Gerade, die von dem vom Linearsystem |H + K| induzierten Morphismus niedergeblasen wird. Im Dualraum P_{4}^{∗} entspricht dieser Geraden ein P_{2}. Also gehört zu jeder Kurve vom Geschlecht 5 ein durch die Konstruktion eindeutig bestimmter P_{2}, der in der bisherigen Literatur nicht auftaucht. Wie kann man ihn deuten?

Diese Arbeit versucht, als ersten Schritt zur Lösung dieser Probleme, die Abbildung zwischen den Modulräumen auf der Ebene der Tangentialräume zu analysieren, d.h. das Verhalten infinitesimaler Deformationen während der Konstruktion zu betrachten. Ziel ist zunächst, eine Basis für den zweidimensionalen Raum der nichtisomorphen infinitesimalen Deformationen einer Kurve vom Geschlecht 5 zu finden, die vermöge der Konstruktion auf die triviale infinitesimale Deformation der zugehörigen minimalen Enriques-Fläche abgebildet werden.

Dazu werden in Kapitel 2 alle nötigen Sätze und Definitionen aus der Theorie der infinitesimalen Deformationen bereitgestellt. Da beides in [9] nur als Aufgabe gestellt wird, wird zuerst bewiesen, daß sich infinitesimale Deformationen eines abgeschlossenen Unterschemas in P_{n} durch die globalen Schnitte des Normalenbündels von X in P_{n}, H^{0}(X, N_{X/P_{n}}), klassifizieren lassen, während H^{1}(X, T_{X}) für nichtsinguläres X alle nichtisomorphen infinitesimalen Deformationen beschreibt. Als nächstes wird (für nichtsinguläres X) die Abbildung

H^{0}(X, N_{X/P_{n}}) → H^{1}(X, T_{X})

aus der langen exakten Sequenz zur kurzen exakten Sequenz

0 → T_{X} → T_{X} ⊗ O_{P_{n}} → N_{X/P_{n}} → 0

näher betrachtet. Schließlich wird der Zusammenhang zwischen Tangentialräumen an Hilbertschemata bzw. Modulräume und infinitesimalen Deformationen erklärt und für die betrachteten Enriques-Flächen

H^{1}(X, T_{X}) = 10

bewiesen.

In Kapitel 3 werden diese Techniken dann auf die Konstruktion der Enriques-Fläche aus der Kurve angewandt. Auch die Identifikationen, die bei Übergangen zum Dualraum auftreten, werden behandelt. Es werden Hinweise auf die Realisation in Macaulay gegeben und die benutzten Skripts vorgestellt. (Zum Computeralgebra-System Macaulay allgemein siehe übrigens [12]). Die Konstruktion selbst haben die Autoren von [4] via anonymous ftp auf ftp.math.uni-sb.de (Internet 134.96.32.23) im lokalen Verzeichnis pub/surfaces verfügbar gemacht. zur Kurve vom Geschlecht 5 im Dualraum untersucht.

Zur Notation: Die Arbeit lehnt sich an die in [9] und [4] gebrauchte an. Wenn X etwa eine (glatte) Fläche im P_{4} ist, dann ist

H ihre Hyperebenenklasse, Einleitung 3

d = H^{2} ihr Grad, K ihr kanonischer Divisor und π = \frac{1}{2}H.(H + K) + 1 ihr Schnittgeschlecht. Ausführlichere Erklärungen zu Begriffen wie Divisoren, vollständige lineare Systeme, invertierbare Garben, Differentiale, Aufblasungen, Hilbertpolynome etc. finden sich meist im Umfeld der zitierten Sätze oder in explizit gegebenen Literaturverweisen. Der zugrundeliegende Körper k ist immer der Körper der komplexen Zahlen C.

4 Einleitung

Die Konstruktion der Enriques-Fläche

1.1 Die Fläche mit d = 9 und π = 6 im P_{4}

Wenn man 12 linear unabhängige Quadriken, die

J = (q_{1}, …, q_{12}) ⊂ S = k[x_{0}, …, x_{4}]

erzeugen, genügend allgemein wählt, dann ergibt sich für

M ≅ S/J

folgende Auflösung:

0 ← M ← S
↖
12S(−2) ← 25S(−3)  15S(−4)
↖ ⊕ ↖
6S(−5)  10S(−6) ← 3S(−7)

Aus der Auflösung von M ergibt sich das Hilbertpolynom und daraus, daß M Dimension 0 hat, also ein graduierter k-Modul endlicher Länge ist. Auch Twists ändern daran nichts.

Theorem 1.1 Die Exaktheit eines Komplexes von freien Moduln über einem Ring R

F : 0 → F_{n} →^{φ_{n}} F_{n−1} → ⋯ → F_{1} →^{φ_{1}} F_{0}

ist äquivalent zu rkF_{k} = rkφ_{k} + rkφ_{k+1} (1.1)

und depthI(φ_{k}) ≥ k (1.2)

für k = 1, …,n. I(φ_{k}) ist dabei das Bild des Homomorphismus

⋀^{j} F_{k+1} ⊗ ⋀^{j} F_{k}^{∗} → R,

der von ⋀^{j} φ_{k} : ⋀^{j} F_{k+1} → ⋀^{j} F_{k} induziert wird, mit j = rkφ_{k}. Wenn man Basen für F und G wählt, dann kann φ_{k} als Matrix dargestellt werden, und I(φ_{k}) wird von den jxj-Minoren dieser Matrix erzeugt (vgl. [5, 20.2]).

Beweis: S. [5, 20.9].

Betrachtet man den exakten Komplex, den die freie Auflösung von M bildet, so ist φ_{1} vom Rang 1 und I(φ_{1}) folglich das von den 12 Quadriken q_{1}, …, q_{12} aufgespannte Ideal J. Da M = S/J von endlicher Länge ist, muß codim I = 5 sein, also, da S = k[x_{0}, …, x_{4}] ein Cohen-Macaulay-Ring ist, depthI(φ_{1}) = 5 (s. [5, 18.7]). Nach [5, 20.12] kann die Tiefe der Ideale I(φ_{k}) in einem exakten Komplex mit größer werdendem k nicht kleiner werden. 5 ist aber die maximale Tiefe eines Ideals in S, also gilt für die Auflösung von M

depth I(φ_{k}) = 5, k = 1, …, 5

Dualisiert man den Komplex F und schreibt −^{∗} für Hom_{R}(−, R), so erhält man wegen

φ_{k+1}^{∗}φ_{k}^{∗} = (φ_{k}φ_{k+1})^{∗} = 0

wieder einen Komplex

F^{∗} : 0 → F_{0}^{∗} →^{φ_{1}^{∗}} F_{1}^{∗} → ⋯ → F_{n−1}^{∗} →^{φ_{n}^{∗}} F_{n}.

Da rkF_{k} = rkF_{k}^{∗} und rkφ_{k} = rkφ_{k}^{∗}, ist Bedingung (1) des obigen Kriteriums offensichtlich erfüllt. Weiter ist I(φ_{k}) = I(φ_{k}^{∗}), da die jxj- Minoren der Matrixdarstellungen von φ_{k} und φ_{k}^{∗} dieselben sind. Also ist auch die Tiefe gleich.

Weil die Tiefe aller dieser Ideale immer 5 ist, erfüllt die dualisierte Auflösung von M auch Bedingung (2), ist so exakt und (mit Twists) die Auflösung eines graduierten S-Moduls N:

0 ← N ← 3S(2) ← 10S(1)  6S
↖ ⊕ ↖
15S(−1)  25S(−2) ← 12S(−3)
↖
S(−5)

Aus der Dualitätstheorie für Moduln ([5, Ch. 21]) folgt:

N = Ext_{S}^{5}(M(5), S(−5)) = Hom_{k}(M(5), k),

also ist auch N ein k-Modul endlicher Länge.

Man betrachte nun die 1. und die 2. Abbildung in der obigen Auflösung:

0 ← N ← 3S(2) ←^{ψ} 10S(1)  6S
↖^{φ}  ⊕
15S(−1)

Sei

F = imφ = kerψ ⊂ 10S(1).

Es gibt also folgende exakte Sequenz:

0 → F → 10S(1) →^{ψ} 3S(2) → N → 0.

Die Vergarbung dieser Sequenz führt zu einer kurzen exakten Sequenz von kohärenten P_{4}- Moduln

0 → F → 10O(1) → 3O(2) → 0

da die Vergarbung des endlichen k-Moduls N 0 ergibt. Da die letzten beiden Garben dieser kurzen exakten Sequenz lokal frei sind, ist es auch F, und zwar vom Rang 7.

Man betrachte nun die sich aus der 2.Abbildung der Auflösung ergebende Abbildung zwischen freien Garben auf dem P_{4},

φ : 6O → F

Die algebraische Menge

V (φ) = V (I_{6}(φ) = {p ∈ P_{4}|rkφ(p) < 6}

Fläche mit d = 9, π = 6 7

hat höchstens Kodimension 2. Man kann berechnen, daß sie im vorliegenden Fall, bei genügend allgemein gewählten Quadriken, genau Kodimension 2 hat, und dann ist diese Fläche X = V (φ) lokal Cohen-Macaulay (vgl. hierzu [1, II]). Nach [5, Corollary 18.11] sind alle lokalen Ringe von X äquidimensional; da sie außerdem für alle p ∈ X zweidimensional sind, sind auch alle minimalen Primideale von S_{X} = S/I_{X} zweidimensional. Wie oben festgestellt, ist der Schnitt der zum Jacobi-Ideal von I_{X} gehörigen algebraischen Menge mit X leer, also folgt zusammen mit der ersten Überlegung aus dem Jacobi-Kriterium ([5, 16.20]), daß die lokalen Ringe reguläre lokale Ringe und damit nach ([5, Corollary 10.14]) Integritätsringe sind. Zusammenfassend: X ist reduziert und die Vereinigung von zweidimensionalen Varietäten, die sich nicht schneiden dürfen. Wegen 2 + 2 − 4 ≥ 0 müssen sich aber wegen des Theorems über die projektive Dimension ([9, I.7.2]) zwei Flächen im P_{4} schneiden. Also ist X eine irreduzible glatte Fläche.

Man lokalisiere φ nun in einem Punkt p ∈ P_{4}:

G →^{φ_{p}} F

wobei G ≅ R^{6}, F ≅ R^{7} und R der lokale Ring in p sei, und konstruiere zur Abbildung

φ_{p}^{∗} : F^{∗} → G^{∗}.

den Eagon-Northcott-Komplex.

Näheres zum Eagon-Northcott-Komplex findet man in [5, A2.6.1]. Zu einem Homomorphismus φ : F → G, F frei vom Rang f, G frei vom Rang g über einem Ring R, f ≥ g, hat er folgende Form:

\begin{aligned}C^{0} : & 0 ⟶ D_{f−g}G^{∗} ⊗ ⋀^{f} F →^{δ} D_{f−g−1}G^{∗} ⊗ ⋀^{f−1} F →^{δ} ⋯ \\ & ⋯ →^{δ} D_{1}G^{∗} ⊗ ⋀^{g+1} F →^{δ} D_{0}G^{∗} ⊗ ⋀^{g} F = ⋀^{g} F →^{ϵ} ⋀^{0} F. \end{aligned}

Dabei besteht

D_{d}G^{∗} = (S_{d}G)^{∗}

aus den Elementen vom Grad d der zur symmetrischen Algebra S(G) dualen Algebra der teilbaren Potenzen von G^{∗}, D(G^{∗}) (vgl. [5, A2.4]). Die Abbildung δ ist zur Abbildung

∂ : S_{d−i}G ⊗ ⋀^{i} F → S_{d−i−1}G ⊗ ⋀^{i−1} F

dual über die Identifikation ⋀^{i} F^{∗} ≅ ⋀^{f−i} F. (Diese ganzen Identifikationen sind möglich, da F und G frei sind und man deswegen freie Erzeuger wählen kann.) ∂ bildet ein Element m ⊗ f ∈ S_{d−i}G ⊗ ⋀^{i} F auf das Element ∑_{i} x_{i}m ⊗ φ^{∗}(x̂_{i})(f) ∈ S_{d−i−1}G ⊗ ⋀^{i−1} F ab, wobei {x̂_{i}} die duale Basis von G^{∗} zu einer Basis {x_{i}} von G sei und folglich φ^{∗}(x̂_{i}) ∈ F^{∗} auf ⋀ F operiert. Die Abbildung ϵ kann identifiziert werden mit der Komposition

⋀^{g} F \underrightarrow{⋀^{g} φ} ⋀^{g} G ≅^{γ} R,

γ ein Erzeuger von ⋀^{g} G. Man sieht, daß das Bild von ϵ das oben eingeführte Ideal der gxg-Minoren von φ, I_{g}(φ), ist. Daß der Eagon-Northcott-Komplex wirklich ein Komplex ist, muß erst bewiesen werden ([5, A2.10.a.]).

Im vorliegenden Fall hat der Komplex die Gestalt

0 → D_{1}(G^{∗})^{∗} ⊗ ⋀^{7} F^{∗} →^{δ} ⋀^{6} F^{∗} →^{ϵ} R

Weiter gilt, daß D_{1}(G^{∗})^{∗} ≅ ((S_{1}G)^{∗})^{∗} ≅ (G^{∗})^{∗} ≅ G, ⋀^{7} F^{∗} ≅ R und ⋀^{6} F^{∗} ≅ F. δ dualisiert

∂ : F^{∗} ≅ S_{0}G^{∗} ⊗ ⋀^{1} F^{∗} → S_{1}G^{∗} ⊗ ⋀^{0} F^{∗} ≅ G^{∗}.

Wenn {x_{i}} eine Basis von G ist und {x̂_{i}} die duale Basis von G^{∗}, dann bildet ∂ ein Element f^{∗} ∈ F^{∗} auf ∑_{i} x̂_{i}φ(x_{i})(f^{∗}) = φ^{∗}(f^{∗}) ∈ G^{∗} ab. Also hat der Komplex die Gestalt

0 → G →^{φ} F →^{ϵ} R (1.3)

Da I_{6}(φ_{p}) entweder R ist oder Tiefe 2 hat, folgt nach [5, Theorem A2.10.c], daß der Eagon-Northcott-Komplex exakt ist. Für die Garben über P_{4} ergibt sich so, daß der Komplex

0 → 6O → F → ⋀^{6} 6O^{∗} ⊗ ⋀^{7} F = ⋀^{7} F (1.4)

exakt ist. Mit Hilfe von Chern-Klassen zeigt man, daß

⋀^{7} F ≅ O(4)

ist: Man weiß, daß das Chern-Polynom von ⋀^{7} F gleich 1 + c_{1}(F)t ist, und aus der kurzen exakten Sequenz 0 → F → 10O(1) → 3O(2) → 0 berechnet man den Grad von c_{1}(F) als 16. Da man Garben im P_{4} betrachtet, ist nur c_{1}(F) ≅ O(4) möglich. (Zum Formalismus der Chern-Klassen allgemein und zu den verwendeten Formeln s. [9, Anhang A].)

Insgesamt identifiziert dieser Komplex cokerφ mit der getwisteten Idealgarbe I_{X}(4) der Fläche X. Die Komposition

15O(−1) → F → I_{X}(4)

muß nun surjektiv sein, da F als Bild der Abbildung 15O(−1) ⊕ 6O → 10O(1) definiert ist. Das Ideal I_{X} der Fläche X wird also durch 15 Quintiken gegeben. S/I_{X} besitzt folgende Auflösung:

0 ← S/I_{X} ← S
↖
15S(−5) ← 25S(−6) ← 12S(−7)
↖
S(−9) ← 0

Mit Hilfe der Syzygien kann man nun das Hilbertpolynom berechnen (vgl. z.B. [5, Ch. 1]) und daraus folgern, daß X eine Fläche vom Grad 9 und Schnittgeschlecht 6 ist (vgl. zu diesen Begriffen weiter unten Proposition 1.2).

1.2 Der Adjunktionsprozeß

Ziel dieses Abschnitts ist es, die nichtsinguläre projektive Fläche X in die Enriques-Kodaira-Klassifika-tion einzuordnen. Ausführlich beschrieben ist dieser Themenkreis z.B. in [15]; eine kurze Einführung findet sich in [9].

Klassifiziert werden minimale Modelle.

Definition 1.1 Eine nichtsinguläre projektive Fläche X ist ein relativ minimales Modell ihres Funktionenkörpers, wenn jeder birationale Morphismus f : X → X′ auf eine andere nichtsinguläre projektive Fläche X′ ein Isomorphismus ist. Wenn X das eindeutig bestimmte relativ minimale Modell in seiner birationalen Äquivalenzklasse ist, dann heißt X auch einfach minimales Modell.

Theorem 1.2 Von jeder Fläche gibt es einen birationalen Morphismus auf ein relativ minimales Modell. Außer bei rationalen Flächen und bei Regelflächen ist das minimale Modell eindeutig bestimmt. In den Ausnahmefällen gibt es vollständige Listen für relativ minimale Modelle

Beweis: S. [9, V.5.8, (5.8.2) – (5.8.4)] und die dortigen Literaturverweise.

Das minimale Modell zu der oben konstruierten Fläche X findet man mit Hilfe der in [16] dargestellten Adjunktionstheorie.

Theorem 1.3 Sei X ⊂ P_{n} eine glatte Fläche, H ihre Hyperebenenklasse und K der kanonische Divisor. Dann ist |H + K| nichtspeziell und hat Dimension

N = π + q − p_{g} − 1.

Außerdem:

(A) |H + K| = ∅ genau dann, wenn

(1) X ⊂ P_{n} eine Regelfläche von Geraden ist, d.h. X ⊂ P_{n} ist ein Scroll über einer Kurve vom Geschlecht π = q.

oder

(2) X = P_{2}, H = O_{P_{2}}(1) oder H = O_{P_{2}}(2). (B) Wenn |H + K| ≠ ∅, dann ist |H + K| basispunktfrei. In diesem Fall ist

(i) (H + K)^{2} = 0 genau dann, wenn (3) X eine Del Pezzo Fläche ist, d.h., H = −K (insbesondere ist X rational), oder

(4) X ⊂ P_{n} ein Bündel von Koniken ist. (ii) Wenn (H + K)^{2} > 0, dann ist der durch |H + K| definierte Morphismus

φ_{H+K} : X → X′ ⊂ P_{N}

birational auf eine glatte Fläche X′ vom Grad (H + K)^{2}, und er bläst alle (-1)-Kurven E nieder mit E.K = −1, E.H = 1, außer

(5) X = P_{2}(p_{1}, …, p_{7}), H = 6L − ∑_{i=1}^{7} 2E_{i},

(6) X = P_{2}(p_{1}, …, p_{8}), H = 6L − ∑_{i=1}^{7} 2E_{i} − E_{8},

(7) X = P_{2}(p_{1}, …, p_{8}), H = 9L − ∑_{i=1}^{8} 3E_{i},

(8) X = P(E), wobei E ein unzerlegbares Bündel vom Rang 2 über einer elliptischen Kurve ist und H = 3B, wobei B ein effektiver Divisor auf X mit B^{2} = 1 ist.

Das Theorem ist nach [4, p.191] zitiert.

Beweis: S. [16].

Um dieses Theorem anzuwenden, muß zuerst der Divisor H + K genauer untersucht werden. Für die zum vollständigen Linearsystem |H + K| gehörige invertierbare Garbe gilt mit [9, II.6.13.b]

L(H + K) ≅ L(H) ⊗ L(−K)^{−1} ≅ O_{X}(1) ⊗ ω_{X} ≅ ω_{X}(1).

Für die nichtsinguläre projektive Varietät X gilt nach [9, III.7.12]

ω_{X} ≅ ExtP_{4}^{2}(O_{X}, ω_{P_{4}})

Aus der kurzen exakten Sequenz

0 → I_{X} → O_{P_{4}} → O_{X} → 0

wird durch Anwendung des kontravarianten universellen δ- Funktors (ExtP_{4}^{i}(·, ω_{P_{4}})) ([9, III.Ex.6.4]) eine lange exakte Sequenz, darunter der Teil

ExtP_{4}^{1}(O_{P_{4}}, ω_{P_{4}}) → ExtP_{4}^{1}(I_{X}, ω_{P_{4}}) → ExtP_{4}^{2}(O_{X}, ω_{P_{4}}) → ExtP_{4}^{2}(O_{P_{4}}, ω_{P_{4}}).

Da O_{P_{4}} eine lokal freie Garbe ist, folgt nach [9, III.Ex.6.5]

ExtP_{4}^{1}(O_{P_{4}}, ω_{P_{4}}) ≅ HP_{4}^{3}(P_{4}, O_{P_{4}}) ≅ 0,

ebenso ExtP_{4}^{2}(O_{P_{4}}, ω_{P_{4}}) ≅ 0, also

ExtP_{4}^{1}(I_{X}, ω_{P_{4}}) ≅ ExtP_{4}^{2}(O_{X}, ω_{P_{4}}).

Die kanonische Garbe von P_{4}, ω_{P_{4}}, ist nach [9, II.8.20.1] isomorph zu O_{P_{4}}(−5). Daraus ergibt sich mit [9, II.6.7] schließlich

ω_{X} ≅ ExtP_{4}^{1}(I_{X}(4), O_{P_{4}}(−1)).

Um die Ext- Garbe zu berechnen, verwendet man die im ersten Abschnitt aufgestellte kurze exakte Sequenz

0 → 6O → F → I_{X}(4) → 0.

Die Bezeichnungen seien dabei wie oben. Wendet man auf diese Sequenz den kontravarianten Funktors (ExtP_{4}^{i}(·, O_{P_{4}}(−1))) an, so erhält man eine lange exakte Sequenz, die so anfängt:

0 → Hom_{P_{4}}(I_{X}(4), O_{P_{4}}(−1)) → Hom_{P_{4}}(F, O_{P_{4}}(−1)) →

→ Hom_{P_{4}}(6O_{P_{4}}, O_{P_{4}}(−1)) → ω_{X} → ExtP_{4}^{1}(F, O_{P_{4}}(−1)).

Wenn man Ǧ für Hom_{P_{4}}(G, O_{P_{4}}) schreibt, die Rechenregel

Hom_{P_{4}}(E, G) ≅ Ǧ ⊗_{O_{P_{4}}} E

ausnutzt ([9, II.Ex.5.1.b]) und beachtet, daß F lokal frei ist, also

ExtP_{4}^{1}(F, O_{P_{4}}(−1)) = 0

ist ([9, III.Ex.6.5]), so schreibt sich diese zusätzlich um 1 getwistete exakte Sequenz als

0 → (I_{X}(4))^{∨} → F̌ → 6O_{P_{4}} → ω_{X}(1) → 0. (1.5)

F ist nun der Kern der Abbildung

ψ^{∼} : 10O(1) → 3O(2) → 0.

Da F lokal frei und der Funktor Hom(·, O_{P_{4}}) kontravariant und linksexakt ist, ergibt sich aus der langen exakten Sequenz wie oben, daß F̌ der Kokern der dualen Abbildung

(ψ^{∗})^{∼} : 3O(−2) → 10O(−1)

ist. Man erhält also folgendes Diagramm:

10O(−1) →^{(φ^{∗})^{∼}} 6O → ω_{X}(1) → 0
↘ ∪
F̌
↘

0

und daraus eine Präsentation von ω_{X}(1) ≅ L(H + K).

Aus der kurzen exakten Sequenz

0 → I_{X} → O_{P_{4}} → O_{X} → 0

wird durch Anwendung des Funktors Hom(·, O_{P_{4}}) die exakte Sequenz

0 → Hom(O_{X}, O_{P_{4}}) → Hom(O_{P_{4}}, O_{P_{4}}) → Hom(I_{X}, O_{P_{4}}) → Ext(O_{X}, O_{P_{4}})

Da O_{P_{4}} torsionsfrei ist, kann es kein von Null verschiedenes Element in Hom(O_{X}, O_{P_{4}}) geben. Weiter gibt der (getwistete) Komplex (1.4) eine projektive Auflösung der Länge 2 von O_{X}:

0 → 6O(−4) → F(−4) → O → O_{X} → 0

Da die Idealgarbe I_{X} lokal Cohen-Macaulay mit Tiefe 2 ist, ist nach Theorem 1.1. auch die Dualisierung dieser Auflösung exakt. Ext(O_{X}, O_{P_{4}}) ist aber genau die erste Kohomologiegarbe dieser Dualisierung ([9, II.6.5]), also ebenfalls 0. Es folgt: (I_{X})^{∨} ≅ O_{P_{4}}.

Man kann die exakte Sequenz (1.5) nun in zwei kurze exakte Sequenzen zerlegen:

0 → (I_{X}(4))^{∨} ≅ O_{P_{4}}(4) → F̌ → K → 0

und

0 → K → 6O → ω_{X}(1) → 0

Aus der ersten Sequenz ergibt sich sofort H^{1}(P_{4}, K) = 0 und damit aus der zweiten

H^{0}(P_{4}, 6O) → H^{0}(P_{4}, ω_{X}(1)) → 0

ω_{X}(1) hat also genau 6 globale Schnitte, die die Garbe auch lokal erzeugen. Ebenso kann man zeigen, daß ω_{X} keine globalen Schnitte hat, das geometrische Geschlecht von X also 0 ist.

|H + K| ist also nicht leer und basispunktfrei. Weiter berechnet man, daß

(H + K)^{2} = H^{2} + 2H.K + K^{2} = 9 + 2 − 1 = 10 > 0

ist, denn H^{2} ist der Grad der Fläche, also 9, 2H.K = 2 ergibt sich aus dem Schnittgeschlecht durch die Adjunktionsformel für C = H, 2g − 2 = C.(C + K), (1.6)

C eine Kurve auf X, g ihr Geschlecht ([9, V.1.5]), und für K^{2} verwendet man die Doppelpunktformel für nichtsinguläre Flächen vom Grad d in P_{4} ([9, A4.1.3]):

d^{2} − 10d − 5H.K − 2K^{2} + 12 + 12p_{a} = 0. (1.7)

Der durch |H + K| definierte Morphismus

φ_{H+K} : X → X′ ⊂ P_{5}

ist also nach dem Theorem birational auf eine glatte Fläche X′ ⊂ P_{5} vom Grad (H +K)^{2} = 10. wobei er alle (-1)-Kurven E niederbläst mit E.K = −1, E.H = 1.

Definition 1.2 Kurven E auf einer nichtsingulären projektiven Fläche X mit E^{2} = −1, E.K = −1 heißen exzeptionellen Kurven erster Art auf X.

Aus der Adjunktionsformel (1.6) ergibt sich sofort die Äquivalenz von E ≅ P_{1} und E.K = −1. Wenn zusätzlich E.H = 1 gilt, dann ist E eine Gerade.

Zur Berechnung der Anzahl der exzeptionellen Geraden auf X kann man Le Barz’ 6-Sekanten-Formel benutzen. Sei X ⊂ P_{4} eine glatte Fläche vom Grad d, mit Schnittgeschlecht π und Eulercharakteristik χ = p_{a} + 1. Man betrachte die Doppelkurve einer allgemeinen Projektion von X auf P_{3} und bezeichne mit

δ = ( \begin{matrix}d − 1 \\ 2 \end{matrix} ) − π

ihren Grad, mit

t = ( \begin{matrix}d − 1 \\ 3 \end{matrix} ) − π(d − 3) + 2χ − 2

die Anzahl ihrer Tripelpunkte und mit

h = \frac{1}{2}(δ(δ − d + 2) − 3t)

die Anzahl der Doppelpunkte. Sei schließlich

N_{6}(d, π, χ) = −\frac{1}{144}d(d − 4)(d − 5)(d^{3} + 30d^{2} − 577d + 786)

+δ (2 ( \begin{matrix}d \\ 4 \end{matrix} ) + d ( \begin{matrix}d \\ 3 \end{matrix} ) − 45 ( \begin{matrix}d \\ 2 \end{matrix} ) + 148d − 317)

−\frac{1}{2} ( \begin{matrix}δ \\ 2 \end{matrix} ) (d^{2} − 27d + 120) − 2 ( \begin{matrix}δ \\ 3 \end{matrix} )

h(δ − 8d + 56) + t(9d − 3δ − 28) + ( \begin{matrix}t \\ 2 \end{matrix} ) .

Theorem 1.4 Wenn keine Geraden auf X liegen mit Selbstschnitt ≥ 0, dann ist die Anzahl der 6-Sekanten (falls endlich) plus der Anzahl der exzeptionellen Kurven gleich N_{6}(d, π, χ).

Das Theorem ist nach [4, p.192] zitiert. Beweis: S. [11].

Im vorliegenden Fall sind die Voraussetzungen des Theorems erfüllt: Existiere eine Gerade L ≅ P_{1} mit L.L ≥ 0. Die Adjunktionsformel besagt für L, daß

L.(L + K) = L^{2} + L.K = 2g − 2 = −2

Nach Riemann-Roch ([9, V.1.6] gilt

χ(O(L)) = \frac{1}{2}L.(L − K) + 1 + p_{a}.

Dann folgt wegen p_{a}(X) = 0, daß

χ(O(L)) = h^{0}O(L) − h^{1}O(L) + h^{2}O(L) ≥ 2

Da L eine Gerade sein soll, ist die Idealgarbe von L nach [9, II.6.18] isomorph zu O(−L). Tensoriert man die Inklusion I_{L} ↪ O_{X} mit ω_{X}, so bleibt die Inklusion erhalten, weil ω_{X} eine lokal freie Garbe ist. Durch Anwendung des linksexakten Funktors Γ(X, ·) auf die Inklusion erhält man schließlich

h^{2}O(L) = h^{0}O(K − L) ≤ h^{0}O(K) = p_{g} = 0

Insgesamt gilt also h^{0}O(L) ≥ 2.

Man kann so ein eindimensionales Linearsystem betrachten, das einem zweidimensionalen Untervektorraum von H^{0}(X, O(L)) entspricht und L enthält. Da L eine Gerade ist, müssen auch alle anderen effektiven Divisoren L′ des Linearsystems Geraden sein. Denn L ∼ L′, also L.H = L′.H = 1. Dieses Linearsystem kann nun keine Basispunkte enthalten: Da die effektiven Divisoren Geraden sind, kann es höchstens einen geben, und wenn es diesen einen gäbe, enthielte X den durch die Geraden gebildeten Kegel, besitzt also eine Singularität oder ist isomorph zu P_{2}. Das Linearsystem induziert also einen Morphismus auf P_{1}, wobei die Fasern dieses Morphismus seine effekiven Divisoren sind. X wäre also eine rationale Regelfläche - nach Theorem 1.2 wäre das Linearsytem |H + K| dann aber leer. Widerspruch!

Da das homogene Ideal I_{X} von X von Quintiken erzeugt wird, kann es auch keine 6-Sekanten geben: Da jede der Quintiken die 6-Sekante in 6 Punkten schneiden würde, muß die Quintik nach Bézout (s. [9, I.7.7]) die 6-Sekante enthalten, also auch X. Widerspruch!

Bei der hier betrachteten Fläche ist N_{6}(d, π, χ) = 1, also gibt es genau eine exzeptionelle Gerade L erster Art auf X. φ_{H+K} muß nun etwas niederblasen, da X ≠ X′. Also ist φ_{H+K} die Niederblasung dieses einen exzeptionellen Divisors L.

Mit dieser Information lassen sich die numerischen Daten von X′ berechnen. Daß

degX′ = (H′)^{2} = (H + K)^{2} = 10

ist, wurde schon gezeigt. Für das weitere benötigt man zwei allgemeine Resultate über Morphismen

π : X → X′,

die einen Punkt P ∈ X′ aufblasen.

Proposition 1.1 Sei E ein exzeptioneller Divisor auf X, sei

π^{∗} : P icX′ → P icX

die kanonisch gegebene Abbildung zwischen den Picardgruppen von X und X′. Für die Schnitttheorien auf X und X′ gelten folgende Regeln:

(a) Wenn C, D ∈ P icX′, dann ist (π^{∗}C).(π^{∗}D) = C.D.

(b) Wenn C ∈ P icX′, dann ist (π^{∗}C).E = 0.

Beweis: S. [9, V.3.2].

Proposition 1.2 Der kanonische Divisor von X ist gegeben durch K_{X} = π^{∗}K_{X′} + E. Folglich ist K_{X′}^{2} = K_{X}^{2} + 1.

Beweis: S. [9, V.5.3].

Proposition 1.3. zeigt direkt, daß K_{X′}^{2} = 0. Weiter folgt

H′.K′ = (π^{∗}H′).(π^{∗}K′) = (H + K).(K − L) = (H + K).K − (H + K).L = (H + K).K = 0.

(Aus (π^{∗}H′).L = (H + K).L = 0 folgt auch H.L = 1, also muß ein von |H + K| niedergeblasener exzeptioneller Divisor eine Gerade sein.) Das Schnittgeschlecht von X′ ist also π′ = \frac{1}{2}H′.(H′ + K′) + 1 = 6, und das arithmetische Geschlecht 0, da es eine birationale Invariante ist.

Um zu sehen, daß X′ das minimale Modell ist, verwendet man das Hodge-Index-Theorem.

Definition 1.3 Ein Divisor D auf einer nichtsingulären projektiven Fläche X ist numerisch äquivalent zu Null, D ≡ 0, wenn D.E = 0 für alle Divisoren E. Man sagt, daß D und E numerisch äquivalent sind, D ≡ E, falls D − E ≡ 0.

Theorem 1.5 Sei H ein ampler Divisor auf der nichtsingulären projektiven Fläche X, D ein weiterer Divisor, D ≢ 0, mit D.H = 0. Dann ist D^{2} < 0.

Beweis: S. [9, V.1.9].

Als allgemeiner Hyperebenenschnitt ist H′ natürlich per Definition sehr ample, also ample. Wegen H′.K′ = 0 und (K′)^{2} = 0 folgt also nach dem Hodge-Index-Theorem, daß K′ ≡ 0 ist. Die Definition der numerischen Äquivalenz besagt dann, daß für einen beliebigen Divisor E auf X′ E.K′ = 0 ist. Nach Definition 1.1. kann es dann aber keinen exzeptionellen Divisor erster Art auf X′ geben. Nach [9, V.5.5] läßt sich jeder birationale Morphismus

φ : X′ → X′′

aufspalten in eine Folge von Aufblasungen jeweils eines Punktes. Da aber X′ keinen exzeptionellen Divisor enthält, kann es keine derartige Aufblasung geben, also ist X′ ≅ X′′. X′ ist deshalb das minimale Modell.

Jetzt ist X′ nur noch in die Enriques-Kodaira-Klassifikation einzuordnen. Aus einem Resultat in [2] folgt leicht, daß X′ eine Enriques-Fläche ist.

Definition 1.4 Eine Enriques-Fläche X ist eine nichtsinguläre projektive Fläche mit p_{a} = p_{g} = 0 und 2K_{X} = 0. Äquivalent ist die Definition durch K_{X} ≡ 0 und b_{2}(X) = 10, wobei b_{2}(X) die zweite Betti-Zahl von X aus der Kohomologie bezüglich der klassischen oder der étalen Topologie ist. Vgl. dazu und zu weiteren Resultaten über Enriques-Flächen [3], [7].

Das Hilbertpolynom von X′ berechnet man mit folgendem Resultat (vgl. [9, V.Ex.1.2]):

Proposition 1.3 Sei X ⊆ P_{n} eine nichtsinguläre projektive Fläche und H der zur Einbettung gehörige sehr ample Divisor. Wenn man das Hilbertpolynom von X schreibt als

P_{X}(m) = χ(O_{X}(m)) = \frac{1}{2}am^{2} + bm + c,

dann ist a = H^{2}, b = \frac{1}{2}H^{2} + 1 − π, wobei π das Geschlecht einer nichtsingulären Kurve sei, die H repräsentiert, also das Schnittgeschlecht von X, und c = 1 + p_{a}.

Also: Das Hilpertpolynom von X′ ist

P_{X′}(m) = χ(O_{X′}(m)) = \frac{1}{2} · 10m^{2} + 1.

Außerdem ist K_{X′} ≡ 0.

Lemma 1.1 Sei X eine nichtsinguläre projektive Fläche vom Grad d in P_{n} mit Hilbertpolynom P_{X}(m) = \frac{1}{2}m^{2}d + 1 und K_{X} ≡ 0. Dann ist X eine Enriques-Fläche.

Beweis: S. [2, Lemma 3.1].

1.3 Kurven vom Geschlecht 5

Als erstes gilt es die Frage zu klären, ob mehrere 12-Tupel von Quadriken mit der gewünschten Auflösung auf dieselbe Fläche im P_{4} führen. Natürlich müssen die 12 Quadriken linear unabhängig im Raum aller Quadriken von S = k[x_{0}, …, x_{4}] sein, und man muß nur 12-Tupel berücksichtigen, die nicht denselben Unterraum dieses Raumes aufspannen. Kurz: Man untersucht Punkte in der Grassmannschen G(12, H^{0}(P_{4}, O(2)). Es kommt nur auf den Modul

M = S/(q_{1}, …, q_{12})

an.

Man betrachte nun den zu M dualen Modul N, der durch die duale Auflösung aufgelöst wird. Man betrachte weiter die oben aufgestellte kurze exakte Sequenz

0 → 6O → F → I_{X}(4) → 0.

Die Anwendung des Funktors Γ(P_{4}, ·)) führt zu einer langen exakten Sequenz, die so anfängt:

0 → H^{0}(P_{4}, 6O) → H^{O}(P_{4}, F) → H^{0}(P_{4}, I_{X}(4)) →
→ H^{1}(P_{4}, 6O) → H^{1}(P_{4}, F) → H^{1}(P_{4}, I_{X}(4)) →
→ H^{2}(P_{4}, 6O).

Da nach [9, III.5.1] H^{1}(P_{4}, 6O) = H^{2}(P_{4}, 6O) = 0, folgt

H^{1}(P_{4}, F) ≅ H^{1}(P_{4}, I_{X}(4)).

F ist aber Teil der kurzen exakten Sequenz

0 → F → 10O(1) → 3O(2) → 0.

Daraus ergibt sich die lange exakte Sequenz

0 → H^{0}(P_{4}, F) → H^{O}(P_{4}, 10O(1)) → H^{0}(P_{4}, 3O(2)) → H^{1}(P_{4}, F) → H^{1}(P_{4}, 10O(1)) = 0.

H^{1}(P_{4}, F) ≅ H^{1}(P_{4}, I_{X}(4)) ist also Kokern der Abbildung H^{O}(P_{4}, 10O(1)) → H^{0}(P_{4}, 3O(2)). Da außerdem S(n) = ⨁_{i=−∞}^{∞} H^{0}(P_{4}, O_{P_{4}}(n + i)) (vgl. [9, II.5.13]) und die obige Argumentation bei beliebigen Twists richtig bleibt, folgt:

N = ⨁_{i=−∞}^{∞} H^{1}(P_{4}, I_{X}(4 + i)) = H_{1}^{∗}I_{X}(4).

Zu verschiedenen Moduln M müssen also verschiedene duale Moduln N und wegen der obigen Gleichheit auch verschiedene Flächen X ⊂ P_{4} gehören.

Als nächstes betrachte man die Grassmannsche G(12, H^{0}(P_{4}, O(2))) näher. Wie im dritten Kapitel genauer erläutert, gibt es kanonische Isomorphismen

H^{0}(P_{4}, O(2))^{∗} ≅ H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2))

und

G(12, H^{0}(P_{4}, O(2))) ≅ G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2)).

Drei allgemein gewählte Quadriken im P_{4}^{∗} bilden aber einen nichtsingulären vollständigen Durchschnitt, also nach [9, II.Ex.8.4] eine Kurve C vom Grad 8 und mit kanonischer Garbe

ω_{C} ≅ OP_{4}^{∗}(3 · 2 − 4 − 1) = OP_{4}^{∗}(1),

also vom Geschlecht 5 im P_{4}.

Auf dem offenen Teil der Grassmannschen, G(12, H^{0}(P_{4}, O(2)))^{∘}, dessen Punkte einem vollständigen Durchschnitt entsprechen, operiert auf natürliche Weise die Automorphismengruppe des P_{4}, PGL(4) (vgl. [9, II.7.1.1]). Nichtsinguläre vollständige Durchschnitte C dreier Quadriken sind nun wegen ω_{C} ≅ O_{P_{4}}(1) kanonisch in den P^{4} eingebettet. Seien C_{1},C_{2} isomorphen Kurven. Dann gilt:

H^{0}(O_{P_{4}}(1)) ≅ H^{0}(O_{C_{1}}(1)) ≅ H^{0}(O_{C_{2}}(1)) ≅ H^{0}(O_{P_{4}}(1)),

wobei der mittlere Isomorphismus durch den Isomorphismus O_{C_{1}}(1) ≅ O_{C_{2}}(1) induziert werde. Man kann deshalb folgende Kette von Isomorphismen aufstellen:

P_{4} ≅ P[H^{0}(O_{P_{4}}(1))] ≅ P[H^{0}(O_{C_{1}}(1))] ≅
≅ P[H^{0}(O_{C_{2}}(1))] ≅ P[H^{0}(O_{P_{4}}(1))] ≅ P_{4},

und man erhält einen Automorphismen aus PGL(4). Zwei nichtsinguläre vollständige Durchschnitte dreier Quadriken sind also genau dann isomorph, wenn sie durch einen Automorphismus von P_{4} aufeinander abgebildet werden können. Schließlich gibt es nach [9, IV.Ex.5.2] nur endlich viele Automorphismen von Kurven vom Geschlecht 5.

Für die durch den entsprechenden offenen Teil der Grassmannschen G(12, H^{0}(P_{4}, O(2)))^{∘} parametrisierten Enriques-Flächen vom Grad 9 und Schnittgeschlecht 6 im P_{4} gilt dann das gleiche. Denn zu zwei isomorphen Enriques-Flächen gehören dieselben Moduln

N = H_{1}^{∗}I_{X}(4),

und ein Automorphismus einer derartigen Enriques-Fläche induziert natürlich einen Automorphismus dieses Moduls.

Schließlich kann man sich noch überlegen, wann zwei Enriques-Flächen im P_{4} das gleiche minimale Modell vom Grad 10 im P_{5} besitzen. Sei π der durch das vollständige Linearsystem |H +K| induzierte Morphismus. Wenn man Theorem 1.1. auf die Enriques-Fläche X′ anwendet, erhält man einen

birationalen Morphismus X′ →^{|H′+K′|} X′′ auf eine weitere Enriques-Fläche im P_{5}. Die Komposition dieser beiden Morphismen sei π′′ : X → X′′. Da X′ ein minimales Modell ist, ist π′ ein Isomorphismus. Es folgt K′ = π^{′∗}K′′. Wegen 2K′ = 0 gilt weiter:

π^{′′∗}H′′ = π^{∗}(H′ + K′) = π^{∗}(H′ − K′) = H + K − (K − E) = H + E

wobei E die exzeptionelle Gerade sei. Wenn p ∈ X′′ der Punkt ist, auf den π′′ den exzeptionellen Divisor abbildet, dann entsprechen sich wegen dieser Gleichheit also die Hyperebenenschnitte, die den Punkt p enthalten, und die Hyperebenenschnitte auf X vermöge der Abbildung π^{′′∗}. Das bedeutet aber nichts anderes als das die Fläche X aus der Fläche X′′ durch Projektion vom Punkt p in den P_{4} hervorgeht (vgl. [9, II.7.1.2]).

Wenn man die Existenz der benutzten algebraisch-geometrischen Objekte annimmt, dann kann man alle diese Überlegungen wie folgt zusammenfassen: Bildet man von eventuell weiter verkleinerten Zariski-offenen Teilmengen den Quotienten bezüglich der Aktion von PGL(4), so ergibt sich auf der rechten Seite des Isomorphismus

G(12, H^{0}(P_{4}, O(2))) ≅ G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2))

ein 12-dimensionaler Parameterraum von nichtisomorphen Kurven vom Geschlecht 5, da PGL(4) 24dimensional ist und G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2)) 36-dimensional. Weil auch der Modulraum der Kurven vom Geschlecht 5 12-dimensional ist (vgl. die Literaturhinweise weiter unten), ist dieser Parameterraum isomorph zu einem offenen Teil des Modulraums M_{5}^{∘}.

Auf der rechten Seite erhält man einen natürlich zum anderen Quotienten isomorphen 12-dimen-sionalen Quotienten, den man aufgrund der geometrischen Konstruktion der Enriques-Flächen als Projektionen von einem Punkt einbetten kann in die universelle Familie über dem Modulraum M_{E} der Fano-polarisierten Enriques-Flächen. (In [4] steht hier irrtümlicherweise Reye-polarisiert; vgl. hierzu [2, p.380], [3].) Dieser Modulraum ist nun 10-dimensional (s. unten in Kapitel 2, vor allem Proposition 2.3) und die universelle Familie hat folglich Dimension 10 + 2 = 12. Also ist der Quotient isomorph zu einem offenen Teil der universellen Familie U^{∘}, und man erhält folgendes Diagramm:

M_{5}^{∘} →^{∼} U^{∘}
↘ ↓
M_{E}^{∘}

(Das Standardwerk zu (geometrischen) Quotienten und Modulräumen ist [14]; eine elementare Einführung und viele Beispiele finden sich in [10]).

Die Schwierigkeiten in dieser globalen Betrachtungsweise liegen im Beweis der Existenz der Modulräume. Für die Kurven vom Geschlecht 5 wird in [14] zumindest ein grober Modulraum konstruiert; für die Fano-polarisierten vgl. die Bemerkungen in [2, p.380]. Auf lokaler Ebene verschwinden diese Schwierigkeiten, und deswegen werden im nächsten Kapitel zuerst die dazu erforderlichen Hilfsmittel bereitgestellt.

Infinitesimale Deformationen

2.1 Definition und Klassifikation

Sei X_{0} ein projektives Schema über einem (algebraisch abgeschlossenen) Körper k. Sei D = k[ϵ]/ϵ^{2} der Ring der dualen Zahlen über k.

Definition 2.1 Eine infinitesimale Deformation von X_{0} ist ein Schema X′, das flach über D ist und für das X′ ⊗_{D} k ≅ X_{0} gilt.

Im obigen Tensorprodukt wird X bzw. O_{X} vermöge

k[ϵ]/ϵ^{2} ⟶^{modϵ} k

als Spec D -Modul gesehen. Entsprechend können auch alle O_{X} -Moduln als Spec D- Moduln betrachtet werden und eine infinitesimale Deformation F′ eines O_{X} -Moduls F definiert werden durch die Eigenschaft, daß F′ flach über D ist und die Isomorphie F′ ⊗_{D} k ≅ F gilt.

Wenn man eine Einbettung X ⊂ P_{k}^{n} voraussetzt, kann man auch nur infinitesimale Deformationen X′ ⊂ P_{k}^{n} × Spec k[ϵ]/ϵ^{2} betrachten. Es stellt sich die Frage, ob beide Definitionen äquivalent sind. Wenn X ⊂ P_{5} eine Enriques-Fläche vom Grad 10 ist (und das ist der einzige Fall, der in dieser Arbeit gebraucht wird, s. Abschnitt 3.8), ist das richtig. Zum Beweis benötigt man die infinitesimale Liftungseigenschaft (vgl. [9, II.Ex.8.6]):

Theorem 2.1 Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei A eine endlich erzeugte k-Algebra, so daß Spec A eine nichtsinguläre Varietät über k ist. Sei 0 → I → B′ → B → 0 eine kurze exakte Sequenz, wobei B′ eine k-Algebra ist und I ein Ideal mit I^{2} = 0. Sei f : A → B schließlich ein k-Algebra-Homomorphismus. Dann existiert ein k-Algebra-Homomorphismus g : A → B′, der folgendes Diagramm kommutativ macht:

[figure: \begin{matrix}↓ \\ 0 \end{matrix}; \begin{matrix}0 \\ ↓ \\ I \\ ↓ \\ B′ \\ ↓ \\ B \end{matrix}; A; g; f]

Dieses Resultat nennt man infinitesimale Liftungseigenschaft für A.

Beweis: Da I^{2} = 0, hat I eine natürliche B-Modul-Struktur, also auch eine natürliche A-Modul-Struktur. Man nehme nun an, daß g : A → B′ ein Homomorphismus ist, der f liftet. Ist g′ : A → B′ ein weiterer derartiger Homomorphismus, so bildet θ = g − g′ A in I ab. θ : A → I ist ein k-Modulhomomrphismus, aus der A-Modulstruktur von I folgt θ(aa′) = aθ(a′) + a′θ(a), schließlich ist θc = 0 für alle c ∈ k. θ ist also eine k-Derivation von A in I, aufgefaßt als Element von Hom_{A}(Ω_{A/k}, I). Umgekehrt ist für jedes θ ∈ Hom_{A}(Ω_{A/k}, I) g′ = g + θ ein anderer Homomorphismus, der f liftet.

Sei nun P = k[x_{1}, …, x_{n}] ein Polynomring, von dem A ein Quotient ist, und sei J der Kern. Wählt man zu x_{i} ein beliebiges Urbild b_{i} ∈ B′ von f(\overline{x_{i}}) ∈ B, so macht der durch x_{i} ↦ b_{i} induzierte k-Algebra-Homomorphismus h : P → B′ das folgende Diagramm kommutativ:

0  0
↓  ↓
J  I
↓  ↓
P ⟶^{h} B′
↓  ↓
A ⟶^{f} B
↓  ↓
0  0

Außerdem induziert h eine A-lineare Abbildung \overline{h} : J/J^{2} → I.

Erst jetzt wird die Voraussetzung, daß Spec A nichtsingulär sein soll, gebraucht: Dann gibt es nach [9, II.8.17] eine kurze exakte Sequenz

0 → J/J^{2} → Ω_{P/k} ⊗ A → Ω_{A/k} → 0.

Wenn man darauf den Funktor Hom_{A}(·, I) anwendet und berücksichtigt, daß ebenfalls nach [9, II.8.17] Ω_{A/k} ein freier A-Modul ist, also Ext_{A}^{1}(Ω_{A/k}, I) = 0, dann erhält man aus der langen exakten Sequenz die exakte Sequenz

0 → Hom_{A}(Ω_{A/k}, I) → Hom_{P} (Ω_{P/k}, I) → Hom_{A}(J/J^{2}, I) → 0.

Sei θ ∈ Hom_{P} (Ω_{P/k}, I) ein Element, dessen Bild \overline{h} ∈ Hom_{A}(J/J^{2}, I) ist. Man betrachte θ als k-Derivation von P nach B′. Dann ist die k-Modulabbildung h′ = h − θ ein Homomorphismus P → B′: Ein Element c ∈ k wird auf h′(c) = h(c) − θ(c) = h(c) = c abgebildet, und

h′(aa′) = h(a)h(a′) − aθ(a′) − a′θ(a) = h(a)h(a′) − h(a)θ(a′) − h(a′)θ(a) = (h − θ)(a)(h − θ)(a′),

da die P-Modul-Struktur von I durch h induziert wird und I^{2} = 0. Wegen θ(j) = \overline{h}(\overline{j}) = h(j) ist schließlich h′(J) = 0; h′ induziert also den gesuchten Morphismus g : A → B′.

QED

Das nächste Ziel wird sein, die infinitesimalen Deformationen eines (nichtsingulären) projektiven Schemas X zu klassifizieren. Aus den Ideen im Beweis zu Theorem 2.1. folgt auch (vgl. [9, III.Ex.9.7]:

Proposition 2.1 Sei X ⊂ P_{n} ein abgeschlossenes Unterschema. Dann werden alle infinitesimalen Deformationen X′ ⊂ P_{n} × Spec k[ϵ]/ϵ^{2} klassifiziert durch H^{0}(X, N_{X/P_{n}}), wobei

N_{X/P_{n}} = Hom _{O_{Pn}} (I_{X}/I_{X}^{2}, O_{X})

das Normalenbündel von X ist.

Beweis: Sei zuerst eine infinitesimale Deformation X′ ⊂ P_{n} × Spec k[ϵ]/ϵ^{2} gegeben. Auf einer der affinen Standardteilmengen U von P_{n} mit Koordinatenring P = k[x_{1}, …, x_{n}] sei der Koordinatenring O_{X|U} von X_{|U} gleich A = P/J für ein Ideal J ⊂ P. Da X′ flach über D ist, ist es auch X′_{|U}. Wie oben gibt es also ein kommutatives Diagramm

0  0
↓  ↓
J  A
↓  ↓
P ⟶^{h} O_{X′_{|U}}
↓  ↓
A =  A
↓  ↓
0  0,

und einen durch die Identität eindeutig bestimmten Homomorphismus \overline{h} ∈ Hom_{A}(J/J^{2}, A). Da die affinen Standardteilmengen den P_{n} überdecken, gelten diese Aussagen für alle affinen Teilmengen. Wegen der Eindeutigkeit der \overline{h} ∈ Hom_{A}(J/J^{2}, A) kleben diese zu einem globalen Schnitt von N_{X/P_{n}} zusammen.

Sei umgekehrt ein globaler Schnitt von N_{X/P_{n}} gegeben. Auf den affinen Standardteilmengen U erhält man aus einem solchem Schnitt A-Modul-Homomorphismen \overline{h} ∈ Hom_{A}(J/J^{2}, A). Werde J von f_{1}, …, f_{k} ∈ P erzeugt. Seien f′_{1}, …, f′_{k} ∈ P beliebige Repräsentanten von \overline{h}(\overline{f_{i}}) ∈ A. Sei J′ = (f_{1} + ϵf′_{1}, …, f_{k} + ϵf′_{k}). Mit

O_{X′_{|U}} = (k[ϵ]/ϵ^{2})[x_{1}, …, x_{n}]/J′

kann man nun wieder das obige kommutative Diagramm aufstellen (h sei dabei der Homomorphismus, der x_{i} auf x_{i} abbildet); insbesondere entsteht die Sequenz

0 → A → O_{X′_{|U}} → A → 0

durch Tensorieren von

0 → (ϵ) → k[ϵ]/ϵ^{2} → k → 0

mit (k[ϵ]/ϵ^{2})[x_{1}, …, x_{n}]/J′. Da (ϵ) das einzige Primideal von D = k[ϵ]/ϵ^{2} ist, ist O_{X′_{|U}} nach dem lokalen Kriterium (vgl. [5, 6.8]) flach über D und damit auch X′, wenn man zusammenklebt. mboxX′ ⊂ P_{n} × Spec k[ϵ]/(ϵ^{2}) folgt daraus, daß die \overline{h} zu einem globalen Schnitt von N_{X/P_{n}} zusammenkleben.

QED

Theorem 2.2 Sei X jetzt eine nichtsinguläre Varietät. Die infinitesimalen Deformationen werden bis auf Isomorphie klassifiziert durch die Kohomologiegruppe H^{1}(X, T_{X}), wobei T_{X} die Tangentialgarbe von X ist.

Beweis: Der Beweis benutzt den Formalismus der Čech-Kohomologie. Deswegen zuerst einige Bezeichnungen und Sätze (vgl. [9, III.4]):

Sei X ein topologischer Raum, und sei U = (U_{i})_{i∈I} eine offene Überdeckung von X. Die Indexmenge I sei mit einer Wohlordnung versehen. Für jede endliche Menge von Indizes {i_{0}, …, i_{p}} ⊂ I bezeichnet man den Schnitt U_{i_{0}} ∩ … ∩ U_{i_{p}} mit U_{i_{0}···i_{p}}.

Sei F eine Garbe von abelschen Gruppen auf X. Man definiere einen Komplex C^{·}(U, F) von abelschen Gruppen wie folgt: Für jedes p ≥ 0 sei

C^{p}(U, F) = ∏_{i_{0}<...<i_{p}} F(U_{i_{0}···i_{p}}).

Ein Element α ∈ C^{p}(U, F) ist also bestimmt, wenn für jedes (p+1)-Tupel i_{0} < … < i_{p} von Indizes aus I ein

α_{i_{0}···i_{p}} ∈ F(U_{i_{0}···i_{p}})

gegeben ist.

Die Korandabbildung d : C^{p} → C^{p+1} wird definiert durch

(dα)_{i_{0}···i_{p+1}} = ∑_{k=0}^{p+1}(−1)^{k}α_{i_{0}···_{i_{k}}···i_{p+1}|U_{i_{0}···i_{p+1}}} .

Die Bezeichnung î_{k} bedeutet dabei, daß i_{k} ausgelassen werden soll. Weil dann α_{i_{0}···_{i_{k}}···i_{p+1}} ein Element von F(U_{i_{0}···_{i_{k}}···i_{p+1}}) ist, erhält man ein Element von F(U_{i_{0}···i_{p+1}}) durch Einschränkung auf U_{i_{0}···i_{p+1}}. Man sieht leicht, daß d^{2} = 0, also C^{·}(U, F) wirklich ein Komplex ist.

Definition 2.2 Die p-te Čech-Kohomologiegruppe von F bezüglich der offenen Überdeckung U ist

Ȟ^{p}(U, F) = h^{p}(C^{·}(U, F)).

Theorem 2.3 Sei X ein Noethersches separiertes Schema (z.B. eine Varietät), sei U eine offene affine Überdeckung von X und sei F eine quasikohärente Garbe auf X. Dann gibt es für alle p ≥ 0 einen natürlichen Isomorphismus

Ȟ^{p}(U, F) ⟶^{∼} H^{p}(X, F).

Nun zum eigentlichen Beweis von Theorem 2.2: Sei U = (U_{0}, …, U_{n}) eine Überdeckung von X mit offenen affinen Teilmengen. Sei U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j}, i ≠ j, 0 ≤ i, j ≤ n. Auch die U_{ij} sind affin, da X separiert ist (vgl. [9, II.Ex.4.3]. Es gilt, eine Abbildung

α : {Infinitesimale Deformationen X′ von X } → H^{1}(X, T_{X}) ≅ Ȟ_{1}(U, T_{X})

und eine Abbildung

β : Ȟ_{1}(U, T_{X}) → {Infinitesimale Deformationen X′ von X }

zu finden, so daß βα(X′) ≅ X′ und αβ(h_{1}) = h_{1} ist.

Sei zuerst eine infinitesimale Deformation X′ gegeben. Sei B′_{i} die k[ϵ]/ϵ^{2}- Algebra, deren Spektrum X′_{|U_{i}} ist, während A_{i} die k-Algebra sei, deren Spektrum X_{|U_{i}} ist. Da X′ eine infinitesimale Deformation ist, gibt es eine kurze exakte Sequenz

0 → A_{i} ⟶^{· ϵ} B′_{i} → A_{i} → 0.

Da X und damit die A_{i} nichtsingulär sind, kann man die infinitesimale Liftungseigenschaft auf A_{i} anwenden, die Sequenz spaltet also:

0 → A_{i} ⟶^{· ϵ} B′_{i} → A_{i} → 0
g_{i}^{↖} ∥
A_{i}

Diese Spaltung bleibt bei Einschränkung auf die U_{ij} erhalten; man hat also zwei Liftungen

g_{ij}, g_{ji} : A_{ij} → B′_{ij}

Wie oben im Beweis von Theorem 2.1 gezeigt, ist ihre Differenz eine k-Derivation von A_{ij} in sich selbst, interpretiert als Element von Hom_{A_{ij}}(Ω_{A_{ij}/k}, A_{ij}). Die Vergarbung dieses Moduls ist aber genau T_{X} = Hom_{O_{X}} (Ω_{X/k}, O_{X}), eingeschränkt auf U_{ij}. Weiter gilt auf V = U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}:

(g_{ij} − g_{ji})_{|V} − (g_{ik} − g_{ki})_{|V} + (g_{jk} − g_{kj})_{|V} = (g_{ij|V} − g_{ik|V}) − (g_{ji|V} − g_{jk|V}) + (g_{ki|V} − g_{kj|V}) = 0.

Das Tupel (g_{ij} − g_{ji})_{i,j} ist also nicht nur Element von C^{1}(U, T_{X}), sondern liegt auch im Kern der Korandabbildung d : C^{1} → C^{2}, kann also als Element von Ȟ_{1}(U, T_{X}) ≅ H^{1}(X, T_{X}) aufgefaßt werden.

Sei nun umgekehrt (h_{ij})_{i,j} ∈ Ȟ_{1}(U, T_{X}). Man konstruiere eine infinitesimale Deformation X′ von X wie folgt: Sei A_{i} der Koordinatenring von X auf U_{i}. O_{X′|U_{i}} sei die Vergarbung der A_{i}- Algebra

A′_{i} = A_{i} ⊕ ϵ · A_{i} = (k[ϵ]/ϵ^{2})[y_{0}, …, ŷ_{i}, …, y_{n}]/(f_{1}, …, f_{k}).

Diese (vergarbten) Algebren verkleben auf U_{ij} vermöge des Isomorphismus

φ : A′_{ij} → A′_{ji},

der a_{1} + ϵ · a_{2} auf a_{1} + ϵa_{2} + ϵh_{ij}(a_{1}) abbildet. Die h_{ij} faßt man dabei als k-Derivationen von A_{ij} nach A_{ji} = A_{ij} auf.

Daß αβ((h_{ij})) = (h_{ij}), geht unmittelbar aus der Konstruktion hervor. Umgekehrt besteht der Isomorphismus βα(X′) ≅ X′, weil die Sequenz

0 → Spec A_{i} ⟶^{·ϵ} O_{X′|U_{i}} → Spec A_{i} → 0

wegen der infinitesimalen Liftungseigenschaft splittet und so einen Isomorphismus

O_{X′|U_{i}} ≅ Spec A_{i} ⊕ ϵ Spec A_{i}

von Spec A_{i}- Moduln induziert, und die O_{X′|U_{i}} genauso verkleben, wie es das Element

α(X′) = (h_{ij}) ∈ H^{1}(X, T_{X})

vorschreibt.

QED

Wegen der Nichtsingularität von X gibt es nach [9, II.8.17] eine exakte Sequenz

0 → J /J^{2} → Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X} → Ω_{X/k} → 0.

Da in dieser Sequenz ebenfalls nach [9, II.8.17] nur lokal freie Moduln vorkommen, kann man sie dualisieren:

0 → T_{X} → T_{P_{n}/k} ⊗ O_{X} → N_{P_{n}/X} → 0.

Daraus läßt sich eine lange exakte Sequenz machen:

0 → H^{0}(X, T_{X}) → H^{0}(X, T_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}) → H^{0}(X, N_{X/P_{n}}) →^{φ} H^{1}(X, T_{X}) → H^{1}(X, T_{P_{n}/k} ⊗ O_{X})

Lemma 2.1 Die Abbildung

φ : H^{0}(X, N_{X/P_{n}}) → H^{1}(X, T_{X})

bildet einen globalen Schnitt des Normalenbündels auf das Element in H^{1}(X, T_{X}) ab, das der Isomorphieklasse der dem Schnitt entsprechenden eingebetteten infinitesimalen Deformation entspricht.

Beweis: Wenn man die beteiligten Gruppen als Čech-Kohomologiegruppen auffaßt, kann man die Abbildung φ : Ȟ^{0}(X, N_{X/P_{n}}) → Ȟ^{1}(X, T_{X}) aus dem kommutativen Diagramm

0 → C^{0}(U, T_{X}) → C^{0}(U, Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}) → C^{0}(U, N_{X/P_{n}})
d ↓ d ↓ d ↓
0 → C^{1}(U, T_{X}) → C^{1}(U, Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}) → C^{1}(U, N_{X/P_{n}})
d ↓  d ↓
C^{2}(U, T_{X}) → C^{2}(U, Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X})

gewinnen. Die Zeilen sind exakt, weil die Sequenz

0 → T_{X}(U) → (Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X})(U) → N_{X/P_{n}}(U)

für beliebiges offenes U ⊂ X exakt ist.

Sei also O_{X|U_{i}} = k[x_{1}, …, x_{n}]/J_{i} = A. Ein globaler Schnitt des Normalenbündels ist ein Tupel (h_{i})_{i=0,...,n}, wobei h_{i} ∈ Hom_{A}(J_{i}/J_{i}^{2}, A) = N_{X/P_{n}}|_{U_{i}}. Aus der kurzen exakten Sequenz

0 → Hom_{A}(Ω_{A/k}, A) → Hom_{P} (Ω_{P/k}, I) → Hom_{A}(J_{i}/J_{i}^{2}, A) → 0

gewinnt man ein Tupel (θ_{i}) von Elementen aus Hom_{P} (Ω_{P/k}, I) = Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}|_{U_{i}}, also ein Element von C^{0}(U, Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}). Die Randabbildung d macht daraus das Tupel ((θ_{i} − θ_{j})_{|U_{ij}} von C^{1}(U, Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}). Da der globale Schnitt durch d auf 0 abgebildet wird, muß dieses Element schon in C^{0}(U, T_{X}) liegen. Da das Tupel durch d auf 0 ∈ C^{2}(U, Ω_{P_{n}/k} ⊗ O_{X}) abgebildet wird, liegt es in Ȟ^{1}(U, T_{X}).

Wenn man wie oben im Beweis von Proposition 2.1. für jedes i = 0, …, n die zum globalen Schnitt des Normalenbündels gehörigen Diagramme

0  0
↓  ↓
J_{i}  A_{i}
↓  ↓
P ⟶^{h} O_{X′_{|U_{i}}}
↓  ↓
A_{i} =  A_{i}
↓  ↓
0  0,

aufstellt und die Rechnungen im Beweis der infinitesimalen Liftungseigenschaft berücksichtigt, so sieht man, daß die Differenzen (θ_{i} − θ_{j})|_{U_{ij}} genau den Differenzen der dort konstruierten infinitesimalen Liftungen entsprechen. Das heißt aber nach dem Beweis von Theorem 2.2 nichts anderes als daß das durch diese Differenzen bestimmte Element von H^{1}(X, T_{X}) der Isomorphieklasse der durch den globalen Schnitt bestimmten infinitesimalen Deformation entspricht.

QED

Lemma 2.2 Bei einer Enriques-Fläche X ⊂ P_{5} vom Grad 10 gilt H^{1}(X, T_{P_{5}} ⊗ O_{X}) = 0. Die Abbildung φ aus Lemma 2.1. ist also surjektiv.

Beweis: Die Dualisierung der kurzen exakten Sequenz

0 → Ω_{P_{5}/k} → O_{P_{5}}(−1)^{6} → O_{P_{5}} → 0

aus [9, 8.13] ergibt die Sequenz

0 → O_{P_{5}} → O_{P_{5}}(1)^{6} → T_{P_{5}/k} → 0

da alle beteiligten Garben lokal frei sind. Die Abbildung

S →^{(x_{0},...,x_{5})} S(1)^{6}

bleibt nun bei Tensorierung mit S/I_{X} injektiv, wie man sich leicht auf den offenen affinen Standardteilmengen überlegt. Also gibt es die exakte Sequenz

0 → O_{X} → O_{X}(1)^{6} → T_{P_{5}/k} ⊗ O_{X} → 0

Anwendung des Funktors Γ(X, ·) führt zu einer langen Sequenz, die den Term

H^{1}(X, O_{X}(1)) → H^{1}(X, T_{P_{5}/k}) → H^{2}(X, O_{X})

enthält. Serre-Dualität ergibt H^{2}(X, O_{X}) = H^{0}(X, ω_{X}) = p_{g} = 0 und

H^{1}(X, O_{X}(1)) = H^{1}(X, O_{X}(H)) = H^{1}(X, O_{X}(K_{X} − H)) = H^{1}(X, O(−(K + H)))

da auf der Enriques-Fläche X 2K_{X} = 0 ist. Weiter folgt aus K_{X} ≡ 0, daß

(H + K_{X})^{2} = H^{2} + 2HK_{X} + K_{X}^{2} = 10 > 0

und nach dem Nakai-Moishezon-Kriterium (s. [9, V.1.10]) für den Divisor H

(H + K).C = H.C > 0

für alle irreduziblen Kurven C in X. Wieder nach Nakai-Moishezon folgt |H + K_{X}| ample. Da man eine nichtsinguläre projektive Fläche über C betrachtet, ist schließlich nach dem Kodairaschen Verschwindungssatz (vgl. Formulierung und Literaturhinweise in [9, III.7.15])

H^{1}(X, O(−(K + H))) = 0

QED

2.2 Tangentialräume

Die Darstellung in diesem Abschnitt lehnt sich eng an [6, IV] an.

Das folgende grundlegende Resultat aus der Theorie der Kategorien zeigt, daß jedes Schema X sich durch einen Funktor, den sogenannten Punktfunktor h_{X}, beschreiben läßt.

Theorem 2.4 (Yoneda) Sei C eine Kategorie und seien X, X′ Objekte von C.

a) Wenn F ein kontravarianter Funktor von C in die Kategorie der Mengen ist, dann stehen die Funktorabbildungen von Hom(−, X) nach F in natürlicher Korrespondenz zu den Elementen F (X).

b) Wenn die Funktoren Hom(−, X) und Hom(−, X′) von C in die Kategorie der Mengen isomorph sind, dann ist X ≅ X′. Allgemeiner gilt, daß die Funktorabbildungen von Hom(−, X) nach Hom(−, X′) dasselbe sind wie Abbildungen von X nach X′, oder anders ausgedrückt, daß der Funktor

h : C → F unkt(C^{∘}, (Sets))

der X auf h_{X} abbildet, eine Äquivalenz von C mit einer vollen Unterkategorie der Kategorie der Funktoren ist.

Beweis: S. [6, IV-1].

Bei Schemata kann man dieses Lemma verbessern: Es genügt, den Punktfunktor von affinen Schemata zu betrachten. Relativ gesehen, ergibt sich

Proposition 2.2 Wenn S ein kommutativer Ring ist, dann wird ein Schema über S schon durch die Einschränkung seines Punktfunktors auf affine Schemata über S bestimmt. Der Funktor

h : (S − schemes) → F unct((S − algebras), (Sets))

ist eine Äquivalenz von der Kategorie der S-Schemata mit einer vollen Unterkategorie der Kategorie der Funktoren.

Beweis: Die Proposition sagt nichts anderes als daß Schemata aus affinen Schemata zusammengesetzt werden. S. [6, IV-2].

Auf diese Art wird also die Kategorie der Schemata in die größere Kategorie der Funktoren F unkt((S − schemes)^{∘}, (Sets)) eingebettet. Ein derartiger Funktor heißt repräsentierbar, wenn er von der Form h_{Y} für ein Schema Y ist. Der Punktfunktor sagt nun oft mehr über die Geometrie eines interessanten Schemas aus als der Beweis seiner Existenz oder seine (polynomialen) Gleichungen. Das Problem ist, daß es keine leicht nachzuprüfenden Kriterien gibt, wann ein Punktfunktor repräsentierbar ist. M. Artin fand aber ein Kriterium mit schwachen Voraussetzungen, das die Repräsentierbarkeit in der Kategorie der algebraischen Räume beschrieb, die “leicht größer” ist als die der Schemata.

Als typisches Beispiel für die Nützlichkeit der Punktfunktoren wird in dieser Arbeit zuerst das Hilbertschema H_{P} aller Unterschemata von P_{n} mit dem Hilbertpolynom P beschrieben. Von jetzt an seien alle Schemata über einem festen Körper k gegeben, und alle Morphismen seien Morphismen über k. H_{P} repräsentiert den Funktor

h_{P} : (k − schemes)^{∘} → (sets),

der jedem k-Schema B die Menge aller über B flachen Unterschemata X ⊂ P_{n} × B zuordnet, deren Fasern über Punkten von B das Hilbertpolynom P haben. Wenn ein solches Schema existiert (s. dazu [8]), dann läßt sich aus der Repräsentierbarkeit des Funktors sofort die Existenz einer universellen Familie folgern: Das ist ein Schema H und ein über H flaches Unterschema X ⊂ P_{n} × H mit Hilbertpolynom P, so daß jedes über B flache Unterschema Y ⊂ P_{n} × B mit Hilbertpolynom P gleich dem Faserprodukt Y = X ×_{H} B ⊂ P_{n} × B ist für einen eindeutig bestimmten Morphismus B → H. Wenn H_{P} existiert, dann ist sie das der identischen Abbildung H_{P} → H_{P} entsprechende Unterschema X ⊂ P_{n} × H_{P}. Umgekehrt folgt natürlich aus der Existenz einer universellen Familie, daß H den Funktor h_{P} repräsentiert.

Sei X ⊂ P_{n} nun irgendein abgeschlossenes Unterschema. Zur Erinnerung: Für irgendeinen Punkt p ∈ X ist der Zariski-Tangentialraum von X in p gleich Hom_{κ}(m/m^{2}, κ), wobei m = m_{X,p} das maximale Ideal im lokalen Ring von X in p sei und κ = κ(p) = O_{X,p}/m_{X,p}.

Lemma 2.3 Ein k[ϵ]/ϵ^{2}- wertiger Punkt von X ist dasselbe wie ein k-rationaler abgeschlossener Punkt p von X zusammen mit einem Element des Zariski-Tangentialraums von X an P.

Beweis: Wegen der Einbettung ι : Spec k → Spec k[ϵ]/ϵ^{2}, die vom Algebra-Homomorphismus k[ϵ]/ϵ^{2} → k induziert wird, bestimmt ein Morphismus Spec k[ϵ]/ϵ^{2} → X einen Morphismus Spec k → X — und so einen abgeschlossenen k-rationalen Punkt p von X. Der Erweiterung eines derartigen Morphismus Spec k → X entspricht genau eine Liftung des k-Algebra-Homomorphismus O_{X,p} → κ(p) = k zu einem (lokalen) Homomorphismus O_{X,p} → k[ϵ]/ϵ^{2}. Dieser Homomorphismus induziert eine Abbildung vom maximalen Ideal m_{X,p} in das maximale Ideal (ϵ) von k[ϵ]/(ϵ^{2}). Da (ϵ^{2}) = 0, faktorisiert diese Abbildung durch eine Abbildung t : m_{X,p}/m_{X,p}^{2} → (ϵ) ≅ k. t ist also ein Element von (m_{X,p}/m_{X,p}^{2})^{∗}, dem Zariski-Tangentialraum an X in p.

Seien umgekehrt p und t : m_{X,p}/m_{X,p}^{2} → (ϵ) ≅ k gegeben. Dann kann man eine Abbildung O_{X,p} → k[ϵ]/ϵ^{2} aus der zu p gehörigen Abbildung π : O_{X,p} → κ(p) = k konstruieren: π und die k-Algebra-Strukturabbildung k → O_{X,p} spalten den k-Vektorraum O_{X,p}/m_{X,p}^{2} in k ⊕ m_{X,p}/m_{X,p}^{2}, und mit der Identität auf k und der Abbildung t auf m_{X,p}/m_{X,p}^{2} kann man eine Abbildung O_{X,p}/m_{X,p}^{2} → k[ϵ]/ϵ^{2} definieren, die mit der Projektion verknüpft zu einer Abbildung O_{X,p} → k[ϵ]/ϵ^{2} führt. Diese Abbildung bestimmt den gesuchten Morphismus Spec k[ϵ]/ϵ^{2} → X.

QED

Aus dem Lemma ergibt sich nun sofort : Der Raum der eingebetteten infinitesimalen Deformationen X′ ⊂ P_{n} × k[ϵ]/ϵ^{2} von X, also nach Proposition 2.1 H^{0}(X, N_{X/P_{n}}), ist genau der Zariski-Tangentialraum an das Hilbertschema H_{P} im Punkt [X].

Völlig analog verlaufen die Überlegungen bei Modulräumen: Ein Modulraum ist ein Schema, daß einen Funkor

M : (Schemata über k)^{∘} → (sets)

repräsentiert, der jedem Schema B über k die Menge der Isomorphieklassen von flachen Morphismen π : X → B zuordnet, deren Fasern aus einer bestimmten Menge von geometrischen Objekten stammen. Mumford konstruiert in [14] etwa den Modulraum aller nichtsingulären Kurven vom Geschlecht g, während in dieser Arbeit der Modulraum M_{E} aller Fano-polarisierten Enriques-Flächen interessant ist, also aller Enriques-Flächen, die in den P_{5} einbettbar sind (mit einem bestimmten Hilbertpolynom).

Auch hier gibt es eine universelle Familie U ⊂ P_{5} × M_{E}, und aus dem Lemma folgt für eines der parametrisierten Schemata X genauso wie oben: Der Raum aller Isomorphieklassen von infinitesimalen Deformationen von X, also nach Theorem 2.2 und den anschließenden Lemmata H^{1}(X, T_{X}), ist der Zariski-Tangentialraum an den Modulraum. dim_{k}H^{1}(X, T_{X}) ist so zumindest eine obere Schranke für die Dimension des Modulraums in einem Punkt X — falls überhaupt ein derartiges Schema existiert.

Proposition 2.3 Für eine Enriques-Fläche X, d.h. für eine Fläche mit p_{a} = p_{g} = K^{2} = 0 und 2K = 0 (vgl. Kapitel 1) gilt:

dim_{k}H^{1}(X, T_{X}) = 10.

Beweis: In [15, p.249] wird gezeigt, daß

H^{0}(X, T_{X}) = H^{2}(X, T_{X}) = 0

Dann gilt χ(T_{X}) = −H^{1}(X, T_{X}), und die Euler-Charakteristik von T_{X} kann man mit der verallgemeinerten Riemann-Roch-Formel berechnen:

Theorem 2.5 (Hirzebruch-Riemann-Roch) Für eine lokal freie Garbe E vom Rang r auf einer nichtsingulären n-dimensionalen projektiven Varietät X gilt:

χ(E) = deg(ch(E).td(T_{X}))_{n},

wobei ( )_{n} die Komponente vom Grad n in A(X) ⊗ Q bezeichnet.

Der Formalismus der Chern-Klassen und Literaturhinweise finden sich in [9, Anhang A]. Hier genügen die in [9, A.4] genannten Fakten.

Danach ist

ch(T ) = 2 − K + \frac{1}{2}(K^{2} − 2c_{2}),

wobei 2 die Komponente vom Grad 0 ist, −K die vom Grad 1 und \frac{1}{2}(K^{2} − 2c_{2}) die vom Grad 2. Ebenso:

td(T ) = 1 − \frac{1}{2}K + \frac{1}{12}(K^{2} + c_{2}).

Nach dem Theorem ist also

χ(T ) = deg(\frac{1}{6}(K^{2} + c_{2}) + \frac{1}{2}K^{2} + \frac{1}{2}(K^{2} − 2c_{2})).

Wegen 2K = 0 ist K.K = 0. Daraus errechnet sich mit 1 = p_{a} + 1 = χ(X) = \frac{1}{12}(K^{2} + c_{2}) der Grad der zweiten Chern-Klasse als 12. Also:

χ(T ) = \frac{1}{6}(0 + 12) + \frac{1}{2} · 0 + \frac{1}{2}(0 − 2 · 12) = 2 − 12 = −10.

QED 26 Infinitesimale Deformationen

Algorithmen

3.1 Der Plan

In diesem Kapitel sollen nun konkret die infinitesimalen Deformationen einer Kurve vom Geschlecht 5 (und Grad 8) im P_{4}^{∗} berechnet werden, die durch die Abbildungen zwischen den Hilbertschemata bzw. Modulräumen auf triviale infinitesimale Deformationen von Enriques-Flächen vom Grad 10 im P_{5} abgebildet werden. Wie diese Abbildung von infinitesimalen Deformationen zustandekommt, überlegt man sich leicht mit Hilfe der in Kapitel 2 entwickelten Sprache der Punktfunktoren: Eine infinitesimale Deformation einer Varietät X mit Hilbertpolynom P ist ein Tangentialvektor an das Hilbertschema H_{P} ist ein k[ϵ]/(ϵ^{2})- wertiger Punkt von H_{P}. Und eine Abbildung H_{P}^{∘} → H_{P′}^{∘} von offenen Teilen von Hilbertschemata zu den Polynomen P und P′ führt einen k[ϵ]/(ϵ^{2})- wertigen Punkt von H_{P} in einen k[ϵ]/(ϵ^{2})- wertigen Punkt von H_{P} über. Analoges gilt für die Modulräume.

Die Abbildung der infinitesimalen Deformationen ergibt sich aus der im Kapitel 1 beschriebenen Konstruktion. Zuerst gilt es, die infintesimalen Deformationen einer Kurve vom Geschlecht 5 und Grad 8 im P_{4}^{∗} zu beschreiben, und das bedeutet, Tangentialräume an die Grassmannsche G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2))) zu bestimmen. Durch Herausteilen der P GL(4)- Aktion auf der Grassmannschen erhält man ein Repräsentantensystem der Isomorphieklassen der infinitesimalen Deformationen. Als nächstes geht man zum Dualraum über und erhält infinitesimale Deformationen des Moduls M = S/(q_{1}, …, q_{12}). Ein Lemma zeigt, wie man diese infinitesimale Deformationen durch die Auflösung von M liften kann. Man erhält so infinitesimale Deformationen der invertiblen Garbe, die den Morphismus auf die Enriques-Fläche vom Grad 10 im P_{5} induziert. Das Bild dieses Morphismus berechnet man, indem man die invertible Garbe projektiviert und anschließend auf P_{5} projeziert. Eine genaue Analyse wird zeigen, wie man die infinitesimalen Deformationen durch diesen Prozess liftet. Schließlich muß noch festgestellt werden, welche der so erhaltenen infinitesimalen Deformationen einer Enriques-Fläche vom Grad 10 im P_{5} isomorph sind. Resultat: Ein zweidimensionaler Raum von infintesimalen Deformationen einer Kurve vom Geschlecht 5 und Grad 8 im P_{4}.

Den technischen Grundlagen wird in jedem der folgenden Abschnitte das entsprechende Macaulay-Script angefügt. Am Schluß steht das Hauptprogramm.

3.2 Die Grassmannsche G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2)))

Zu den folgenden grundlegenden Fakten über Grassmannsche Varietäten vgl. [10, L.6,L.16]. Sei V = H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2)). V ist 15-dimensional. Die Grassmannsche G(3, V) parametrisiert die Menge aller 3-dimensionalen linearen Unterräume W des Vektorraum V. Wenn W von den Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} aufgespannt wird, ordnet man dabei W den Multivektor λ = v_{1} ∧ v_{2} ∧ v_{2} zu. λ ist bis auf Skalare durch W bestimmt: Bei einer anderen Basiswahl wird der entsprechende Vektor λ einfach mit der Determinante der Basiswechselmatrix multipliziert. Man erhält so eine Einbettung

ψ : G(3, V) → P(⋀^{3} V) :

Denn zu einem [w] = ψ(W) im Bild erhält man den korrespondierenden Raum W zurück als Raum aller Vektoren v ∈ V, für die v ∧w = 0 ∈ ⋀^{4} V. Diese Inklusion heißt Plücker-Einbettung von G(3, V).

Gewisse offene affine Teilmengen von G(3, V) haben eine besonders einfache Form: Sei Γ ⊂ V der Unterraum der Dimension 15 − 3 = 12, der einem Multivektor w ∈ ⋀^{12} V = ⋀^{3} V^{∗} entspricht. Man kann w als homogene Linearform auf P(⋀^{3} V) interpretieren; sei U ⊂ P(⋀^{3} V) die affine offene Teilmenge, auf der w ≠ 0. Der Schnitt von G(3, V) mit U ist so gerade die Menge aller 3-dimensionalen Unterräume Λ ⊂ V, die komplementär zu Γ sind. Jeder solche lineare Unterraum kann als Graph einer Abbildung von V/Γ nach Γ gesehen werden und umgekehrt. Es gibt also eine Identifikation

G(3, V) ∩ U ≅ Hom(V/Γ, Γ) ≅ K^{3·12}.

In Koordinaten: Man identifiziere V mit K^{15} und nehme an, daß der Unterraum Γ von den letzten 15 − 3 = 12 Basisvektoren e_{4}, …, e_{15} ∈ K^{15} erzeugt wird. Dann ist U ∩ G(3, 15) die Teilmenge aller Räume Λ, bei denen der erste k × k- Minor der aus Basisvektoren gebildeten k × n- Matrix M_{Λ} ungleich 0 ist. Es folgt, daß jedes Λ ∈ G(3, 15) ∩ U repräsentiert wird vom Zeilenraum einer eindeutig bestimmten Matrix

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & a_{1,1} & ... & a_{1,12} \\ 0 & 1 & 0 & a_{2,1} & ... & a_{2,12} \\ 0 & 0 & 1 & a_{3,1} & ... & a_{3,12} \end{matrix} )

und umgekehrt. Die Einträge a_{ij} dieser Matrix geben dann eine Bijektion von U ∩ G(k, V) mit K^{3·12}.

Natürlich impliziert diese Bijektion, daß der Tangentialraum an G(3, 15) in einem derartigen Unterraum Λ ⊂ V isomorph ist zu

T_{Λ}(G(3, V) = Hom(Λ, V/Λ).

Ein solcher Homomorphismus h ist gegeben durch die Bilder der 3 Basisvektoren v_{1}, v_{2}, v_{3} von Λ, repräsentiert durch eine Linearkombination von 12 Repräsentanten v_{4}, …, v_{15} einer Basis von V/Λ. Die zugehörige infinitesimale Deformation in P_{4}^{∗} × Spec k[ϵ]/(ϵ^{2}) wird dann gegeben durch das homogene Ideal

(v_{1} + ϵh(v_{1}), v_{2} + ϵh(v_{2}), v_{3} + ϵh(v_{3})).

Solche Repräsentanten bilden zusammen mit den 3 Basisvektoren von Λ eine Basis von V. Der Algorithmus muß also als erstes eine genügend allgemeine Basis von V = H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2)) erzeugen. Das leistet der Befehl

                           < random mat 1 15 r2 dualqbasis.

r2 ist dabei die 1 × 15 - Matrix, die alle Monome vom Grad 2 enthält. Natürlich kann man nachrechnen, ob die ersten drei Quadriken einen nichtsingulären vollständigen Durchschnitt bilden und die 12 dualen Quadriken (s.u.) die gewünschte Auflösung besitzen. Aber eine zufällige Wahl macht das von vornherein fast sicher.

3.3 Der Übergang zum Dualraum

Sei wieder V = H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2)). Es gibt einen natürlichen Isomorphismus

P(⋀^{3} V) →^{∼} P((⋀^{12} V)^{∗}) :

Einem Multivektor v_{1} ∧ v_{2} ∧ v_{3} wird die lineare Form in (⋀^{12} V)^{∗} zugeordnet, die einen Multivektor v_{4} ∧ … ∧ v_{15} vermöge der bis auf Multiplikation mit einem Skalar eindeutig bestimmten Identifikation ⋀^{15} V ≅ k auf den Skalar v_{1} ∧ … ∧ v_{15} abbildet. Ebenso gibt es einen natürlichen Isomorphismus

⋀^{12}(V^{∗}) →^{∼} (⋀^{12} V)^{∗} :

Er ordnet einem Multivektor v_{4}^{∗} ∧ … ∧ v_{15}^{∗}, die v_{i}^{∗} ∈ V^{∗}, die Linearform aus (⋀^{12} V)^{∗} zu, die einen Multivektor w_{4} ∧ … ∧ w_{15} ∈ ⋀^{12} V auf den Skalar

∑_{σ∈S_{12}}(−1)^{σ} · v_{4}^{∗}(w_{σ(4)}) ⋯ v_{15}^{∗}(w_{σ(15)})

abbildet. S_{12} ist dabei die Permutationsgruppe der Menge {4, 5, …, 15}. Daß diese Abbildung wirklich ein Isomorphismus ist, zeigt sich, wenn man sie auf eine Basis e_{4}, …, e_{15} und deren duale Basis e_{4}^{∗}, …, e_{15}^{∗} anwendet.

Da diese beiden natürlichen Isomorphismen Multivektoren auf Multivektoren abbilden, ergibt sich vermöge der Plücker-Einbettung ein natürlicher Isomorphismus

G(3, V) ≅ G(12, V^{∗}).

Wenn e_{1}, …, e_{15} eine Basis von V ist, wird dabei der durch den Multivektor e_{1} ∧ e_{2} ∧ e_{3} gegebene Punkt in G(3, V) auf e_{4}^{∗} ∧ … ∧ e_{15}^{∗}inG(12, V^{∗}) abgebildet.

Wie läßt sich nun V^{∗} = H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2))^{∗} interpretieren ? Sei P_{4}^{∗} = P(W), also V = S^{2}W. Wenn die Charakteristik von k Null ist, gibt es einen natürlichen Isomorphismus

S^{2}(W^{∗}) →^{∼} (S^{2}W)^{∗}.

Er ordnet einem Produkt w_{1}^{∗} · w_{2}^{∗} ∈ S^{2}(W^{∗}) die Linearform in (S^{2}W)^{∗} zu, die einem Produkt a_{1} · a_{2} ∈ S^{2}W auf den Skalar

∑_{σ∈S_{2}} w_{1}^{∗}(a_{σ(1)})w_{2}^{∗}(a_{σ(2)})

abbildet. S_{2} ist dabei die Permutationsgruppe der Menge {1, 2}. (Wenn die Charakteristik von k nicht 0, sondern z.B. 2 ist, muß man neben der symmetrischen Algebra auch noch die Algebra der teilbaren Potenzen betrachten, vgl. [5, A.2].)

In Koordinaten: Sei x_{0}^{∗}, …, x_{4}^{∗} eine Basis von W. Die duale Basis von W^{∗} werde mit x_{0}, …, x_{4} bezeichnet. Der oben beschriebene Isomorphismus S^{2}(W^{∗}) ≅ (S^{2}W)^{∗} bildet die Linearform (x_{i}^{∗}·x_{j}^{∗})^{∗} ∈ S^{2}(W^{∗}) für i ≠ j auf das Produkt x_{i} · x_{j} ∈ S^{2}(W^{∗}) ab, für i = j auf \frac{1}{2}x_{i}^{2}.

Werde der Unterraum Λ ⊂ V von den ersten drei Quadriken q_{1}^{∗}, q_{2}^{∗}, q_{3}^{∗} erzeugt. Durch Dualisieren der kurzen exakten Sequenz 0 → Λ → V → V/Λ → 0 erhält man einen natürlichen Isomorphismus

Hom_{k}(Λ, V/Λ) ≅ Hom_{k}((V/Λ)^{∗}, Λ^{∗}).

(V/Λ)^{∗} ⊂ V^{∗} wird dabei durch die dualen Vektoren (q_{4}^{∗})^{∗}, …, (q_{15}^{∗})^{∗} erzeugt, und

Λ^{∗} = V^{∗}/((q_{4}^{∗})^{∗}, …, (q_{15}^{∗})^{∗}).

Eine lineare Abbildung in Hom_{k}((V/Λ)^{∗}, Λ^{∗}) kann also dargestellt werden durch die Bilder der (q_{i}^{∗})^{∗}, repräsentiert durch eine Linearkombination von (q_{1}^{∗})^{∗}, (q_{2}^{∗})^{∗}, (q_{3}^{∗})^{∗}. Geht man noch von (S^{2}W)^{∗} zu S^{2}(W^{∗}) über und erhält aus (q_{i}^{∗})^{∗} die Quadrik q_{i} ∈ H^{0}(P_{4}, O(2)) = V′, Γ = (q_{4}, …, q_{15}), so ergibt sich auch für die Tangentialräume T_{Λ}(G(3, V) = Hom_{k}(Λ, V/Λ) an G(3, V) in Λ und T_{Γ}(G(12, V′) = Hom_{k}(Γ, V′/Γ) an G(12, V′) in Γ ein natürlicher Isomorphismus. Wenn ein Tangentialvektor von T_{Λ}(G(3, V) = Hom_{k}(Λ, V/Λ) durch eine 3 × 12 - Matrix repräsentiert wird (s.o.), dann wird der entsprechende Tangentialvektor von T_{Γ}(G(12, V′) = Hom_{k}(Γ, V′/Γ) durch die transponierte 12 × 3 - Matrix repräsentiert. Das gleiche gilt für die infinitesimalen Deformationen.

Es müssen also nur die im zweiten Abschnitt erzeugten 15 Quadriken in die entsprechenden Quadriken aus H^{0}(P_{4}, O(2)) überführt werden. Das leistet das Script

                         < createqbasis dualqbasis r2 qbasis

Hier der Text:

transpose #1 tdualqbasis
<monomcoef tdualqbasis #2 dualqcoefs
<inverse dualqcoefs qcoefs

; die Spalten von qcoefs enthalten die zu
; den Quadriken dualen Linearformen zur
; Dualbasis der Monome
edit qcoefs
mr 1  1/2
mr 3  1/2
mr 6  1/2
mr 10 1/2
mr 15 1/2
; die den quadratischen Monomen entsprechenden
; Zeilen muessen beim Uebergang zu P4 durch 2
; geteilt werden
mult #2 qcoefs #3

Das Skript <monomcoef arbeitet dabei genauso wie der Befehl coef, nur ist die Monomliste monoms ein Eingabeparameter und gibt vor, zu welchen Monomen überhaupt Koeffizienten gesucht werden.

3.4 Die Aktion von P GL(4)

Die oben herausgearbeiteten Isomorphismen zeigen: Es genügt, die Wirkung der P GL(4)- Aktion auf die Tangentialräume von G(12, H^{0}(P_{4}, O(2))) zu untersuchen. Wenn man Repräsentanten für die Isomorphieklassen dieser Tangentalvektoren gefunden hat, ergeben sich durch Transposition der darstellenden Matrizen die Repräsentanten der Isomorphieklassen in den Tangentialräumen an die Grassmannsche G(3, H^{0}(P_{4}^{∗}, O(2))).

Sei wieder P_{4} = P(W) und x_{0}, … x_{4} eine Basis von W. Eine Matrix A ∈ P GL(4) operiert auf P(S^{2}W), indem x_{i} · x_{j} auf Ax_{i} · Ax_{j} abgebildet wird. Und A operiert auf G(12, H^{0}(P(W), O(2))), indem der Multivektor w_{1} ∧ … ∧ w_{12} mit Hilfe der oben beschriebenen Operation auf den Multivektor Aw_{1} ∧ … ∧ Aw_{12} abgebildet wird.

Als nächstes gilt es, die von dieser Operation induzierte Operation des Tangentialraums der Einheitsabbildung von P GL(5) auf den Tangentialraum eines beliebigen Punktes der Grassmannschen näher zu untersuchen. Die durch die invertierbaren Matrizen

A = ( \begin{matrix}1 & y_{01} & ⋯ & y_{04} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ y_{40} & & ⋯ & y_{44} \end{matrix} )

bestimmte Umgebung U ∈ P GL(4) der Einheitsabbildung ist isomorph zu A_{24}\{detA = 0}, also offen und affin. Der Tangentialraum an P GL(5) in der Einheitsabbildung ist so isomorph zu A_{24}.

Im letzten Kapitel wurde erläutert, wie man Tangentialvektoren als k[ϵ]/(ϵ^{2})- wertige Punkte an die Varietät auffassen kann. Nach dem oben gesagten entspricht dann ein Tangentialvektor an P GL(5) in der Einheitsabbildung einer Matrix

A′ = E_{5} + ϵ ( \begin{matrix}0 & y_{01} & ⋯ & y_{04} \\ ⋮ & & & ⋮ \\ y_{40} & & ⋯ & y_{44} \end{matrix} )

Ein Tangentialvektor an die Grassmannsche in einem von q_{1}, …, q_{12} aufgespannten Unterraum Γ von H^{0}(P_{4}, O(2)) entspricht einem infinitesimal deformierten Unterraum, der durch

\begin{aligned}q_{1} & & & + ϵa_{1,1}q_{13} & + ϵa_{1,2}q_{14} & + ϵa_{1,3}q_{15} \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ & & q_{12} & + ϵa_{12,1}q_{13} & + ϵa_{12,2}q_{14} & + ϵa_{12,3}q_{15} \end{aligned} (3.1)

gegeben ist. Die Operation bildet nun x_{i} ·x_{j} auf A′x_{i} ·A′x_{j} ab; bei der Berechnung muß man natürlich ϵ^{2} = 0 beachten.

Dargestellt in der Basis q_{1}, …, q_{15} gehört dann zu (3.1) der infinitesimal deformierte Unterraum

\begin{aligned}q_{1} & & & + ϵb_{1,1}q_{1} & + … & + ϵb_{1,12}q_{12} & + ϵb_{1,13}q_{13} & + ϵb_{1,14}q_{14} & + ϵb_{1,15}q_{15} \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ & & q_{12} & + ϵb_{12,1}q_{1} & + … & + ϵb_{12,12}q_{12} & + ϵb_{12,13}q_{13} & + ϵb_{12,14}q_{14} & + ϵa_{12,15}q_{15} \end{aligned} (3.2)

Man bringt ihn in die Form (3.1), indem man die zu (3.2) gehörige Matrix

( \begin{matrix}1 + ϵb_{1,1} & ⋯ & ϵb_{1,12} & ϵb_{1,13} & ϵb_{1,14} & ϵb_{1,15} \\ ⋮ & ... & ⋮ & & & ⋮ \\ ϵb_{12,1} & ⋯ & 1 + ϵb_{12,12} & ϵb_{12,13} & ϵb_{12,14} & ϵb_{12,15} \end{matrix} )

mit der invertierbaren Matrix

( \begin{matrix}1 − ϵb_{1,1} & ⋯ & ϵb_{1,12} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ ϵb_{12,1} & ⋯ & 1 + ϵb_{12,12} \end{matrix} )

multipliziert. Dabei ändert sich die 12 × 3- Untermatrix

( \begin{matrix}ϵb_{1,13} & ϵb_{1,14} & ϵb_{1,15} \\ ⋮ & & ⋮ \\ ϵb_{12,13} & ϵb_{12,14} & ϵb_{12,15} \end{matrix} )

nicht.

Gesucht ist nun als erstes eine 24-dimensionale Basis der Tangentialvektoren von Γ, die im Bild dieser Operation auf den trivialen Tangentialvektor liegen, d.h. auf den Tangentialvektor mit a_{i,j} = 0. Die dazu nötigen Berechnungen sind im Skript

                         < createisodefo qbasis isodefobasis

zusammengefaßt. Das Ergebnis sind 24 12 × 3 - Matrizen. Hier der Text:

ring s
;
6
x[0]-x[4]e
;
5 1
poly p e^2
qring p t
; Definition des Rings k[x0,..,x5][e]/(e2)
ev t #1 qbasist
ev t #2 r2t
setring #2
transpose #1 tqbasis
<monomcoef tqbasis #2 coefqbasis
transpose coefqbasis coefqbasis
<inverse coefqbasis coefinvqbasis
ev t coefinvqbasis coefinvqbasist
; Berechnung der Matrix fuer spaeteren Basiswechsel

setring #2
mat #3
3
0
int k 1
loop: if k>24 end defo
defo: setring t
int i k/5
int j k&5
imap tang t t
     x[i] x[i]+ex[j]
;
ev tang qbasist qprime
transpose qprime qprime
<monomcoef qprime r2t coefqprime
transpose coefqprime coefqprime
mult coefinvqbasist coefqprime coefqprime
; coefqprime enthaelt die Koeffizienten
; des Ergebnisses der Operation des Tang-
; entialvektors der Einheitsmatrix (das
; ist die Ringabbildung tang) auf die Basis
; von Quadriken, dargestellt in dieser
; Basis
submat coefqprime deform
1..3
4..15
setring #2
<getvars base
iden 1 id
concat base id
ev base deform deform
; hier wird e=1 gesetzt und so deform
; zu einer Matrix von Skalaren im Basisring r
concat #3 deform
int k k+1
jump loop
end:

12 Tangentialvektoren, die diese Basis zu einer des ganzen Tangentialraums ergänzen, bilden die gesuchte Basis der nichtisomorphen infinitesimalen Deformationen. Ihre Berechnung erfolgt im Skript

<createrealdefobasis\ isodefobasis\ realdefobasis

Auch hier besteht das Ergebnis wieder aus 3 × 12 - Matrizen:

mat generators
36

int k 1
loop1: if k>24 cont1
      submat #1 isodefo
      ;
      ((k-1)*12+1)..(k*12)
      flatten isodefo isodefo
      transpose isodefo isodefo
      concat generators isodefo
      int k k+1
      jump loop1
cont1: std generators basis
       iden 36 i36
       reduce basis i36 restbasis
       std restbasis restbasis
; Dieser Skriptteil liefert eine Basis (bzw.
; deren Repraesentanten) der nichtisomorphen
; infinitesimalen Deformationen von alpha,
; wobei die Koeffizienten zur Basis qbasis
; gehoeren.
mat #2
3
0
int k 1
loop2: if k>12 end
       int l 1
       loop21: if l>12 cont2
               submat restbasis defopart
               (3*(l-1)+1)..(3*l)
               k
               concat #2 defopart
               int l l+1
               jump loop21
       cont2: int k k+1
              jump loop2
end:
; Dieser Skriptteil bringt die Deformationen
; wieder in die Form von 3x12-Matrizen, die
; dann aneinandergehaengt werden.

Schließlich werden durch das Skript

mathit< createpolydefoqbasisrealdefobasispolydefobasis

die 12 in jeder Deformation mit ϵ multiplizierten Polynome aus den Matrizen berechnet:

submat #1 rest
;
1 2 3
mat #3
1

int k 1
loop: if k>12 end
      submat #2 defo
      ;
      (12*(k-1)+1)..(12*k)
      mult rest defo defopoly
      concat #3 defopoly
      int k k+1
      jump loop
end:

3.5 Die Liftung durch die Auflösung

Der nächste Schritt besteht in der Liftung der im vorigen Abschnitt berechneten 12 infinitesimalen Deformationen durch die Auflösung des Moduls M = S/(q_{1}, …, q_{12}. Daß dies möglich ist, zeigt folgendes Lemma:

Lemma 3.1 Sei I′ = (f_{1} + ϵf′_{1}, …, f_{n} + ϵf′_{n}) ein homogenes Ideal in S′ = k[ϵ]/(ϵ^{2})[x_{0}, …, x_{n}], d.h. die f_{i}, f′_{i} ∈ S = k[x_{0}, …, x_{n}] seien homogene Polynome vom selben Grad. Sei I = (f_{1}, …, f_{n}) ⊂ S die Faser von I′ über dem reduzierten Punkt von k[ϵ]/(ϵ^{2}), K ⊂ ⨁_{j=1}^{m} S(e_{j}) der erste Syzygienmodul von I und

0 → K \underrightarrow{( \begin{matrix}g_{11} & … & g_{1m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ g_{n1} & … & g_{nm} \end{matrix} )} ⨁_{i=1}^{n} S(d_{i}) →^{(f_{1},...,f_{n})} I → 0

die dazugehörige exakte Sequenz. S′/I′ ist genau dann ein flacher k[ϵ]/(ϵ^{2})- Modul, wenn sich diese Sequenz zu einer kurzen exakten Sequenz

0 → K′ \underrightarrow{( \begin{matrix}g_{11} + ϵg′_{11} & … & g_{1m} + ϵg′_{1m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ g_{n1} + ϵg′_{n1} & … & g_{nm} + ϵg′_{nm} \end{matrix} )} ⨁_{i=1}^{n} S′(d_{i}) →^{(f_{1}+ϵf′_{1},...,f_{n}+ϵf′_{n})} I′ → 0

liften läßt.

Beweis: Existiere eine derartige Liftung der kurzen exakten Sequenz 0 → K → ⨁_{i=1}^{n} S(d_{i}) → I → 0. Wegen der Exaktheit läßt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen:

(∗) ∑_{1}^{n}(g_{i1}f′_{i} + g′_{i1}f_{i}) = 0 ; ⋮ ; ∑_{1}^{n}(g_{im}f′_{i} + g′_{im}f_{i}) = 0

Da (ϵ) das einzige Primideal von k[ϵ]/(ϵ^{2}) ist, genügt es nach [5, 6.1] für die Flachheit von S′/I′ zu zeigen, daß

(ϵ) · S′/I′ → S′/I′

ein injektiver k[ϵ]/(ϵ^{2})- Homomorphismus ist. Das ist aber äquivalent zur Aussage, daß für alle f ∈ S mit ϵ · f ∈ I′ folgt: f ∈ I. Wegen ϵ · f ∈ I′ gilt nun

ϵ · f = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + ϵa′_{i})(f_{i} + ϵf′_{i}) = ∑_{1}^{n} a_{i}f_{i} + ϵ · ∑_{1}^{n}(a_{i}f′_{i} + a′_{i}f_{i}),

also ∑_{1}^{n} a_{i}f_{i} = 0. Der Vektor a_{1}, …, a_{n} ist also eine Syzygie von S/I und läßt sich deswegen als Linearkombination der erzeugenden Syzygien von K schreiben:

a_{i} = ∑_{j=1}^{m} c_{j}g_{ij}.

Folglich:

f = ∑_{1}^{n}(a_{i}f′_{i} + a′_{i}f_{i}) = ∑_{1}^{n}((∑_{j=1}^{m} c_{j}g_{ij}f′_{i} + a′_{i}f_{i}) ∈ I

wegen (∗).

Sei umgekehrt S′/I′ ein flacher k[ϵ]/(ϵ^{2})- Modul. Wie oben festgestellt, gilt dann für alle f ∈ S: Aus ϵ · f ∈ I′ folgt f ∈ I. Sei weiter (a_{i}, …, a_{n}) eine Syzygie von S/I, also ∑_{1}^{n} a_{i}f_{i} = 0. Es folgt:

ϵ · ∑_{1}^{n} a_{i}f′_{i} = ∑_{1}^{n} a_{i}(f_{i} + ϵf′_{i}),

also ∑_{1}^{n} a_{i}f′_{i} ∈ I. Deswegen existieren b_{i} ∈ S, so daß

∑_{i=1}^{n} a_{i}f′_{i} = − ∑_{i=1}^{n} b_{i}f_{i},

die gewünschte geliftete Syzygie von S′/I′ also (a_{1} + ϵb_{1}, …, a_{n} + ϵb_{n}) ist.

QED

Analoges kann man natürlich (mit mehr Indizes) für einen beliebigen homogenen Modul zeigen. Die Liftung durch die Auflösung falpha des Moduls S/(q_{1}, …, q_{12} bewerkstelligt recht einfach das

Skript

<createomegadefo falpha polydefobasis omegadefobasis,

dessen eigentlicher Kern das Skript

<liftdefo

ist, das aus zwei aufeinanderfolgenden Abbildungen einer Auflösung und den Deformationspolynomen der ersten die Deformationspolynome der zweiten Abbildung berechnet:

mult #3 #2 liftmatrix
lift #1 liftmatrix #4

Das Rahmenskript hängt nur noch die so berechneten, in einer 6 × 10 - Matrix vorliegenden Deformationspolynome der den Morphismus in den P_{5} induzierenden invertiblen Garbe ω_{X}(1) aneinander:

mat #3
6
0
int k 1
loop: if k>12 end
      submat #2 polydefo
      ;
      (12*(k-1)+1)..(12*k)
      <liftdefo #1.1 #1.2 polydefo defo2
      <liftdefo #1.2 #1.3 defo2 defo3
      <liftdefo #1.3 #1.4 defo3 defo4
      submat defo4 omegadefo
      16..21
      concat #3 omegadefo
      int k k+1
      jump loop
end:

3.6 Die Liftung durch den Morphismus

Die invertible Garbe ω_{X}(1) wird vermöge der Präsentation

10O(−1) → 6O → ω_{X}(1) → 0

durch 6 globale Schnitte erzeugt und induziert so nach [9, II.7.1] einen Morphismus in den P_{5}. Man bestimmt das Bild dieses Morphismus, indem man zuerst den Graphen berechnet. Dazu einige technischen Erläuterungen (vgl. [9, p. 160ff.]):

Sei X ein Noethersches Schema und S eine quasikohärente Garbe von O_{X}- Moduln, die die Struktur einer Garbe von graduierten O_{X}- Algebren besitzt. Es ist also S = ⨁_{d>0} S_{d}, wobei S_{d} der homogene Teil vom Grad d ist. Man nehme weiter an, daß S_{0} = O_{X}, daß S_{1} ein kohärenter O_{X}- Modul ist und daß S als O_{X}- Algebra lokal von S_{1} erzeugt wird. Für jede offene affine Teilmenge U = Spec A von X sei S(U) die graduierte A-Algebra Γ(U, S|_{U}).

Man betrachte dann Proj S(U) und den natürlichen Morphismus π_{U} : Proj S(U) → U. Für f ∈ A und U_{f} = Spec A_{f} ist wegen der Quasi-Kohärenz von S Proj S(U_{f}) ≅ π_{U}^{−1}(U_{f}). Wenn also U und V zwei affine offene Teilmengen von X sind, dann ist π_{U}^{−1}(U ∩ V) auf natürliche Weise isomorph zu π_{V}^{−1}(U ∩ V). Durch Zusammenkleben erhält man also ein Schema Proj S zusammen mit einen Morphismus π : Proj S → X, so daß für jedes offene affine U ⊆ X π^{−1}(U) ≅ Proj S(U). Ebenso kleben unter dieser Konstruktion die invertiblen Garben O(1) jedes Proj S(U) zu einer kanonisch bestimmten Garbe O(1) auf Proj S zusammen. Wenn z.B. S = ⨁_{d>0} S^{d}(O_{X}) dann ist ProjS = X.

Sei nun X wieder die betrachtete Enriques-Fläche und S′ = S ∗ ω_{X}(1) definiert durch S′_{d} = S_{d} ⊗ ω_{X}(1)^{d} für jedes d ≥ 0. Dann gibt es nach [9, II.7.9] einen natürlichen Isomorphismus

ProjS′ ≅ ProjS,

der mit den Projektionen auf X kommutiert. Der surjektive Garbenmorphismus 6O_{X} → ω_{X}(1) erlaubt es weiter, eine surjektive Abbildung von Garben graduierter O_{X} -Algebren

O_{X}[T_{0}, …, T_{5}] → S ∗ ω_{X}(1)

zu definieren. S ∗ ω_{X}(1) = ⨁_{d≥0} ω_{X}(1)^{d} ist dabei die Vergarbung der graduierten k[x_{0}, …, x_{4}]/I_{X}- Algebra

(k[x_{0}, …, x_{4}]/I_{X})[T_{0}, …, T_{5}]/({l_{0,j} · T_{0} + ⋯ + l_{5,j} · T_{5}}_{j=0,...,5})

als O_{X}- Modul. Die l_{i,j} sind dabei die linearen Einträge in der Matrix der Abbildung 10S(−1) → 6S, deren Vergarbung die Präsentationsabbildung von ω_{X}(1) ist.

Diese Abbildung von graduierten O_{X}- Algebren induziert weiter eine abgeschlossene Immersion Proj S ∗ ω_{X}(1) ↪ Proj O_{X}[T_{0}, …, T_{5}] = X × P_{5}. Das Bild dieser Immersion ist der Graph Γ des durch die invertible Garbe ω_{X}(1) induzierten Morphismus, und der ist deswegen nach dem oben Festgestellten isomorph zu X. Das Schema X × P_{5} ist die Projektivierung des kartesischen Produkts S′ ×_{k} T = ⨁_{d≥0} S′_{d} ⊗_{k} T_{d} der graduierten Ringe S′ = k[x_{0}, …, x_{4}]/I_{X} und T = k[y_{0}, …, y_{5}] (vgl. [9, II.Ex.5.11.]). Die homogenen Elemente dieses Produktrings können als bihomogene Polynome betrachtet werden, die die gleichen Grade in den x- wie in den y-Variablen aufweisen. Vermöge der Segre-Einbettung X × P_{5} ↪ P_{N} mit N = 4 · 5 + 4 + 5 (vgl. [9, II.Ex.2.14]) läßt sich zeigen, daß von derartigen bihomogenen Polynomen erzeugte Ideale die abgeschlossenen Immersionen auf X × P_{5} definieren (wobei die Beziehung keineswegs eineindeutig ist, s. [9, II.5.16. & Ex.5.10]).

So stellt sich die Frage, welchem Ideal die oben konstruierte Immersion entspricht. Sei wieder S′ = k[x_{0}, …, x_{4}]/I_{X}. Sei U_{i} ⊂ X die offene affine Teilmenge, die der Lokalisation S′_{(x_{i})} entspricht. Laut Definition ist dann

Proj ⨁_{d≥0} ω_{X}(1)^{d}(U_{i}) = Proj S′_{(x_{i})}[T_{0}, …, T_{5}]/({l′_{0,j} · T_{0} + ⋯ + l′_{5,j} · T_{5}}_{j=0,...,5}),

wobei die l′_{i,j} die Lokalisationen der l_{i,j} ∈ S sind. Die anschließenden Verklebungen zeigen: Man kann das Ideal

I_{Γ} = (l_{0,1} · T_{0} + ⋯ + l_{5,1} · T_{5}, …, l_{0,10} · T_{0} + ⋯ + l_{5,10} · T_{5})

wählen.

X ist ein abgeschlossenes Unterschema von P_{4}, und deswegen ist auch

Γ = Proj ⨁_{d≥0} ω_{X}(1)^{d} ↪ P_{4} × P_{5}

eine abgeschlossene Immersion. Da ω_{X} ein O_{X}- Modul ist, muß I_{X} im Annihilator des Kokern der Abbildung 10S(−1) → 6S (dessen Vergarbung ω_{X}(1) ist) liegen. Die Hinzunahme der auf Bigrad (5, 5) bihomogenisierten I_{X} erzeugenden 15 Quintiken ändert also nichts daran, daß die obigen 10 Polynome ein die Immersion induzierendes Ideal im Produktring S ×_{k} T erzeugen. In P_{4} × P_{5} łäßt sich nun besser klären, was das Bild von Γ unter der Projektion auf P_{5} ist.

Man betrachte die Einschränkung dieser Projektion auf

Spec S_{(x_{i})} × P_{5} → P_{5}.

Der surjektive Morphismus wird durch den graduierten Ringhomomorphismus

k[y_{0}, …, y_{5}] ↪ S_{(x_{i})}[y_{0}, …, y_{5}]

induziert, vgl. [9, II.Ex.2.14]. Das homogene Urbildideal irgendeines Ideals I ⊂ S_{(x_{i})}[y_{0}, …, y_{5}] unter dieser Injektion besteht aus allen Polynomen in I, die nur y-Variablen enthalten. Ein derartiges homogenes Polynom f vom Grad d kann durch Lokalisation nur aus dem Element x_{i}^{d} · f ∈ S × k[y_{0}, …, y_{5}] gewonnen werden. Ein homogenes Ideal in k[y_{0}, …, y_{5}], dessen Vergarbung die Idealgarbe des Bildes von Γ in P_{5} ergibt, erhält man nun, indem man alle 5 Urbilder des in x_{0}, …, x_{4} lokalisierten Ideals I_{Γ} schneidet. Daraus folgt zusammenfassend: Ein homogenes Polynom f ∈ k[y_{0}, …, y_{5}] liegt genau dann in diesem Ideal, wenn x_{0}^{d} · f, …, x_{4}^{d} · f im Ideal I_{Γ} liegen. Das heißt aber nichts anderes, als daß man die Saturation von I_{Γ} im Produktring S × k[y_{0}, …, y_{5}] bezüglich der y-Variablen berechnen und anschließend auf diese Variablen projezieren muß. Das entspricht Standardbefehlen in MACAULAY.

Im vorliegenden Fall erhält man, daß das Ideal I_{X′} ⊂ T = k[y_{0}, …, y_{5}] der Fläche X′ ⊂ P_{5} von 10 Kubiken c_{1}, …, c_{10} erzeugt wird. Seien weiter h_{1}, …, h_{10} die 10 bihomogenen Polynome vom Bigrad (1, 1), die das Ideal des Graphen I_{Γ} erzeugen. Für i = 0, …, 4 läßt sich dann folgendes Gleichungssystem im Produktring S ×_{k} T aufstellen:

c_{1} · x_{i}^{3} = ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(1)}h_{j}
⋮
c_{10} · x_{i}^{3} = ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(10)}h_{j}

Im vorigen Abschnitt wurden infinitesimale Deformationen von ω_{X}(1) berechnet. Wenn man die jeweilige Deformationsmatrix mit den y-Variablen multipliziert, erhält man wieder 10 bihomogene Polynome h′_{1}, …, h′_{10} ∈ S ×_{k} T vom Bigrad (1, 1). Um nun eine korrespondierende durch ein Ideal (c_{1} + ϵc′_{1}, …, c_{10} + ϵc′_{10}) ∈ T gegebene infinitesimale Deformation von X′ zu finden, setzt man für i = 0, …, 4 folgendes Gleichungssystem an:

(c_{1} + ϵ · c′_{1})x_{i}^{3} = ∑_{j=1}^{10}(g_{ij}^{(1)} + ϵg_{ij}^{(1)′})(h_{j} + ϵh′_{j}) = ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(1)}h_{j} + ϵ(∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(1)}h′_{j} + ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(1)′}h_{j})

⋮

(c_{10} + ϵ · c′_{10})x_{i}^{3} = ∑_{j=1}^{10}(g_{ij}^{(10)} + ϵg_{ij}^{(10)′})(h_{j} + ϵh′_{j}) = ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(10)}h_{j} + ϵ(∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(10)}h′_{j} + ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(10)′}h_{j})

Gesucht sind also kubische Polynome c′_{1}, …, c′_{10}, für die c′_{l}x_{i}^{3} denselben Rest wie ∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(l)}h′_{j} liefert

für i = 0, …, 4. Als erstes ermittelt man dazu die Polynome g_{ij}^{(k)}, i = 0, …, 4, j, k = 1, …, 10; für x_{0} geschieht das mit Hilfe des Skripts

<createlift0 stdgraph minsurface liftsatmin0

Die Variable stdgraph bezeichnet dabei die Standardbasis zu h_{1}, …, h_{10}, minsurface enthält die 10 I_{X′} erzeugenden Kubiken, und liftsatmin0 enthält die gesuchten Polynome in einer 10×10- Matrix. Der Text des Skripts lautet:

mat #3
10
0
int k 0
poly monom x[k]3
mult monom #2 satmin
lift stdgraph satmin l
concat #3 l

Als nächstes gilt es, die Reste aller Monome der Form x_{i}^{3}y^{α}, i = 0, …, 4, α ein Multiindex mit |α| = 3 bezüglich einer Standardbasis von (h_{1}, …, h_{10}) zu finden. Zur Erinnerung: Eine Standardbasis ist gerade so definiert, daß diese Reste eindeutig sind, vgl. [5, Ch.15]. Wieder für x_{0} dient dazu das Skript

<createrest0 stdgraph newvar restmonoms0

Dabei enthält newvar die y-Variablen und restmonoms0 die Reste in einer 1 × 56- Matrix. Auch hier ist der Text kurz:

power #2 3 newvar3
mat #3
1
0
int k 0
poly monom x[k]3
mult monom newvar3 monomsk
reduce #1 monomsk restsk
concat #3 restsk

Jetzt muß man sich, für alle 12 betrachteten Deformationen, um die Reste der Polynome

∑_{j=1}^{10} g_{ij}^{(k)}h′_{j}, i = 0, …, 4, k = 1, …, 10,

kümmern. Dazu benützt man zuerst (wieder nur für x_{0}) das Skript

<multdefopoly graphdefobasis liftsatmin0 syzpolybasis0

um diese Polynomsummen zu berechnen. Die Variable graphdefobasis enthält die 12 Tupel von Polynomen h′_{1}, …, h′_{10}, die die betrachteten Deformationen des Graphen Γ bestimmen, und syzpolybasis0 enthält die Polynomsummen in einer 1 × 120- Matrix. Die Reste bestimmt dann der eine Befehl

reduce stdgraph syzpolybasis0 restpolybasis0

Hier noch der Text des Skripts <multdefopoly:

mat #3
1
0
int k 1
loop: if k>12 end
      submat #1 graphdefo
      ;
      10*(k-1)+1..10*k
      mult graphdefo #2 syzpoly
      concat #3 syzpoly

      int k k+1
      jump loop
end:

Man kommt nun zum Kern des ganzen Rechengangs: Der Bestimmung der skalaren Lösungstupel (s_{α})_{|α|=3} der Gleichung

∑_{|α|=3} s_{α} · R(x_{i}^{3}y^{α}) = R(∑_{j=1}^{10}(g_{ij}^{(k)}h′_{ij})

für festes k ∈ {1, …, 10} und i = 0, …, 4. R(·) bezeichne dabei die oben berechneten Reste, und man fasse die Gleichung als Gleichung im Vektorraum der Reste (vom Bigrad (3, 3)) bezüglich des Ideals (h_{1}, …, h_{10}) ⊂ S ×_{k} T auf. Das dazu (wieder nur für x_{0}) benützte Skript

<liftrestpoly0 restmonoms0 restpolybasis0 lincomb0

hat den Text

set autocalc 1
set autodegree 6
lift-std #1 stdrestmonoms
lift stdrestmonoms #2 #3
set autocalc -1
set autodegree 0

und speichert die berechneten Skalartupel in der 56 × 120- Matrix ab.

Warum ist der Lösungsraum 10-dimensional? Erstens kommt man, wenn man die Rechnungen statt für x_{0} für x_{1}, …, x_{4} durchführt, zum selben Lösungsraum. Das ist nicht weiter überraschend, da bei den beteiligten geometrischen Objekten keine der 5 Koordinatenachsen x_{0}, …, x_{4} vor der anderen ausgezeichnet ist. Zweitens ist die Dimension des affinen Lösungsraums der obigen inhomogenen Gleichung gleich der Dimension des Lösungsvektorraums der zugrundeliegenden homogenen Gleichung

∑_{|α|=3} s_{α} · R(x_{i}^{3}y^{α}) = 0.

Aus der Tatsache, daß c_{1}, …, c_{10} ∈ T die (Projektion der) Saturation des Ideals h_{0}, …, h_{10} ∈ S ×_{k} T bezüglich der y-Variablen ist, folgt, daß dieser für jedes i gleiche Lösungsvektorraum nur von den c_{1}, …, c_{10} entsprechenden Skalartupeln erzeugt werden kann.

Wenn man nun zu jedem k ∈ {1, …, 10} ein Lösungstupel (s_{α}^{(k)}) hat, so kann man

c′_{k} = ∑_{|α|=3} s_{α})^{(k)} · y^{α}

setzen. Mit Hilfe des Kriteriums aus dem vorigen Abschnitt kann man überprüfen, ob man so wirklich eine infinitesimale Deformation erhalten hat. Da schließlich die Addition irgendwelcher Vielfachen von c_{1}, …, c_{10} zu einem der c′_{k} nichts am Ideal der Deformation (c_{1} + ϵc′_{1}, …, c_{10} + ϵc′_{10}) ändert, erhält man also zusammenfassend aus einer Deformation von ω_{X}(1) genau eine Deformation von X′.

3.7 Isomorphien zwischen den Deformationen von X′

Es bleibt die Frage zu klären, welche lineare Abhängigkeiten zwischen diesen infinitesimalen Deformationen modulo Isomorphie bestehen, d.h. welche Linearkombinationen isomorph zur trivialen infinitesimalen Deformation von X′ sind. Man erinnere sich dazu an die Klassifikationen im letzten Kapitel: Die Isomorphieklassen infinitesimaler Deformationen von X′ werden durch die Elemente von H^{1}(X′, T_{X}) klassifiziert (Theorem 2.2.), die in P_{5} eingebetteten (also die jetzt betrachteten) durch H^{0}(X′, N_{X′/P_{5}}) (Proposition 2.1.), und die Abbildung φ, die jede eingebettete infinitesimale Deformation auf ihre Isomorphieklasse abbildet, stammt aus der Sequenz

0 → H^{0}(X′, T_{X}) → H^{0}(X′, T_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′}) → H^{0}(X′, N_{X′/P_{5}}) →^{φ} H^{1}(X′, T_{X}) → 0

(Lemma 2.1 & Lemma 2.2). Es gilt also, den Kern von φ zu finden, und wegen der Exaktheit der obigen Sequenz ist dieser Kern genau das Bild der Abbildung H^{0}(X′, T_{P_{5}/k}⊗O_{X′}) → H^{0}(X′, N_{X′/P_{5}}). Wegen H^{0}(X′, T_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′}) = Hom_{O_{X′}} (Ω_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′}, O_{X′}) und H^{0}(X′, N_{X′/P_{5}}) = Hom_{O_{X′}} (I_{X′}/I_{X′}^{2}, O_{X′}) ist es sinnvoll, zuerst die Abbildung

ψ : I_{X′}/I_{X′}^{2} → Ω_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′}

näher zu untersuchen.

Nach [9, II.8.13.] gibt es die kurze exakte Sequenz

0 → Ω_{P_{5}/k} → 6O(−1) → O → 0

wobei die letzte Abbildung die Vergarbung des Homomorphismus von graduierten S-Moduln

6S(−1) →^{(x_{0},...,x_{5})} S

ist. Dualisierung führt zur kurzen exakten Sequenz

0 → O_{P_{5}} → O_{P_{5}}(1)^{6} → T_{P_{5}/k} → 0

da alle beteiligten Garben lokal frei sind. Die Abbildung

S \underrightarrow{( x_{0} ; ⋮ ; x_{5} )} S(1)^{6}

bleibt nun bei Tensorierung mit S/I_{X′} injektiv (s. Beweis von Lemma 2.3). Also gibt es die exakte Sequenz

0 → O_{X′} → O_{X′}(1)^{6} → T_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′} → 0

Auch hier treten nur lokal freie Garben auf, also kann man erneut dualisieren und kommt zur kurzen exakten Sequenz

0 → O_{P_{5}} ⊗ O_{X′} → O_{X′}(−1)^{6} → O_{X′} → 0

Wenn man S/I_{X′} = S′ setzt, ist Ω_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′} folglich die Vergarbung des zweiten Syzygienmoduls in der Auflösung von S′/(x_{0}, …, x_{5})

Für eine Fläche der betrachteten Art hat diese Auflösung die folgenden ersten drei Terme:

S′ → S′(−1) → \begin{aligned}& 15S′(−2) & & 20S′(−3) \\ ↖ & ⊕ & ← & ⊕ \\ & 10S′(−3) & & 75S′(−4) \end{aligned}

Da alle Syzygienmodule der vergarbten Auflösung frei sind, kann man wieder dualisieren und erhält T_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′} ≅ Hom_{O_{X′}} (Ω_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′}, O_{X′}) als Vergarbung des Bildes G von 6S′(1) → 15S′(2) ⊕ 10S′(3).

Das Bild des Garbenhomomorphismus I_{X′}/I_{X′}^{2} → Ω_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′} wird nun durch die Vergarbung der Jacobi-Matrix der Erzeuger von I_{X′}, gegeben, aufgefaßt als Untermodul von 6S′(1) (vgl. [9, II.8.4A]). Nun läßt sich ein Element von Hom_{O_{X′}} (I/I^{2}, O_{X′}) vermöge der Kompositionen

10O_{P_{5}}(−3) → I_{X′} → I_{X′}/I_{X′}^{2} → O_{X′}

als Element von Hom_{O_{X′}} (O_{X′}(−3), O_{X′}) = H^{0}(X′, 10O_{X′})(3)) auffassen.

Lemma 3.2 Die durch die kurze exakte Sequenz

0 → I_{X′}(m) → O_{P_{5}}(m) → O_{X′}(m) → 0

induzierte Abbildung H^{0}(X′, O_{X′}(m)) → H^{0}(X′, I_{X′}(m)) ist für alle m ∈ Z surjektiv.

Beweis: Die Auflösung des Koordinatenrings S′ = S/I_{X′} von X′ hat die Gestalt

0 ← S′ ← S ← 10S(−3) ← 15S(−4) ← 6S(−5) ← 0

ist also von der Länge 3. Die projektive Dimension pd_{S}S′ von S′ ist also höchstens 3. Andererseits ist auch die Tiefe von S′ höchstens 3, da depthS′ ≤ codim I_{X} = 3. Also ist nach der Auslander-Buchsbaum-Formel (s. [5, 19.9]) depthS′ = 3, S′ also Cohen-Macaulay. Nach [5, Ex.18.16.b] folgt daraus aber H^{1}(X′, I_{X′})(m) = 0 für alle m ∈ Z. In dieser Kohomologiegruppe muß aber der Kokern der Abbildung H^{0}(X′, O_{X′}(m)) → H^{0}(X′, I_{X′}(m)) liegen.

QED

Also läßt sich ein Element von Hom_{O_{X′}} (I/I^{2}, O_{X′}) auch als Element von H^{0}(X′, 10O_{X′})(3)) auffassen, und das sind 10-Tupel von Kubiken. Wenn man alle 10-Tupel bestimmen will, die durch Ω_{P_{5}/k} ⊗ O_{X′} faktorisierenden Homomorphismen I/I^{2} → O_{X′} entsprechen, muß man deswegen die Elemente vom Grad 0 im oben konstruierten Modul T mit den in den Kokern der Abbildung

15S′(−2) ⊕ 10S′(−3) ← 20S′(−3) ⊕ 75S′(−4)

gelifteten Tupeln der Jacobi-Matrix multiplizieren.

Einige dieser Ideen finden sich im Skript <cotan von D.Eisenbud, s. [12, p.130]. Hier berechnet das Skript

<maketrivdefo fq.2 k mintrivdefos

die Elemente vom Grad 0 in T und führt die zuletzt beschriebene Multiplikation durch; dementsprechend ist fq.2 die zweite Matrix in der Auflösung von S′ ← 6S′(−1), k die gelifteten Tupel aus der Jacobimatrix, und mintrivdefos enthält die gesuchten, zur trivialen Deformation isomorphen infinitesimalen Deformationen in Form von 10-Tupeln von Kubiken. Hier der Text:

transpose #1 q2dual
transpose #2 kdual
mat #3
10
0
int i 0
loop: if i>5 end
      smult q2dual y[i] n
      mult kdual n nn
      concat #3 nn
      int i i+1
      jump loop
end:

Um nun herauszufinden, welche Elemente des Vektorraums W der 12 im letzten Abschnitt berechneten infinitesimalen Deformationen in diesem Vektorraum der trivialen Deformationen V liegen, muß man zu V noch alle 10-Tupel aus minzerodefos hinzunehmen, die an einer Stelle einen Erzeuger von I_{X′} stehen haben und sonst Nullen. Denn diese Tupel ändern an einer Deformation nichts. Wenn man dann W mit diesem neuen V schneidet, erhält man die zwei gesuchten, zur trivialen Deformation isomorphen Erzeuger.

3.8 Das Hauptprogramm

ring r
;
5
x[0]-x[4]
;
;
power r 2 r2
<random_mat 1 15 r2 dualqbasis
<createqbasis dualqbasis r2 qbasis
; Berechnung der dualen Quadriken
<createisodefo qbasis r2 isodefobasis
; Berechnung der 24 Basiselemente (als 3x12-
; Matrizen mit skalaren Eintraegen, die zur Basis
; qbasis gehoeren) des Raumes der
; durch die Aktion von PGL(5) induzierten
; isomorphen Deformationen von alpha
<createrealdefobasis isodefobasis realdefobasis
; Berechnung der 12 nichtisomorphen Deformationen,
; wieder als 3x12-Matrizen mit skalaren Eintraegen,
; die zur Basis qbasis gehoeren.
<createpolydefo qbasis realdefobasis polydefobasis
; Berechnung der 12 Polynome, die in jeder
; Deformation mit e multipliziert werden (als
; 1x12-Matrix).
submat qbasis alpha
;
4..15
nres alpha falpha
betti falpha
; total:      1    12    25    21    10     3
; --------------------------------------------
;     0:      1     -     -     -     -     -
;     1:      -    12    25    15     -     -
;     2:      -     -     -     6    10     3
submat falpha.4 omega1
16..21
;
<createomegadefo falpha polydefobasis omegadefobasis
; Berechnung der 12 Deformationen der zum Linearsystem
; |H+K| gehoerigen invertiblen Garbe omega1 durch
; Liften der Ausgangsdeformationen
ring p

;
11
x[0]-x[4]y[0]-y[5]
;
5 6
; In diesem Ring befindet sich das Ideal des Graphen
; der Enriques-Flaeche unter dem durch das
; Linearsystem |H+K| gegebenen Morphismus.
setring p
fetch omega1 pomega1
submat p newvar
;
6..11
mult newvar pomega1 graph
; graph ist das Ideal des Graphen
lift-std graph stdgraph
; Berechnung der spaeter staendig benoetigten
; Standardbasis von graph
submat p oldvar
;
1..5
<sat graph oldvar satgraph
elim satgraph minsurface
<createlift0 stdgraph minsurface liftsatmin0
; Berechnung der Liftungspolynome der mit
; x[0]3 multiplizierten
; Polynome aus minsurface, in einer 10x10-Matrix
<createrest0 stdgraph newvar restmonoms0
; Berechnung der Reste aller bigraduierten
; Monome vom Grad 3 mit x-Anteil x[0]3
; bzgl. stdgraph in Reihenfolge der
; Monomordnung, in einer 1x56-Matrix.
;(Man kann sich auf x[0] beschraenken, da die
; anderen x-Variablen zum selben Loesungsraum
; fuehren.)

fetch omegadefobasis pomegadefobasis
mult newvar pomegadefobasis graphdefobasis
; Berechnung der Deformationen des Graphen
<multdefopoly graphdefobasis liftsatmin0 syzpolybasis0
; Berechnung der Polynome aus Liftungs- und
; Deformationspolynomen, die im e-Anteil
; einer Deformation von minsurface stehen, in
; einer 1x120-Matrix
reduce stdgraph syzpolybasis0 restpolybasis0
<liftrestpoly0 restmonoms0 restpolybasis0 lincomb0

; Berechnung einer darstellenden Linearkombination
; der Reste aus restmonoms0 fuer jedes Polynom in
; restpolybasis0, in einer 56x120-Matrix
power newvar 3 newvar3
mult newvar3 lincomb0 minpolydefos
; Berechnung der Deformationspolynome
ring minr
;
6
y[0]-y[5]
;
;
setring minr
fetch minsurface minsurface
fetch minpolydefos minpolydefos
; minsurface ist das Ideal der minimalen Flaeche
; und minpolydefos enthaelt die 12 10-Tupel von
; Deformationstupeln
nres minsurface fmin 2
<testmindefos fmin minpolydefos
; Test durch das Liftungskriterium, ob die
; berechneten Deformationspolynome wirklich eine
; infinitesimale Deformation bestimmen
jacob fmin.1 j
transpose j j
; Bildung der Jacobi-Matrix, die die Abbildung
; I/I^2 --> OmegaP induzieren wird
qring fmin.1 q
ev q j j
res q fq 3
; Berechnung von OmegaP, die ueber q von q.3
; praesentiert wird
betti fq
total:      1     6    25    95
--------------------------------
    0:      1     6    15    20
    1:      -     -    10    75
lift fq.2 j k
; Berechnung der Abbildung I/I^2 --> OmegaP
<maketrivdefos fq.2 k mintrivdefos
setring minr
fetch mintrivdefos mintrivdefos

; Berechnung der Deformationspolynome der zur
; trivialen isomorphen infinitesimalen
; Deformationen
<makemindefos minpolydefos mindefobasis
mat m0
10
0
tensor m0 minsurface minzerodefos
; Berechnung der trivialen Deformationen
setdegs mindefobasis
;
3
setdegs mintrivdefos
;
3
setdegs minzerodefos
;
3
; passende Graduierung der beteiligten Matrizen
set autocalc 1
set autodegree 3
concat mindefobasis minzerodefos
intersect mindefobasis mintrivdefos kernel
; Berechnung des Schnitts der um die trivialen
; Deformationen ergaenzten gelifteten Deformationen
; mit den zur trivialen Deformation isomorphen
; Deformationen
lift-std mindefobasis stdmindefo
lift stdmindefo kernel trivlincomb
submat trivlincomb trivlincomb
1..12
;
; Berechnung der Linearkombinationen aus den
; gelifteten Deformationen

3.9 Ein Beispiel

Wie in [5, Ch.18.3] überlegt man sich, daß zwei Quadriken

\begin{matrix}Q_{1} = x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} \\ Q_{2} = a_{1}x_{1}^{2} + a_{2}x_{2}^{2} + a_{3}x_{3}^{2} + a_{4}x_{4}^{2} \end{matrix}

für paarweise verschiedenes a_{i} einen nichtsingulären vollständigen Durchschnitt bilden. Durch Hinzunahme einer zufällig gewählten Quadrik bleibt der Durchschnitt fast sicher vollständig und nichtsingulär.

Deswegen ist folgendes Beispiel möglich: Die Kurve vom Geschlecht 5 sei erzeugt durch die drei Quadriken (in MACAULAY-Notation)

x[0]2+x[1]2+x[2]2+x[3]2
12/19x[1]2-19/50x[2]2+10113x[3]2-14476x[4]2
31/34x[0]2-113/108x[0]x[1]+96/47x[1]2-61/57x[0]x[2]+2749x[1]x[2]+12060x[2]2 \
+55/69x[0]x[3]+12767x[1]x[3]+234x[2]x[3]-101/51x[3]2-15779x[0]x[4] \
+11/81x[1]x[4]-14/31x[2]x[4]-17/74x[3]x[4]+17/14x[4]2

Die beiden Deformationen, die man daraus mit Hilfe des Algorithmus berechnet, seien durch die 3 mit ϵ multiplizierten Quadriken repräsentiert:

70/101x[0]2-83/2x[0]x[1]-4988x[1]2-8261x[0]x[2]+121/43x[1]x[2]-17/55x[2]2 \
+7/50x[0]x[3]-11647x[1]x[3]+7807x[2]x[3]-10329x[3]2-1799x[0]x[4] \
+101/96x[1]x[4]+24/29x[2]x[4]-13939x[3]x[4]-4959x[4]2
7471x[0]2+55/63x[0]x[1]-29/18x[1]2-71/60x[0]x[2]+32/81x[1]x[2]+60/41x[2]2 \
+8/13x[0]x[3]-59/124x[1]x[3]+19/75x[2]x[3]-92/37x[3]2-40/109x[0]x[4] \
+6330x[1]x[4]+16/75x[2]x[4]+30/79x[3]x[4]+114/31x[4]2
-12080x[0]2-29/15x[0]x[1]-125/86x[1]2-3/103x[0]x[2]+10294x[1]x[2]-10300x[2]2 \
+98/23x[0]x[3]+92/21x[1]x[3]-15322x[2]x[3]+64/89x[3]2-13929x[0]x[4] \
+33/95x[1]x[4]-92/35x[2]x[4]-8577x[3]x[4]-59/84x[4]2

und

-11855x[0]2-13874x[0]x[1]-12741x[1]2+12543x[0]x[2]-118/9x[1]x[2]+83/77x[2]2 \
-16/35x[0]x[3]-46/61x[1]x[3]+98/115x[2]x[3]-62/29x[3]2+11971x[0]x[4] \
-8842x[1]x[4]+91/79x[2]x[4]-55/81x[3]x[4]+9280x[4]2
-8857x[0]2+10544x[0]x[1]+30/103x[1]2-82/37x[0]x[2]+123/55x[1]x[2]+3182x[2]2 \
+98/93x[0]x[3]+7962x[1]x[3]+6/37x[2]x[3]-36/55x[3]2-83/117x[0]x[4] \
-59/93x[1]x[4]-85/109x[2]x[4]+8/27x[3]x[4]-39/103x[4]2
2107x[0]2-15698x[0]x[1]+37/54x[1]2+5772x[0]x[2]+3749x[1]x[2]+49/29x[2]2 \
-12511x[0]x[3]+607x[1]x[3]-2164x[2]x[3]-9572x[3]2-55/47x[0]x[4] \
+33/76x[1]x[4]+119/87x[2]x[4]-73/96x[3]x[4]-76/67x[4]2

Literaturverzeichnis

[1] E.Arbarello, M.Cornalba, P.A.Griffiths, J.Harris: Geometry of Algebraic Curves I , Springer Verlag New York etc. 1985

[2] F.Cossec, I.Dolgachev: Smooth Rational Curves on Enriques Surfaces, Math.Ann.272, 369-384(1985)

[3] F.Cossec, I.Dolgachev: Enriques Surfaces 1, Birkhäuser Boston 1989

[4] W. Decker,L. Ein, F.-O. Schreyer: Construction of Surfaces in P_{4}, J. Algebraic Geometry 2(1993) 185-237

[5] D. Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer Verlag, New York 1995

[6] D. Eisenbud, J. Harris: Schemes: The Language of Modern Algebraic Geometry, Wdasworth, Pacific Grove 1992

[7] P.Griffiths, J.Harris: Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience, New York 1978

[8] A. Grothendieck: Fondements de la Géométrie Algébraique, Séminaire Bourbaki 1957 - 62, Secrétariat Math., Paris 1962

[9] R. Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer Verlag, Berlin etc. 1977

[10] J. Harris: Algebraic Geometry ,Springer Verlag New York 1992

[11] P. Le Barz: Formules pour les multisecantes des surfaces, C.R.Acad.Sci. Paris Sér. I Math. 292(1981), 797-799

[12] D. Bayer, M. Stillman: Macaulay: A system for computation in algebraic geometry and commutative algebra, Quell- und Objectcode existiert für UNIX- und Macintosh-Computer. Erhältlich bei den Autoren oder via anonymous ftp von zariski.harvard.edu

[13] D. Mumford: Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Math. Studies 59, Princeton U. Press, Princeton 1966

[14] D. Mumford, J.Fogarty: Geometric Invariant Theory,2nd Ed., Springer Verlag New York 1982 [15] I.R.Šafarevič: Algebraic Surfaces, AMS, Providence, Rhode Island, 1967

[16] A.J.Sommese, A.Van de Ven: On the Adjunction Mapping, Math. Ann. 278(1987), 593-603